Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki

(1)

Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki

Krzywe B-sklejane

Aleksander Denisiuk

denisjuk@matman.uwm.edu.pl

Uniwersytet Warmi ´nsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki

ul. Słoneczna 54

10-561 Olsztyn

(2)

Krzywe B-sklejane

Najnowsza wersja tego dokumentu dost ˛epna jest pod

adresem http://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm

(3)

Krzywa B-sklejana (B-spline)

p

0 p

1

p

2

p

3

p

4 p

5

p

6

p

7

p

8

(a) Degreetwo B-spline urve.

p

0 p

1

p

2

p

3

p

4 p

5

p

6

p

7

p

8

(b) Degree three B-spline urve.

Figure VIII.1: Degree two and degree three B-spline urves with uniformly

spa ed knots and nine ontrol points. Thedegree three urveis smootherthan

the degree two urve, whereas, the degree two urve approa hes the ontrol

points a little more losely. Compare with the degree eight Bezier urve of

gure VII.9( ) on page167.

(4)

Krzywa B-sklejana trzeciego stopnia

p

0 p

1

p

2

p

3

p

4 p

5

p

6 q

3

q

4

q

5 q

6

FigureVIII.2: A degreethree uniformB-spline urvewith seven ontrolpoints.

q(u) =

n

X

i =0

N _i (u)p _i , 3 ≤ u ≤ n + 1

N i (u) = 0 dla u ≤ i lub u ≥ i + 4

(5)

Funkcje wagowe

N

0

N

1 N

2 N

3 N

4 N

5

N

6 1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

u

Figure VIII.3: The blending fun tions for a uniform, degree three B-spline.

Ea hfun tion N

i

has support (i;i+4).

N i (u) = N ₀ (u − i)

Obci ˛ete wielomiany stopnia 3 N i ∈ C ²

P

i N i (u) = 1 dla u ∈ [3, n + 1]

N _i (u) ≥ 0

N (u) = 0 dla u ≤ i lub u ≥ i + 4

(6)

Funkcje wagowe

R ₀ (u) = N ₀ (u), R ₁ (u) = N ₀ (u + 1), R ₂ (u) = N ₀ (u + 2), R ₃ (u) = N ₀ (u + 3) u ∈ [0, 1]

⇓ R ₀ (u) = 1

6 u ³ R ₁ (u) = 1

6 (−3u ³ + 3u ² + 3u + 1) R ₂ (u) = 1

6 (3u ³ − 6u ² + 4) R ₃ (u) = 1

6 (1 − u) ³

(7)

Funkcje wagowe

R 0 (0) = 0, R ^′ ₀ (0) = 0, R ^′′ ₀ (0) = 0,

R 0 (1) = ¹ ₆ = R 1 (0), R ^′ ₀ (1) = ¹ ₂ = R ^′ ₁ (0), R ^′′ ₀ (1) = 1 = R ₁ ^′′ (0), R 1 (1) = ² ₃ = R 2 (0), R ^′ ₁ (1) = 0 = R ^′ ₂ (0), R ^′′ ₁ (1) = −2 = R ^′′ ₂ (0), R ₂ (1) = ¹ ₆ = R 3 (0), R ₂ ^′ (1) = − ¹ ₂ = R ^′ ₃ (0), R ^′′ ₂ (1) = 1 = R ₃ ^′′ (0),

R 3 (1) = 0, R ₃ ^′ (1) = 0, R ^′′ ₃ (0) = 0.

(8)

Krzywa B-sklejana niejednorodna

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

u 1

Doubledknot

Tripledknot

N

0;4

N

1;4 N

2;4 N

3;4

N

4;4 N

5;4

N

6;4 N

7;4 N

8;4

N

9;4 N

10;4 N

11;4

FigureVIII.4: Exampleof order four(degree three) blendingfun tions with

repeatedknots. Theknot ve toris [0;1;2;3;4;4;5;6;7;8;8;8;9;10;11;12℄ so

thattheknot 4hasmultipli itytwoandtheknot8hasmultipli itythree.

w ˛ezły u ₀ ≤ u ₁ ≤ · · · ≤ u _l−1 ≤ u _l

w ˛ezły wielokrotne u _i−1 ≤ u i = u i +1 ≤ u i +2

p

0 p

1

p

2 p

3

p

4 p

5

p

6 p

7

p

8 p

9

p

10 p

11

FigureVIII.5: ExampleofanorderfourB-spline reatedwith repeatedknots.

This urve is reated with the knot ve tor and blending fun tions shown in

gureVIII.4. Ithasdomain[3;9℄.

(9)

Krzywa B-sklejana stopnia m − 1 (Cox de Boor)

Dane s ˛ a w ˛ezły u ₀ ≤ u ₁ ≤ · · · ≤ u _l−1 ≤ u l .

Dla i = 0, 1, . . . , l − 1 wagi N i, 1 = 1 u i ≤ u < u i +1

0 N i,k +1 (u) = _u ^u−u ⁱ

i+k −u ⁱ N i,k (u) + _u ^u ^i+k+1 ^−u

i+k+1 −u i+1 N i +1,k (u) 0/0 = 0, (a/0) · 0 = 0

N i,m jest obci ˛etym (w w ˛ezłach) wielomianem stopnia m − 1

supp N i,m = [u i , u _i+m ] jest obci ˛etym (w w ˛ezłach) wielomianem stopnia m − 1

N i,m zale˙zy tylko od u i , . . . , u i +m

(10)

Przykład. W˛ezły jednorodne, m = 2

N

0;2 N

1;2 N

2;2 N

3;2 N

4;2 N

5;2 N

6;2 N

7;2 N

8;2

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

u

Figure VIII.6: The order two (pie ewise degree one) blending fun tions with

uniformly spa ed knots, u

i

= i. Here `= 10, and there are `+1 knots and

` 1 blending fun tions. The asso iated B-spline urve of equation (VIII.2) is

dened for 1u ` 1.

N _0,2 =







u 0 ≤ u ≤ 1,

2 − u 1 ≤ u ≤ 2,

0

(11)

Przykład. W˛ezły jednorodne, m = 3

N

0;3 N

1;3 N

2;3 N

3;3 N

4;3 N

5;3 N

6;3 N

7;3

1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

u

Figure VIII.7: The order three (pie ewise degree two) blending fun tions with

uniform knot positions u

i

=i. We stillhave `=10; there are `+1 knots and

` 2 blending fun tions. The asso iated B-spline urve of equation (VIII.3) is

dened for 2 u ` 2.

N _0,3 =



 



 



1 2 u ² 0 ≤ u < 1,

1 2 u(2 − u) + ¹ ₂ (3 − u(u − 1) 1 ≤ u < 2,

1 2 (3 − u) ² 2 ≤ u < 3,

0

(12)

Przykład. W˛ezły jednorodne, m = 4

N

0

N

1 N

2 N

3 N

4 N

5

N

6 1

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

u

Figure VIII.3: The blending fun tions for a uniform, degree three B-spline.

Ea hfun tion N

i

has support (i;i+4).

(13)

Przykład. Krzywe Béziera

w ˛ezły: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1 N _3,1 (u) = 1, 0 ≤ u ≤ 1

0 N i, 1 = 0 dla i 6= 3

N _2,2 (u) = 1 − u, N _3,2 (u) = u

N _1,3 (u) = (1 − u) ² , N _2,3 (u) = 2u(1 − u), N _3,3 (u) = u ² N _0,4 (u) = (1 − u) ³ , N _1,4 (u) = 3u(1 − u) ² ,

N _2,4 (u) = 3u ² (1 − u), N _3,4 (u) = u ³

(14)

Niejednorodne wielokrotne w ˛ezły

w ˛ezły: 0, 0, 0, 0, 1, 2, 2 ⁴ ₅ , 3 ¹ ₅ , 4, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 10, 10, 10

1 2 2:8 3:2 4 5 6 7 8 9 10

u 1

Doubledknot

N

2;2 N

3;2 N

4;2 N

5;2 N

6;2 N

7;2 N

8;2 N

9;2 N

10;2 N

11;2

N

12;2 N

13;2 N

14;2

(a)Degreeoneblendingfun tions.

1 2 2:8 3:2 4 5 6 7 8 9 10

u 1

Doubledknot

N

1;3

N

2;3 N

3;3 N

4;3 N

5;3

N

6;3 N

7;3 N

8;3

N

9;3 N

10;3

N

11;3 N

12;3

N

13;3 N

14;3

(b)Degreetwoblendingfun tions.

1 2 2:8 3:2 4 5 6 7 8 9 10

u 1

Doubledknot

N

0;4

N

1;4 N

2;4 N

3;4 N

4;4 N

5;4

N

6;4 N

7;4

N

8;4 N

9;4 N

10;4

N

11;4 N

12;4 N

13;4 N

14;4

( )Degreethreeblendingfun tions.

FigureVIII.8: Degreeone,two,andthreeblendingfun tionsforanon-uniform