WPàYW ROZWARSTWIENIA LAMINATU NA PRZEWODZENIE CIEPàA

WPàYW ROZWARSTWIENIA LAMINATU NA PRZEWODZENIE CIEPàA

Beata Kufel

Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie

Streszczenie. Przedmiotem rozwaĪaĔ są laminaty periodycznie dwuwarstwowe, w których defekty mogą wystąpiü na powierzchniach miĊdzy warstwami. Celem pracy jest opisanie wpáywu takich defektów na przewodzenie ciepáa. MiĊdzywarstwowe defekty (w tym roz- warstwienie) modeluje siĊ dostatecznie cienką warstwą, której wáasnoĞci termiczne opisuje dostatecznie maáy nieznany wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej. W pracy przedstawiono równania modelowe opisujące wpáyw rozwarstwienia na przewodnictwo cieplne, zawiera- jące pewną nową staáą charakteryzującą stopieĔ rozwarstwienia bądĨ stopieĔ wystĊpowa- nia defektów.

Sáowa kluczowe: laminaty, przewodnictwo ciepáa, homogenizacja lokalna, defekty miĊ- dzywarstwowe

WSTĉP

W pracy rozwaĪane bĊdą laminaty periodyczne z miĊdzywarstwowymi defektami.

WáasnoĞci termiczne warstw opisują ciepáo wáaĞciwe i wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej. W poszczególnych warstwach są one róĪne, ale staáe. Do modelowania prze- wodnictwa cieplnego w takim laminacie zastosowano pewne podejĞcie asymptotyczne, którego wynikiem bĊdzie nieciągáe na interlaminach pole temperatury.

Problem opisu i analizy laminatów z miĊdzywarstwowymi defektami nie jest nowy w termomechanice. MoĪna tu wskazaü na prace poĞwiĊcone pojedynczym lub wielokrot- nym sztywnym inkluzjom lub szczelinom, znajdującym siĊ na jednej powierzchni oĞrod- ka niejednorodnego. Wykaz tych prac znajduje siĊ m.in. w opracowaniu KaczyĔskiego i innych [1995]. Inne podejĞcie do modelowania problemu kontaktu miĊdzy laminami przedstawiają prace Naniewicza i WoĨniaka [1988] oraz WoĨniaka [1995].

Adres do korespondencji – Corresponding author: Beata Kufel, Szkoáa Gáówna Gospodarstwa Wiejskiego, Wydziaá Budownictwa i InĪynierii ĝrodowiska, Studia Doktoranckie,

ul. Nowoursynowska 159, 02-776 Warsaw, e-mail: zmkb@sggw.pl

W pracy przedstawiono zmody¿ kowane równania modelowe opisujące wpáyw roz- warstwienia na przewodnictwo cieplne, zawierające pewną nową staáą charakteryzującą stopieĔ rozwarstwienia bądĨ stopieĔ wystĊpowania defektów.

METODA MODELOWANIA

Przyjmijmy, Īe k‘ϐ‹‰—”ƒ…Œ¦‘†‹‡•‹‡‹ƒŽƒ‹ƒ–—„¸†œ‹‡‘„•œƒ” ȍ = (0, L) × Ȅ, Ȅ R² z ukáadem wspóárzĊdnych Ox, x₁, x₂, x L), (x₁, x₂) Ȅ.

Laminat skáada siĊ z dwu powtarzających siĊ lamin o gruboĞciach lƍ i lƎ, których wáasnoĞci termiczne opisują ciepáo wáaĞciwe oznaczone odpowiednio cƍ i cƎ oraz wspóá- czynnik przewodnoĞci cieplnej kƍ i kƎ. Widaü stąd, Īe komórką periodycznoĞci jest w rozwaĪanym przypadku przedziaá dáugoĞci l = lƍ + lƎ (rys. 1).

Wspóáczynnik przewodnictwa cieplnego jest funkcją periodyczną k = k(x) okreĞloną w przedziale (0, l) w nastĊpujący sposób: dla x  (0, lƍ) funkcja przyjmuje wartoĞü kƍ oraz dla x  (lƍ, l) – wartoĞü kƎ. Analogicznie de¿ niuje siĊ funkcjĊ ciepáa wáaĞciwego c = c(x).

Oznaczmy przez ș = ș(x, x₁, x₂, t) temperaturĊ wzglĊdną. Jest ona funkcją ș:

ȍ × < t₀, t₁> oR, gdzie <t₀, t₁> jest przedziaáem czasu oraz (x, x₁, x₂) ȍ, t t₀, t₁. Klasyczny model przewodnictwa cieplnego skáada siĊ z równaĔ konstytutywnych dla strumienia ciepáa:

1 2

1 2

; ;

q  wk T q  wk T q  wk T (1)

oraz równania bilansu

2 2

1 2

(k T) k T k T c _tT 0

w w  w  w  w (2)

gdzie przez ˜, ˜_Į oznaczono pochodne odpowiednio po x i x_Į, Į = 1, 2.

Równanie (2) jest znanym równaniem róĪniczkowym Fouriera o zmiennych wspóá- czynnikach przewodzenia ciepáa w przewodnikach niejednorodnych. Przedstawiony mo- del jest na tyle skomplikowany, Īe uzasadnione jest poszukiwanie modeli prostszych.

Rys. 1. Fragment laminatu periodycznie dwuwarstwowego Fig. 1. A fragment of a periodic lamina

W przypadku niejednorodnoĞci periodycznej stosowanymi metodami upraszczającymi są takie metody, jak: metoda moduáów efektywnych, homogenizacja asymptotyczna lub ho- mogenizacja nieasymptotyczna, do której naleĪy oparta na analizie niestandardowej me- toda nazywana metodą parametrów mikrolokalnych, oraz technika uĞredniania toleran- cyjnego. W pracy przedstawiono najpierw model dla przewodników warstwowych bez defektów, skonstruowany metodą parametrów mikrolokalnych, opisany przez Nagórko i Piwowarskiego [2006].

Punktem wyjĞcia w tej konstrukcji jest zastąpienie nieznanej funkcji temperatury ș przez dwie funkcje skalarne - \ obie okreĞlone w obszarze ^{, ,} : u  , t to 1 ! w nastĊ- pujący sposób:

1 2 1 2 1 2

( , , , )x x x t ( , , , )x x x t h x( ) ( , , , )x x x t

T -  \ (3)

gdzie funkcja h(x) jest funkcją skalarną, periodyczną o okresie l i oscylującą, tak Īe:

0^lh x dx( ) 0

³

Ponadto zaáoĪymy, Īe funkcja h(x) przyjmuje wartoĞci rzĊdu O(l), a wartoĞci funkcji - i ȥ dla l << 1 w przedziale (x – l/2, x + l/2) 0, L) są w przybliĪeniu staáe.

FunkcjĊ - nazywa siĊ temperaturą uĞrednioną, funkcjĊ ȥ – parametrem mikrolokal- nym, a h – funkcją ksztaátu.

Korzystając z powyĪszych zaáoĪeĔ oraz metody parametrów mikrolokalnych, moĪna wykazaü, Īe ukáad równaĔ na poszukiwane funkcje - i ȥ przyjmie postaü:

2 2 2

1 2

( ) _t 0

k - k h \ c -

 ! w  w  w   w ! w   ! w (4)

( )2 0

k h - k h \

 w ! w   w !

gdzie dla dowolnej funkcji periodycznej f = f(x), x (0, l) przez < f > oznaczono:

0

( )

l

f f x dx

 !

³

Z równania (4)₂ moĪna wyznaczyü funkcjĊ ȥ:

\ D -0w (5)

gdzie D0   w !  wk h / k h( )² !

Podstawiając wyliczoną funkcjĊ (5) do równania (4), otrzymamy równanie na tempe- raturĊ uĞrednioną - :

2 2 2

0 ( 1 2) t 0

k w -   ! w  wk -   ! wc - (6)

gdzie k0 {  ! k D0  w !k h .

Równania (3), (5) i (6) opisują model uzyskany metodą parametrów mikrolokalnych przewodzenia ciepáa w laminacie periodycznym. Model ten jest przydatny po wskazaniu funkcji ksztaátu. W przypadku laminatów dwuwarstwowych za funkcjĊ ksztaátu h moĪna przyjąü funkcjĊ periodyczną okreĞloną nastĊpująco: dla x  (0, lƍ) funkcja przyjmuje wartoĞci l(1 – 2x/ lƍ), a dla x (lƍ, l) – wartoĞci l(2x/lƎ – 2l/lƎ + 1).

Przy tak obranej funkcji ksztaátu oraz wprowadzając oznaczenia Qc l lc/ , /Qcc l lcc , wystĊpujące w równaniach (4) i (6), moĪna obliczyü staáe:

0

2

1 ; ;

/ /

2( ); ( ) 4

k k k k c c c

v k v k

k k

k h k k k h

Q Q Q Q

Q Q

c c cc cc c c cc cc

 !   ! 

c c cc cc

c cc

§ ·

c cc

 w !   w ! ¨© c cc¸¹

(7)

ZauwaĪmy, Īe gdy kƍ = kƎ = k, wtedy Į₀ = 0 i k₀ = < k > = k. Podobnie jest, gdy Qc o ›1 0.

PRZEWODNICTWO CIEPLNE W LAMINATACH PERIODYCZNIE DWUWARSTWOWYCH Z DEFEKTAMI MIĉDZYWARSTWOWYMI

MiĊdzywarstwowe defekty (w tym rozwarstwienie) bĊdziemy modelowaü cienką warstwą o gruboĞci į, której wáasnoĞci termiczne opisuje nieznane ciepáo wáaĞciwe c i wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej k. ZaáóĪmy, Īe į << l.

W konsekwencji przyjmijmy, Īe komórką periodycznoĞci jest teraz odcinek dáugoĞci l

= lƍ + lƎ + 2į, gdzie przez į oznaczono gruboĞü wprowadzonej myĞlowo cienkiej warstwy áączącej laminy przewodnika.

Niech komórek periodycznoĞci bĊdzie p, p = L/l. Oznaczmy przez xi, i = 1, 2, ..., p, kolejne Ğrodki komórek periodycznoĞci leĪące na osi x (rys. 2). Zbiór tych punktów ozna- czymy przez:

{ ; /2x xi i l (i 1) , l i 1, 2, ..., }p

/  

Zde¿ niujmy nasycenie Q G/l warstwy áączącej dwie laminy. Po wprowadzeniu dodatkowej warstwy o gruboĞci į ciepáo wáaĞciwe i wspóáczynnik przewodnictwa ciepl- nego są takĪe funkcjami periodycznymi.

DekompozycjĊ temperatury przyjmiemy teraz w postaci zmody¿ kowanej:

1 2 1 2 1 2 1 2

( , , )x x x ( , , )x x x g x( ) ( , , )x x x g x( ) ( , , )x x x

T -  \  \ (8)

gdzie wystĊpują dwie funkcje ksztaátu g i ^g oraz dwa parametry mikrolokalne \ \ i . FunkcjĊ g de¿ niujemy analogicznie do h. Jej wykres przedstawiono na rysunku 3.

Natomiast wykres funkcji g przedstawiono na rysunku 4.

Rys. 2. Komórka periodycznoĞci z warstwą poĞrednią Fig. 2. The basic cell with interlaminar layer

Rys. 3. Wykres funkcji ksztaátu g

Fig. 3. Diagram of À uctuation shape function g

Rys. 4. Wykres funkcji ksztaátu g

Fig. 4. Diagram of À uctuation shape function g

Ukáad równaĔ na nieznane parametry mikrolokalne \ \ otrzymamy z warunków i ciągáoĞci strumienia ciepáa na powierzchniach x = x_i – l/2 + lƎ/2 oraz dla x = x_i – lƍ/2 w postaci:

1 1 1

( ) ( ) ( )

k - \ \ k - \ OH

Q Q Q

cc w   w  

cc cc

1 1 1

( ) ( ) ( )

k - \ k - \ \ OH

Q ^c Q Q

w  w   

c c

Wyznacznik tego ukáadu jest wiĊkszy od zera:

k k k k k 0

Q Q Q Q Q

c cc§¨ c cc·¸ ! c cc © c cc¹

Rozwiązaniami ukáadu są funkcje:

\ D - w , \ D - w gdzie:

0 0 k k

D D k D

Q Q

cc c

§ ·

 ¨© cc  c¸¹ (9)

0 0

k k k k D

Q





(10)

ZauwaĪmy, Īe jeĪeli Q o0, to D o0 i wtedy D oD₀. Równania modelowe przyjmą teraz postaü:

1 0

2 1

3 2

2 2 3

1 2

0 ( ) 0

eff

eff t

q k

q k

q k

k k c

- T T

- - -

 w   ! w   ! w

w   ! w  w   ! w

(11)

gdzie

0eff

k  ! k D  w ! k g D  w !k g (12)

WystĊpujące w staáej efektywnej (12) wielkoĞci są okreĞlone wzorami (9) i (10) oraz 2

k kc cQ kcc ccQ kQ

 !  

UĞrednione ciepáo wáaĞciwe < c >, wystĊpujące w równaniu (11), jest równe 2 .

c cQc c ccc ccQ cQ

 !  

