Wyznaczanie przepływu przez rurociągi II

Wybrane zagadnienia z mechaniki płynów Studia magisterskie ENERGETYKA

Ćwiczenia 6 Jan A. Szantyr

Ćwiczenia 6

Wyznaczanie przepływu przez rurociągi II

Przykład 1

W otwartym zbiorniku znajduje się prostokątny otwór o szerokości b i wysokości h, zamykany

zasuwą. Odległość powierzchni cieczy od osi otworu w chwili rozpoczęcia zamykania zasuwy

wynosi H. Obliczyć objętość wody wynosi H. Obliczyć objętość wody V jaka wypłynie ze zbiornika w czasie niezbędnym do całkowitego zamknięcia zasuwy. Prędkość

zamykania zasuwy c=const, współczynnik objętościowego natężenia wypływu wynosi µ.

Objętość cieczy jaka wypłynie w czasie dt określa wzór: dV = Q⋅dt Gdzie natężenie przepływu wynosi: Q =

µ

W ostatnim równaniu mamy: ^{A = b⋅}

(

)

2 t H c

z ⋅

+

=

Po podstawieniu: ^{dV b}

(

)



 



 ⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

= µ 2 2

Czyli: ^{V c b}

(

)

t

 ⋅



 



 ⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

=

∫

2 2

µ gdzie:

c t_c = h



∫

0 2 ^c c

W celu rozwiązania całki stosujemy podstawienie:

t u H c⋅ =

+ 2

(

)

t = c2 ⋅ −

c du dt 2

=

Co prowadzi do:

( )

u c g H

h b V

H h

H

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ +

⋅

−

⋅

⋅

=

∫

+

2 2 2

2 ²

2 1

µ µ

Czyli:

∫

+

=

⋅











 ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

= ⋅

2

2 3 2

1 2

1

2 2 2

2

H h

H

d u

u h u

c H

g V µ b

2 2 5 2

3 2

3

5 4 3

2 3

2 4

2 H ^h

u H

u h u

c H

g

b +











 ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅

⋅

⋅

= ⋅µ Ostatecznie:

( )

 







⋅ +

⋅

⋅

− +

⋅

 ⋅

 

 +

⋅

⋅

⋅

= ⋅ h H h H H h

g H

V b 5

2 2 2

8 ² ₂³

3

µ

( )

 







 



 ⋅ + ⋅

⋅

− +

⋅

 ⋅



 



 +

⋅

⋅

⋅

⋅

= ⋅ h H h H H h

c H g V b

2 2 5

2 2 15

2

8 µ ₂

Przykład 2

Dwa zbiorniki cylindryczne A i B o średnicach i połączono prostoosiowym przewodem o długości l i średnicy d. Obliczyć czas niezbędny do opróżnienia zbiornika A od poziomu do poziomu jeżeli współczynnik strat liniowych wynosi λ a współczynniki strat miejscowych wynoszą:

D1 D₂

h1 h₂

ζw

ζ

Elementarna zmiana różnicy poziomów

w zbiornikach wynosi: ₂²

2 1

D dh D dh

dz = + ⋅

gdyż w czasie dt poziom wody w zbiorniku A opadnie o dh, a w zbiorniku B podniesie się o

(

)

2

1 D

D dh⋅

Warunek zachowania ciągłości ruchu cieczy w zbiorniku A i w przewodzie ma postać:

dt d c

D dh

⋅

⋅ ⋅

=

⋅ ⋅

− 4 4

2 2

1 π

π

Wysokość rozporządzalna wywołująca ruch cieczy w przewodzie Wysokość rozporządzalna wywołująca ruch cieczy w przewodzie wynosi:

∑



 



 + + + + ⋅

⋅ ⋅

 =



 



 + + + ⋅

⋅ ⋅

⋅ +

=

⋅ +

= d

l g

c d

l g

c g

h c g

z c _s ζ_w ζ_z ζ_d λ 1 ζ_w ζ_z ζ_d λ

2 2

2 2

2 2

2 2

Z powyższego wzoru wyznaczamy prędkość c, a ze wzoru na dz wartość dh i podstawiamy je do równania ciągłości przepływu, otrzymując:

dt z g d

l dz d

D D D

d z

w

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅ + +

+ +

⋅

= ⋅

⋅







 +

⋅

− ⋅ 2

1 4 1

4

2

2 2

2 1 2 1

λ ζ

ζ ζ

π π

Co prowadzi do:

dz z

g D d

D

d D l

dt

d z

w

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅







 +

⋅ + +

+ +

⋅

−

= ⁻²

1

2 2

2 2 1 2

1

2 1

1 ζ ζ ζ λ



 2

Po scałkowaniu powyższego otrzymujemy czas częściowego opróżnienia zbiornika A:











