VII Warmi´ nsko-Mazurskie Zawody Matematyczne, 14 maja 2009 WydziaÃl Matematyki i Informatyki UWM w Olsztynie
1. Poka˙z, ˙ze wielomian
x8− x
5+ x2− x + 1 przyjmuje tylko warto´sci dodatnie.
2. Poka˙z ˙ze liczba √
5n + 2 jest niewymierna dla dowolnej liczby naturalnej n.
Dla przypomnienia, pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczba niewy-֒ miern
a albo liczb֒
a naturaln֒
a. Tak wi֒
ec֒ √ 2,√
3,√ 5,√
6,√ 7,√
8,√
10, . . . s
a liczbami֒
niewymiernymi, a √
4 = 2,√
9 = 3,√
16 = 4, . . ..
3. Jakie jest najwi
eksze mo˙zliwe pole prostok֒
ata, kt´֒ orego wierzchoÃlki le˙z
a na bokach֒
tr´ojk
ata r´֒ ownobocznego o boku a?
4. A i B s
a ustalonymi punktami danego okr֒
egu. Trzeci punkt C porusza si֒
e po tym֒
samym okr
egu. Opisz figur֒
e utworzon֒
a przez ´srodki ci֒
e˙zko´sci tr´֒ ojk
at´֒ ow ABC.
Srodek ci´ e˙zko´sci tr´ojk֒ ata jest punktem przeci֒ ecia trzech ´srodkowych tego tr´ojk֒ ata.֒ Srodkowa w tr´ojk´ acie to odcinek Ãl֒ acz֒ acy wierzchoÃlek tr´ojk֒ ata ze ´srodkiem przeciwlegÃlego֒ boku. ´Srodek cie˙zko´sci dzieli ka˙zd֒ a ´srodkow֒ a w proporcji 1 : 2.֒
(Fizyczne znaczenie ´srodka cie˙zko´sci polega na tym, ˙ze aby tr´ojkatn֒ a pÃlytk֒ e utrzyma´c֒ na jednym palcu trzeba podeprze´c ja w ´srodku ci֒ e˙zko´sci.)֒
5. Cz
asteczka fulerenu C֒ 60ma 60 atom´ow w
egla, kt´֒ ore znajduj a si֒
e w wierzchoÃlkach pew-֒
nego wielo´scianu wypukÃlego P. Wielo´scian P ma ´sciany dw´och rodzaj´ow: pi eciok֒
aty֒
foremne i sze´sciok
aty foremne. W ka˙zdym wierzchoÃlku wielo´scianu P spotykaj֒
a si֒
e֒
trzy ´sciany: dwie sze´sciok
atne i jedn֒
a pi֒
eciok֒
atn֒
a. Ile ´scian pi֒
eciok֒
atnych, a ile ´scian֒
szesciok
atnych ma wielo´scian P?֒
W rozwi
azaniu skorzystaj z faktu, ˙ze w ka˙zdym wielo´scianie wypukÃlym liczba jego֒
´scian S, liczba kraw
edzi K i liczba wierzchoÃlk´֒ ow W zwi
azane s֒
a wzorem Eulera֒
S − K + W = 2
1
