WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 11
Teoria Ramseya.
W najprostszej wersji Twierdzenie Ramseya mówi, że dla dowolnego r 0 każdy dostatecznie duży graf G zawiera Kr albo Kr jako podgraf indukowany. (krawędzie koloru widzialnego i niewidzialnego, G powstaje w wyniku pokolorowania Kn na te dwa kolory).
Idea dowodu: Niech v1 ∈ V1 = V (G). Jeśli G jest ”duży”, to będzie istnieć odpowiednio ”duży” zbiór V2 ⊆ V1\ {v1} złożony z tylko z połączonych z v1 lub z tyko z niepołączonych z v1 wierzchołków. Niech v2 ∈ V2 oraz ponieważ V2 jest wciąż ”duży”, to istnieje odpowiednio ”duży” V3 złożony z wierzchołków tego samego typu względem v2 (wszystkie połaczone z v2 albo wszystkie niepołączone z v2) I tak dalej.... Każdy Vi ma co najmniej połowę wierzchołków z Vi−1. Czyli G powinien mieć 2s wierzchołków.
Jak pokazuje poniższe twierdzenie s = 2r − 3.
Tw. Ramseya (1930)
Dla każdego r ∈ N istnieje n ∈ N takie, że każdy graf o n wierzchołkach zawiera Kr lubKrjako podgraf indukowany.
Dowód:
Twierdzenie trywialne dla r ¬ 1.
Niech więc r 2 i niech n = 22r−3 i G będzie grafem o n wierzchołkach. Zdefiniumy ciąg V1, . . . , V2r−2
zbiorów wierzchołków i wybierzm wierzchołki vi ∈ Vi tak, aby:
(i) |Vi| = 22r−2−i, dla i = 1, . . . , 2r − 2;
(ii) Vi ⊆ Vi−1\ {vi−1}, i = 1, . . . , 2r − 2;
(iii) vi−1 jest połaczony ze wszystkimi wierzchołkami z Vi albo z żadnym z Vi, dla i = 1, . . . , 2r − 2;
Niech Vi ⊆ V (G) będzie dowolnym zbiorem 22r−3 wierzchołków i wybierzmy v1 dowolnie. Wtedy (i) zachodzi dla i = 1, (ii), (iii) trywialnie. Przypuśćmy teraz, że Vi−1 oraz vi−1∈ Vi−1 zostały wybrane tak by spełnić warunki (i) - (iii), dla i − 1, gdzie i = 2, . . . , 2r − 2.
Ponieważ |Vi−1| \ {vi−1|} = 22r−3−(i−2) − 1 = 22r−1−i − 1 jest nieparzyste więc Vi−1 ma podzbiór Vi spełniający warunki (i)-(iii). Wybierzmy vi ∈ Vi dowolnie. Wśród 2r − 3 wierzchołków ciągu v1, . . . v2r−3 jest r − 1 które zachowują się tak samo (są albo połączone ze wszystkimi kolejnymi wierzchołkami w tym ciągu albo z żadnym). Te r − 1 wierzchołków oraz v2r−2 (z którym albo wszystkie pozostałe są połączone albo nie są połączone) indukują Kr albo Kr w G (bo vi, vi+1, . . . , v2r−2 ∈ Vi dla każdego i = 1, . . . , 2r − 3).
Uwaga: Powyższe twierdzenie mówi, że R(r, r) ¬ 22r−3. W teorii Ramseya podział uważany jest za pokolorowanie.
Pokolorowanie na c kolorów - podział na c klas (indeksowanych kolorami).
NIEKONIECZNIE DOBRE POKOLOROWANIE !
Dla danego c-pokolorowania rodzziny wszystkich k-elementowych podziorów zbioru X (oznaczamy przez Pk(X) ) zbiór Y ⊆ X nazywamy monochromatycznym jesli wszystkie elementy (czyli zbiory) ro- dziny Pk(Y ) są tego samego koloru.
Podobnie (dla k = 2), dla grafu G = (V, E) podgraf H grafu G bnazywamy monochromatycznym jeśli wszystkie krawędzie w H mają ten sam kolor w pewnym pokolorowaniu krawędzi grafu G.
Przy powyższej terminologii twierdzenie Ramseya może być sformułowane następująco:
∀r, ∃n, ∀X, |X| = n każde 2-pokolorowanie P2(X) daje monochromatyczny zbiór Y ⊆ X, |Y | = r.
Uwaga: Twierdzenie prawdziwe nie tylko dla k = 2, ale dla dowolnego k (dla tak zwanych k-jednorodnych hipergrafów).
Nieskończona wersja Twierdzenia Ramseya:
Niech k, c ∈ N \ {0} oraz X zbiór nieskończony. Jeśli rodzina Pk(X) jest pokolorowana na c kolorów, to X zawiera nieskończony monochromatyczny podzbiór.
Dowód:
Indukcja po k (przy ustalonym c).
Dla k = 1 twierdzenie prawdziwe.
Niech k > 1 i załóżmy, że prawda dla i < k. NiechPk(X) będzie pokolorowana ca c kolorów. Skonstru- ujemy nieskończony ciąg X0, X1, . . . nieskończonych podzbiorów X i wybierzemy xi ∈ Xi, dla i = 0, 1, . . . o następujących własnościach:
(i) Xi+1⊆ Xi \ {xi},
(ii) wszystkie k-elementowe zbiory postaci {xi} ∪ Z, gdzie Z ∈Pk−1(Xi+1) mają ten sam kolor, który przypisujemy xi.
Zaczynamy od X0 = X i x0 ∈ X0 wybranego dowolnie. Z założenia X0 jest nieskończony.
Przypuśćmy, że wybraliśmy już nieskończony zbiór Xi oraz xi ∈ Xi o powyższych własnościach, dla pewnego i. Kolorujemy Pk−1(Xi\ {xi}) przez nadanie każdemu zbiorowi Z z tej rodziny koloru zbioru {xi} ∪ Z z naszego danego pokolorowaniaPk(X). Z założenia indukcyjnego zbiór Xi\ {xi} ma nieskoń- czony monochromatyczny (względem pokolorowaniaPk−1(Xi\ {xi})) podzbiór , który wybieramy jako Xi+1 (ma taki kolor jak xi - wszystkie podzbiory ( krawędzie) z xi do Xi+1 są tego samego koloru), a xi+1∈ Xi+1 wybieramy dowolnie.
Ponieważ c jest skończone, to jeden z c kolorów jest przypisany nieskończenie wielu elementom xi. te xi tworzą monochromatyczny nieskończony podzbiór X.
Skończona wersja Twierdzenia Ramseya
Dla każdego k, c, r 1 istnieje n k takie, że dowolny n-elementowy zbiór X ma monochromatyczny r-elementowy podzbiór pry dowolnym c-pokolorowaniu Pk(X).
Dowód:
Przypuśćmy, że dla pewnych wartości k, c, r twierdzenie nie zachodzi. Wtedy dla n k istnieje zbiór n-elementowy (niech to będzie [n] = {0, 1, . . . n − 1}) i c-pokolorowaniePk([n]) takie, że [n] nie zawiera monochromatycznego r-elementowego podzbioru. Nazwijmy takie pokolorowanie złym. Czyli założyli- śmy, że dla każdego n k istnieje złe c-pokolorowaniePk([n]). Przerobimy te złe pokolorowania na złe c-pokolorowanie Pk(N) co jest sprzeczne z poprzednim twierdzeniem.
Dla każdego n k niech Vn 6= ∅ będzie zbiorem złych c-pokolorowań Pk([n]) Dla n > k ograniczenie f (g) dowolnego g ∈ Vn do Pk([n − 1]) jest wciąż złe i stąd nalezy do Vn−1. Z Lematu Koniga (wersja druga) istnieje nieskończony ciąg gk, gk+1, . . .złych pokolorowań gn ∈ Vn takie, że f (gn) = gn−1 dla każdego n > k.
Dla każdego m k wszystkie pokolorowania gnprzy n > m są takie same na Pk([m]) (bo są kolejnymi swoimi ograniczeniami) więc dla każdego Y ∈Pk(N) wartości gn(Y ) zgadzają sie dla n > max(Y ).
Zdefiniujmy g. Niech g(Y ) będzie tą wspólną wartością gn(Y ). Wtedy g jest złym c-pokolorowaniem Pk(N), bo każdy r-elementowy podzbiór S ⊆ N jest zawarty w odpowiednio dużym [n], czyli nie może być monochromatyczny, bo g zgadza się naPk([n]) ze złym pokolorowaniem gn. Zatem przy tym pokolorowaniu nie ma też nieskończonego monochromatycznego zbioru.