 −

⋅







 +

⋅

⋅

⋅

⋅ + +

+ +

⋅

⋅

= ²

1 2 2

1 1 2

2 2 2 1

2 1

1 2

1 2

h h

D g D

d

d D l

t

d z

w ζ ζ λ

ζ

Przykład 3

Niecałkowicie wypełnionym kołowym kolektorem o promieniu r=1,5 Niecałkowicie wypełnionym kołowym kolektorem o promieniu r=1,5 [m] płynie grawitacyjnie woda. Kolektor zbudowano z tworzywa

sztucznego o chropowatości k=0,5 [mm] i spadku J=0,4 [promile].

Sporządzić krzywą natężenia przepływu i krzywą prędkości wody w zależności od poziomu napełnienia kolektora. Przyjąć kinematyczny współczynnik lepkości wody: ^{ν =1,3⋅10−6}

[

]

Objętościowe natężenie przepływu w niecałkowicie wypełnionym przewodzie obliczyć wg wzoru Darcy’ego-Weisbacha:

J A R A g

Q ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅

=υ ⁸ λ

Przy napełnieniu kolektora do głębokości h parametry przepływu są następujące:

- pole przekroju poprzecznego strumienia

(^{h r}) ^a (^{h r})

a r

A + ⋅ + ⋅ −

=

−

⋅

⋅

⋅ +

⋅

⋅

= ₀

0 2

0 360

2 2 180

2 1 360

π β ϕ

- obwód zwilżony kolektora ^L = ϕ ⋅π ⋅^r

0 0

180

gdzie:

r r h−

= arcsin β

β

⋅cos

= r a

- promień hydrauliczny ^R = ^{A L}₀

⋅

⋅

- prędkość przepływu ⋅

υ = 8^{⋅ g}λ^{⋅R⋅ J}

Współczynnik oporu liniowego zależy od chropowatości względnej i liczby Reynoldsa. Można go wyznaczyć metodą kolejnych przybliżeń według poniższego schematu:

- zakładamy wartość współczynnika oporu liniowego λ - obliczamy prędkość przepływu wody wg

wzoru Darcy’ego-Weisbacha υ = 8^{⋅ g}λ^{⋅R⋅ J}

- obliczamy wartość liczby Reynoldsa

ν υ ⋅ ⋅R

= 4

Re

- dla znanej chropowatości względnej k/4R i liczby Reynoldsa obliczamy współczynnik λ z zależności Colebrook’a – White’a:

( )



 



 ⋅

⋅ +

⋅

−

= 3,71

4 Re

51 , log 2

1 2 k R

λ λ

- jeżeli założona wartość współczynnika oporu liniowego nie zgadza się z obliczonym, powyższa procedura jest powtarzana, z przyjęciem wartości obliczonej jako kolejnego założenia

z przyjęciem wartości obliczonej jako kolejnego założenia

Poniżej dla przykładu obliczono natężenie przepływu i prędkość średnią przepływu w kolektorze dla głębokości wody h=0,8 [m]

(

)

a r

A = ₀ ⋅ ⋅ ² + ⋅ − 360ϕ π

gdzie:

[ ]

r r a

r

h 0,469 27,818 cos 1,5 cos27,818 1,327 5

, 1

5 , 1 8 ,

sin 0 − = − → = − → = ⋅ = ⋅ =

− =

= β β

β

(

) _{( )}

_{( )} [ ]

0

513 , 1 5

, 1 8 , 0 327 , 1 5

, 1 14 , 360 3

818 , 27 2

180 m

A + ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − =

=

[ ]

r r

L 3,14 1,5 3,256

180

818 , 27 2 180

180 2 180

180 ⁰

0 0

0 0

0 0 − ⋅ ⋅ ⋅ =

=

⋅

⋅ ⋅

= +

⋅

⋅

= β π

ϕ π

[ ]

L

R A 0,465

256 , 3

513 , 1

0

=

=

=

Obliczenie współczynnika oporu liniowego według ww. procedury iteracyjnej daje wynik λ=0,0152.

Średnia prędkość przepływu wynosi wobec tego:

[

]

J R

g 0,98

0152 ,

0

0004 ,

0 465 , 0 81 , 9 8

8 ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ =

⋅

= ⋅ υ λ

Objętościowe natężenie przepływu wynosi:

[

]

A

Q =υ ⋅ = 0,98⋅1,513 =1,483 ³

Po przeprowadzeniu obliczeń dla wszystkich wybranych wartości głębokości wody wyniki można przedstawić graficznie: