Zadanie o punkcie przegięcia
Antoni Kościelski
1 Rozwiązania dwóch zadań
1.1 Zadanie ze sprawdzianu
Na sprawdzianie z analizy matematycznej pojawiło się następujące
Zadanie 6. Dla jakich wartości a i b punkt (1, 3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f (x) = ax3+ bx2.
1.1.1 Rozwiązanie wzorowane na typowych rozwiązaniach ze sprawdzianu
Rozwiązanie. Jeżeli punkt (1, 3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f , to w szczególności należy do wykresu. Wobec tego, zachodzi równość f (1) = 3, którą można też zapisać w postaci a + b = 3. Wiadomo też, że w punktach przegięcia zeruje się druga pochodna funkcji. W naszym przypadku oznacza to, że f00(1) = 0. Ponieważ
f00(x) = 6ax + 2b,
więc spełniona jest też równość 6a + 2b = 0. Oznacza to, że parametry a i b występujące w definicji funkcji f spełniają układ równań
a + b = 3, 6a + 2b = 0.
Odejmując teraz dwukrotnie pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy, że a = −3/2. Stąd b = 9/2.
Odpowiedź. Punkt (1, 3) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f (x) = ax3+ bx2 z parame- trami a = −3/2 i b = 9/2.
1.1.2 Pierwszy komentarz
Przedstawiony tekst jest napisany w języku naturalnym. Nie zachęcam do pisania takich tekstów na sprawdzianach i egzaminach, ale zawsze rozwiązanie powinno być wypowiedzią w języku polskim, być może skrótową, opisującą rozumowanie prowadzące do wyniku i uzasadniającą odpowiedź.
Każde rozwiązanie musi zawierać kilka zdań, a przynajmniej ich równoważników.
1
Rozwiązania bogatsze w słowa lepiej poprawia się. Jeżeli ktoś zamiast układu równań f (1) = 3 i f00(1) = 0 rozwiązuje na przykład układ f (3) = 1 i f00(3) = 0, to osoba poprawiająca musi zde- cydować, czy świadczy to o nieumiejętności rozwiązania zadania, czy też jest drobną, mało istotną pomyłką. Najprościej uznać to za poważny błąd. Aby uznać to za pomyłkę, w przedstawionym rozwiązaniu musi się znaleźć jakaś wskazówka umożliwiająca taką interpretację.
1.2 Podobne zadanie
Zajmiemy się teraz podobnym zadaniem o następującej treści:
Zadanie. Dla jakich wartości a i b punkt (1, −1) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f (x) = ax4+ bx3+ 6x2− 4x.
1.2.1 Analogiczne rozwiązanie
Podobnie, jak w rozwiązaniu wyżej przedstawionym zauważamy, że jeżeli punkt (1, −1) jest punk- tem wykresu funkcji f , to f (1) = −1 oraz f00(1) = 0. Tym razem
f00(x) = 12ax2+ 6bx + 12.
Wobec tego parametry a i b spełniają układ równań
a + b + 2 = −1, 12a + 6b + 12 = 0.
Odejmując sześciokrotnie pierwsze równanie od drugiego, nietrudno zauważyć, że jedynym rozwią- zaniem tego układu jest para a = 1 i b = −4.
Postępując jak poprzednio, na zadane pytanie powinniśmy więc udzielić następującej odpowie- dzi: punkt (1, −1) jest punktem przegięcia wykresu funkcji f (x) = ax4+bx3+6x2−x z parametrami a = 1 i b = −4.
1.3 Podsumowanie
Mamy więc dwa bardzo podobne zadania i dwa rozwiązania. Czy te rozwiązania są poprawne?
Niewątpliwie wielu osobom pierwsze rozwiązanie wydało się poprawne. W związku z tym także drugie rozwiązanie powinno być poprawne. Jednak w tym drugim przypadku można bez większego trudu wykazać fałszywość udzielonej odpowiedzi.
Zauważmy, że dla a = 1 i b = −4 mamy
f (x) = (x4− 4x3+ 6x2− 4x + 1) − 1 = (x − 1)4 − 1 −1 = f (1).
Wynika stąd, że dla tych parametrów a i b funkcja f w punkcie x = 1 przyjmuje minimum globalne o wartości −1, styczna do wykresu f w punkcie x = 1 ma równanie y = 0 · x − 1 i jest wykresem
funkcji stale równej −1, a cały wykres funkcji f leży po jednej stronie (powyżej) tej stycznej. Jest więc oczywiste, że w przedstawionych rozwiązaniach gdzieś został zrobiony błąd.
Oba przedstawione rozwiązania nie zawierają argumentów świadczących o tym, że wykresy znalezionych funkcji mają punkty przegięcia. Świadczą tylko o tym, że podane punkty są punktami przegięcia najwyżej dla funkcji f z parametrami wyliczonymi w rozwiązaniach. Już wiemy, że w drugim zadaniu prawidłowa odpowiedż powinna brzmieć następująco: dla żadnych parametrów a i b punkt (1, −1) nie jest punktem przegięcia funkcji f (x) = ax4+ bx3+ 6x2− x.
W zadaniu ze sprawdzianu przytoczona odpowiedź jest poprawna, ale przedstawione rozwiązanie jest niepełne. Wymaga uzupełnienia o argumenty świadczące, że rzeczywiście mamy do czynienia z punktem przegięcia. Zapewne na wykładzie została podana metoda badania punktów przegięcia, wynikająca z wzoru Taylora i polegająca na sprawdzeniu, czy przy „przechodzeniu” przez interesu- jący nas punkt druga pochodna zmienia znak. Bez trudu można ją zastosować w naszym przypadku.
Druga pochodna jest dana wzorem f00(x) = 6ax + 2b = −9x + 9. Jest oczywiste, że f00(x) > 0 dla x < 1 oraz f00(x) < 0 dla x > 1, czyli f00 w punkcie x = 1 zmienia znak. Stąd w punkcie (1, 3) wykres funkcji f (x) = −3/2 · x3+ 9/2 · x2 ma punkt przegięcia.