PRZEJĝCIE GRANICZNE

PrzejĞcie asymptotyczne wykonamy, przeprowadzając skalowanie. Przyjmijmy İ = 1/n, n = 1, 2, ... Zastąpmy l, į przez İl, İ į oraz wprowadĨmy funkcje:

( ), ( ), ( ), ( ) g_H ˜ g_H ˜ k_H ˜ c_H ˜

Skáadowe strumienia ciepáa dla kaĪdego İ = 1/n, n = 1, 2, ..., moĪna teraz przedstawiü w postaci:

1 ( 1 1 1 ) ( )

q_H k_H w  w- g_H\  w g_H\ OH

2 2 ( )

q_H  wk_H - OH

3 3 ( )

q_H  wk_H -OH

RównieĪ ukáad równaĔ na \ \ otrzymamy z warunków na ciągáoĞü strumienia i ciepáa:

( )

( ) 2

k k k k

k k

k k k k

k k

- \ \

Q Q Q Q

- Q Q \ Q Q N \

c cc c cc

§ · § ·

cc cw ©¨ c cc¸¹ ©¨ c cc¸¹

c cc c cc

§ · § ·

cc cw ¨© c cc¹¸ ©¨ c cc ¸¹

(13)

gdzie przez ț oznaczono granicĊ ilorazu ^k

Q , przy k o0 i Q o0. GranicĊ tĊ, o ile istnieje, moĪemy przyjąü, za miarĊ defektów.

Rozwiązując ukáad (13), otrzymujemy:

\ ^wE - \; ^wE - gdzie:

0 0 0

0

(k k ) ; k

k k

E D E E

Q Q N

cc c

 

cc c 

Moduá efektywny (12) jest teraz równy:

0 0 2

0 0

1 ( ) ( ) ( ) 1

eff k k

k k k k k k k

Q Q N k

cc c

­ ª §  · c cc  c ccº ½

® «¬ ©¨ cc c¸¹ »¼  ¾

¯ ¿ (14)

Czáon 0 ²

0

( )k k k (k k ) (k k ) 1

Q Q N k

cc c

ª §¨  ·¸ c cc  c ccº

« cc c » 

¬ © ¹ ¼ w wyraĪeniu (14) moĪna trakto-

waü jako wielkoĞü, która w formalny sposób opisuje wpáyw defektów na przewodzenie ciepáa w laminacie. Powiązanie go z rzeczywistym przebiegiem temperatury w lamina- cie z defektami powinno nastąpiü w wyniku badaĔ eksperymentalnych.

PODSUMOWANIE

W pracy skonstruowano model opisujący miĊdzywarstwowe defekty w laminatach periodycznie dwuwarstwowych. Wyprowadzony model pozwala badaü wpáyw takich de- fektów na przewodzenie ciepáa. WáasnoĞci termiczne warstw opisują ciepáo wáaĞciwe i wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej. W poszczególnych warstwach są one róĪne, ale staáe. MiĊdzywarstwowe defekty (w tym rozwarstwienie) opisano dostatecznie cienką warstwą, której wáasnoĞci termiczne opisuje dostatecznie maáy nieznany wspóáczynnik przewodnoĞci cieplnej. Termin „dostatecznie maáy” wskazuje, Īe zastosowano w mode- lowaniu podejĞcie asymptotyczne. W pracy przedstawione zostaáy zmody¿ kowane rów- nania modelowe opisujące wpáyw rozwarstwienia na przewodnictwo cieplne, zawierające pewną nową staáą, charakteryzującą stopieĔ rozwarstwienia bądĨ stopieĔ wystĊpowania defektów.

PIĝMIENNICTWO

KaczyĔski A., Matysiak S.J., Pauk V.J., 1995. Stress intensity factors for an interface penny-shope crack in laminated elastic layer. J. Theor. Appl. Mech. 33, 361–373.

Nagórko W., Piwowarski M., 2006. On the heat conduction in periodically nonhomogeneous so- lids. W: Selected Topics in the Mechanics of Inhomogeneous Media. Red. Cz. WoĨniak, R. ĝwitka, M. Kuczma. Wydaw. Uniwersytetu Zielonogórskiego, Zielona Góra.

Naniewicz Z., WoĨniak Cz., 1988. On the quasi-stationary models of debonding processes in lay- ered composites. Ing. Arch. 58, 403–412.

WoĨniak M., 1995. On the dynamic behaviour of micro-damaged strati¿ ed media. Int. J. Fract. 73, 223–232.

ON A CERTAIN MODEL OF HEAT CONDUCTION IN LAMINATED MEDIA WITH INTERLAMINAR DEFECTS

Abstract. In this contributions, the object of analysis will be restricted to the heat conduc- tion in two component laminates with a periodic structure. The non-ideal contact between adjacent laminae is modelled by a suf¿ ciently thin interlaminar layer made of an extra material with a suf¿ ciently small heat conductivity when compared to lamina materials.

The aim of this presentation is to propose a re¿ ned version of the aforementioned modelling procedure in which its justi¿ cation is included into the obtained model equations.

Key words: heat conduction, the local homogenization, composite, interlaminar defects

Zaakceptowano do druku – Accepted for print: 5.06.2014