1.
Energia kinetyczna rotacji tego pulsara wynosi: E= 1 2 ω2
⋅I , gdzie ω jest prędkością kątową: ω = 2Pπ . Dalsze rachunki przeprowadzimy na przyrostach skończonych.
Zauważmy, że zmiana okresu ΔP jest wielkością bardzo małą wobec okresu rotacji P. Zmianę energii rotacji w ciągu roku można zapisać jako: ΔE = Ek – Ep , gdzie indeksy
p i k oznaczają początek i koniec roku: Δ E = 2π2
I ( 1 P2p − 1 Pk2) = 2π 2 I Pk 2 −P2p P2p ⋅Pk 2 .
Ponieważ Pk = Pp + ΔP, to licznik ułamka można przekształcić następująco:
Pk2−P2p= (Pp +Δ P)2− P2p= 2 Pp Δ P + Δ P2 ≈ 2⋅Pp⋅Δ P .
W związku z tym: Δ E = 4 π
2 I P
p Δ P
P4p , bo Pk ≈ Pp .
Przyjmując Δt = 1 rok oraz P= Pp , otrzymamy ostatecznie:
Δ E Δ t = 4π2 P3 I Δ P Δ t = 8 π2 5 P3 MR 2 Δ P Δ t , a po podstawieniu wartości liczbowych:
ΔE
Δ t = 1,70∙10 39 J∙rok -1 = 5,4∙10 31 W.
Po porównaniu tej wartości z bolometryczną jasnością Mgławicy Krab możemy stwierdzić, że: około 37% energii rotacji jest wyświecane przez mgławicę.
2.
W centralnym polu grawitacyjnym Słońca, planetoida poruszała się początkowo po okręgu z I prędkością kosmiczną ⃗v = ⃗vI . W wyniku zderzenia, chwilowy wektor prędkości planetoidy uległ zmianie o Δ ⃗v. Wprawdzie ten „dodatkowy” wektor prędkości miał stałą wartość(Δ v = vI/2 ),alejego kierunek w przestrzeni był dowolnyimógł wpłynąć na zmianękształtu początkowej orbity, na którąś z krzywych stożkowych.
Wartość prędkości planetoidypozderzeniu (u) jednoznacznieokreśla kształt nowej orbity. Wynika to np. z tzw. całki energii, która mówi, że w centralnym polu grawitacyjnym wytworzonym przez masę M, ciało o masie m porusza się po krzywej stożkowej, z prędkością chwilową u opisaną wzorem:
u2
= G (M +m)(2 r−
1 a),
gdzie: G jest stałą grawitacji, r – promieniem wodzącym, natomiast a – wielką półosią orbity. Wypadkowa prędkość u zależała od kąta między wektorami ⃗v oraz Δ ⃗v i mogła się zmieniać od 1,5νI dla kąta 0o do 0,5νI dla kąta 180o.
Zauważmy, że wartość II prędkości kosmicznej wynosi:νII =
√
2 vI= 1,414 vI i jestmniejsza od 1,5νI co oznacza, że dla kąta 0onową orbitą będzie hiperbola z peryhelium w
punkcie zderzenia, zaś dla kąta 180o, nową orbitą będzie elipsa z aphelium w punkcie
zderzenia. Natomiast nie ulega wątpliwości, że planetoida po zderzeniu nie mogła poruszać się radialnie (czyli nie mogła spaść na Słońce), bowiem nie było możliwe wyzerowanie jej prędkości początkowej, ani skierowanie prędkości wzdłuż promienia wodzącego.
Zastanówmy się teraz, jakie warunki powinny być spełnione by nową orbitą mógł być okrąg. Są dwa takie warunki - prędkość wypadkowa powinna być równa νI , a wektor
wypad-kowy powinien być prostopadły do promienia wodzącego planetoidy w chwili zderzenia. Wartość takiego kąta między wektorami ⃗v i Δ ⃗v , dla którego wypadkową będzieνI,
obli-czymy korzystając z równoległoboku ABCD. W trójkącie równoramiennym BAC
cos∠ABC = 0,25 ⇒ ∠ABC = 75,5o
,
a szukany kąt: ∠BAD = ±104,5o. Płaszczyzna rysunku powinna więc być prostopadła do promienia wodzą-cego planetoidy (była w punkcie A).Nowa orbita będzie parabolą jeśli nowa prędkość będzie równa II prędkości kosmicznej.
Kąt między wektorami ⃗v i Δ ⃗v obliczymy korzystając z innego równoległoboku – ABCD. Na podstawie twierdzenia cosinusów dla
ΔABC (w którym bok AB = ν, bok AC = νII,
a bok CB = ν/2), mamy cos ∠ABC = – 3/4 , a stąd ∠ABC = 138,6oi szukany kąt:
∠BAD = ±41,4o. Również w tym przypadku płaszczyzna rysunku powinna być prostopadła do promienia wodzącego planetoidy, która na rysunku znajduje się w punkcie A.
Odp: Przykładowo, nową orbitą planetoidy po zderzeniu mogła być: – hiperbolą z peryhelium w punkcie zderzenia – dla kąta 0o
między wektorami ⃗v i Δ ⃗v , – elipsą z aphelium w punkcie zderzenia – dla kąta 180omiędzy wektorami
⃗v i Δ ⃗v – okręgiem – dla kąta ±104,5o między wektorami ⃗v i Δ ⃗v , jeśli wektor Δ ⃗v znajdował
się w płaszczyźnie prostopadłej do promienia wodzącego planetoidy,
– parabolą zapheliumwpunkciezderzenia–dlakąta±41,4omiędzywektorami ⃗v i Δ ⃗v , jeśli wektor Δ ⃗v był prostopadły do promienia wodzącego planetoidy,
– natomiast nie mogła być odcinkiem radialnym (spadkiem swobodnym).
3.
Znając masę gwiazdy M (w masach Słońca) oraz okres orbitalny planety P (w latach gwiazdowych), na podstawie trzeciego uogólnionego prawa Keplera: a = M 1/3∙P 2/3 możnawy-znaczyć wielką półoś orbity planetoidy a (w jednostkach astronomicznych): a = 0,405 au. W odległości d= 1,827 pc, półoś a odpowiada odległości kątowej ρ = a/d = 0,221''. Zdolność rozdzielczą teleskopu WFIRST można wyznaczyć na podstawie kryterium Reyle-iga: φ = 1,22λ/D = 0,058'', gdzie D jest średnicą lustra teleskopu. Średnica lustra teleskopu jestwięcwystarczająca,byzapomocąkoronografumożliwebyłowykrycieplanety, jeśli tylko kontrast jasności jest większy niż 10 -9.
Obliczmy teraz kontrast jasności planety i gwiazdy. Niech L będzie mocą promienio-wania gwiazdy. Moc promieniopromienio-wania odbita od powierzchni planety wynosi:
Lodbita = (L/4πa 2 )∙AπR 2,
B
A
C
D
ν
Δν
ν
=
ν
I=
ν/
2
B
A
C
D
ν
Δν
Iν
I
gdzie A to albedo planety, natomiast R jest promieniem planety. Kontrast jasności wynosi: K = Lodbita /L=0,25∙A(R/a) 2.
Jeśli byśmy przyjęli, że promień planety jest dwukrotnie większy od ziemskiego, zaś albedo porównywalne z ziemskim (ok.0,4), to należy spodziewać się kontrastu K = 4∙10 -9,
czyli kontrast jest w zasięgu planowanych możliwości koronografu WFIRST-a.
Promień orbity planety jest stosunkowo niewielki (0,405 au), ale gwiazda jest bardzo słaba (ok. 0,3% jasności Słońca), więc spodziewamy się, że temperatura na powierzchni planety powinna być bardzo niska (ok. 100 K). W takich warunkach powierzchnia planety jest prawdopodobnie pokryta lodem, więc współczynnik albedo powinien być większy niż przyjęty w szacowaniu (więc kontrast jasności też większy).
Z drugiej jednak strony, nie mamy w treści zadania informacji o położeniu orbity planety w przestrzeni oraz o kształcie tej orbity. Czynniki te mogą tylko w nieznacznym stopniu zmienić zarówno wartość kontrastu jak i kątową odległość planety od gwiazdy.
Niemniej w przyszłości, dzięki teleskopowi kosmicznemu WFIRST, zapewne będzie możliwe potwierdzenie, iż Gwiazda Barnarda posiada co najmniej tę jedną planetę.
4.
Zgodniezprzyjętymiuproszczeniami,hipotetyczneprzejścieMarsaprzedtarcząJowi- sza będzie zachodziło centralnie, a środki tarcz tych planet, w pewnym momencie pokryją się. Obserwowane z Ziemi średnice tarcz będą różne: ρM =17,87'' oraz ρJ =46,89'', a to oznacza, żekrzywa zmian jasności tego układu będzie miała tzw. płaskie dno. Poniższe rysunki ilustrują przebieg zjawiska oraz spodziewany kształt krzywej zmian jasności.
Między kontaktami I i II jasność układu będzie spadała, między kontaktami II i III będzie trwało płaskie dno, natomiast między kontaktami III i IV jasność będzie wracała do wartości wyjściowej,
Korzystając z prawa Pogsona, można obliczyć zarówno minimalną (mmin) jak
i maksymalną (mmax) jasność układu:
mM − mJ=2,5 log IJ IM , ⇒ IJ IM =100,4(mM−mJ)=1,738,
gdzie IM i IJ są natężeniami oświetlenia pochodzącymi od Marsa i Jowisza. Dalej mamy:
mM − mmax=2,5 log IM+ IJ IM =2,5 log (1+ IJ IM)=1,09 m ⇒ m max= −3,09m, mM − mmin=2,5 log Imin IM =2,5 log(1+ IJ IM(1− ρM2 ρJ2 )) = 0,99 m ⇒ mmax= −2,99m,
gdzie natężenie oświetlenia pochodzące od Jowisza podczas płaskiego dna wynosi: I = IJ (1−
ρM 2
ρJ 2 ).
Ostatecznie głębokość płaskiego dna będzie wynosiła: Δm = 0,1m.
m
płaskie dno
III
IV
I
mint
maxΔm
m
m
II
PowyższyrysunekrysunekprzedstawiadwiesytuacjewUkładzie Słonecznym podczas jedno-czesnej opozycji Marsa i Jowisza, gdy środki wszystkich ciał były współliniowe. Po upływie pewnego czasu Δt. Ziemia przesunęła się z położenia ZO do Z, Mars z MO do M, natomiast
Jowisz z JO do J.
W pobliżu opozycji planety poruszają się ruchem wstecznym, a obserwowany z Ziemi ∠ MZJjestkątemojakiprzesuwająsię względemsiebieśrodkitarczMarsai Jowisza.Wartość ∠MZJ zależy od czasu Δt oraz od prędkości kątowych planet w ruchu obiegowym wokół Słońca. Okresy obiegu planet wyznaczymy korzystając z III prawa Keplera: T 2 = a 3 (gdzie T
otrzymamy w ziemskich latach gwiazdowych, jeśli a wyrazimy w jednostkach astronomicz-nych). Otrzymam: TM = 1,881lat oraz TJ = 11,87 lat, a stąd wokółsłoneczne prędkości kątowe:
ωZ = 360o/TZ = 147,8''/godz. ωM = 360o/TM = 78,6''/godz. ωJ = 360o/TJ =12,46''/godz.
Zauważmy, że wartość ∠MZJ jest różnicą kątów zewnętrznych dla ∆SZM i ∆SZJ, co pozwala wyznaczyć kąt, o jaki przesuwają się względem siebie środki planet, w ciągu jednej godziny. Wartość ta wynosi 33,8''/godzinę i pozwala wyskalować oś odciętych na wykresie.
Odstępy czasu między kolejnymi kontaktami, podczas przejścia Marsa przed tarczą Jowisza, wynoszą odpowiednio: 0,53 godziny, 0,86 godziny i 0,53 godziny. Czas trwania ca-łego zjawiska, to 1,92 godziny.
