Logika A
AKSJOMATY GEOMETRII EUKLIDESOWEJ
Jako poj¸ecia pierwotne geometrii wybieramy punkty, proste, p laszczyzny i przek- szta lcenia. Oznacza to, ˙ze wyr´o˙zniamy cztery zbiory (jako relacje unarne) P (zbi´or punkt´ow), L (zbi´or prostych), PL (zbi´or p laszczyzn) i T (zbi´or przekszta lce´n), i badamy relacje pomi¸edzy nimi.
Nast¸epuj¸ace relacje wyr´o˙zniamy jako podstawowe: ∈ - relacja incydencji (nale˙zenia punktu do prostej lub do p laszczyzny), B(x, y, z) - relacja le˙zenia mi¸edzy (jest stosowana tylko dla punkt´ow) i relacja przeniesienia A(α, x, y)1 . Jako podstawowe wyr´o˙zniamy r´ownie˙z dzia lania z lo˙zenia przekszta lce´n α · β i przekszta lcenia odwrotnego α−1.
J¸ezyk Geometrii Euklidesowej:
LGE = (P, L, PL, T , ∈, B(x, y, z), A(α, x, y), ·,−1).
1.Aksjomaty incydencji:
A.1.1. Ka˙zda prosta zawiera przynajmniej dwa punkty. Przez dowolne dwa punkty mo˙zna przeprowadzi´c dok ladnie jedn¸a prost¸a:
(∀l)(L(l) → (∃x, y)(P(x) ∧ P(y) ∧ (x ∈ l) ∧ (y ∈ l) ∧ (x 6= y)));
(∀x, y)(P(x) ∧ P(y) → (∃l)(L(l) ∧ (x ∈ l) ∧ (y ∈ l)∧
(∀l0)(L(l0) ∧ (x ∈ l0) ∧ (y ∈ l0) ∧ (x 6= y) → (l = l0))).
A.1.2. Istniej¸a trzy punkty nie le˙z¸ace na tej samej prostej, i istniej¸a cztery punkty nie le˙z¸ace na tej samej p laszczyznie.
A.1.3. Ka˙zda p laszczyzna zawiera przynajmniej jeden punkt. Przez ka˙zde trzy punkty mo˙zna przeprowadzi´c p laszczyzn¸e. Przez ka˙zde trzy punkty, nie le˙z¸ace na tej samej prostej, mo˙zna przeprowadzi´c dok ladnie jedn¸a p laszczyzn¸e.
A.1.4. Je´sli prosta i p laszczyzna maj¸a przynajmniej dwa punkty wsp´olne, to wszystkie punkty prostej nale˙z¸a do p laszczyzny.
A.1.5. Je´sli dwie p laszczyzny maj¸a wsp´olny punkt, to takich punkt´ow jest wi¸ecej ni˙z jeden.
Uwaga 1. Nast¸epuj¸ace stwierdzenia s¸a wnioskami aksjomat´ow incydencji:
(a) dwie r´o˙zne proste maj¸a nie wi¸ecej ni˙z jeden punkt wsp´olny; dwie r´o˙zne p laszczyzny posiadaj¸ace punkt wsp´olny maj¸a wsp´oln¸a prost¸a; i p laszczyzna i nie nale˙z¸aca do niej prosta maj¸a nie wi¸ecej ni˙z jeden punkt wsp´olny;
(b) przez prost¸a i nie nale˙z¸acy do niej punkt mo˙zna przeprowadzi´c dok ladnie jedn¸a p laszczyzn¸e; przez dwie proste (nale˙z¸ace do tej samej p laszczyzny) bez punkt´ow wsp´olnych mo˙zna przeprowadzi´c dok ladnie jedn¸a p laszczyzn¸e;
(c) ka˙zda p laszczyzna zawiera trzy punkty niewsp´o lliniowe;
(d) je´sli trzy punkty nie s¸a wsp´o lliniowe, to s¸a parami r´o˙zne;
1α oznacza przekszta lcenie, a x, y oznaczaj¸a punkty
1
(e) je´sli cztery punkty nie s¸a wsp´o lp laszczyznowe, to ka˙zde trzy z nich nie s¸a wsp´o lliniowe.
Zadanie 1. Sformalizowa´c w logice 1-go rz¸edu powy˙zsze stwierdzenia.
2. Aksjomaty uporz¸adkowania.
A.2.1. Je´sli y le˙zy pomi¸edzy x i z, to x, y, z s¸a wsp´o lliniowe i parami r´o˙zne:
(∀x, y, z)(P(x)∧P(y)∧P(z)∧B(x, y, z) → x 6= y∧x 6= z∧y 6= z∧(∃l)(L(l)∧x ∈ l∧y ∈ l∧z ∈ l)).
A.2.2. Je´sli x, y, z ∈ P s¸a wsp´o lliniowe i parami r´o˙zne, to zachodzi alternatywa B(x, y, z) ∨ B(y, z, x) ∨ B(z, x, y).
A.2.3. (∀x, y, z ∈ P)(B(x, y, z) → B(z, y, x) ∧ ¬B(y, x, z)).
A.2.4. Je´sli x, y ∈ P s¸a r´o˙zne, to istniej¸a punkty u, v takie, ˙ze zachodz¸a B(x, y, u) i B(x, v, y).
A.2.5. (∀x, y, z, v ∈ P)(B(x, y, z) ∧ B(y, z, v) → B(x, y, v)).
A.2.6. (∀x, y, z, v ∈ P)(B(x, y, v) ∧ B(y, z, v) → B(x, y, z)).
A.2.7. Je´sli prosta l le˙zy na p laszczy´znie p (tzn. ∀x(x ∈ l → x ∈ p)), to na punktach p laszczyzny p relacja D(x, y) := ∀z(z ∈ l → ¬B(x, z, y)) jest relacj¸a r´ownowa˙zno´sci o dok ladnie dwu klasach.
Dla dowolnych punkt´ow x i y przez (x, y) oznaczamy zbi´or wszystkich punkt´ow pomi¸edzy x i y. Przez [x, y] (odcinek zamkni¸ety) oznaczamy (x, y) razem z ko´ncami x i y.
Uwaga 2. Nast¸epuj¸ace stwierdzenia s¸a wnioskami aksjomat´ow uporz¸adkowania:
(a) je´sli punkt v le˙zy na prostej l, to na punktach prostej l relacja D(x, y) :=
¬B(x, v, y) jest relacj¸a r´ownowa˙zno´sci o dok ladnie dwu klasach (ka˙zd¸a z tych klas nazywamy p´o lprost¸a);
(b) ka˙zdy odcinek zamkni¸ety zawiera niesko´nczenie wiele punkt´ow.
Zadanie 2. Sformalizowa´c w logice 1-go rz¸edu powy˙zsze stwierdzenia.
Niech h i k b¸ed¸a p´o lprostymi o wsp´olnym pocz¸atku O, i niech x ∈ h i y ∈ k.
M´owimy, ˙ze p´o lprosta g o pocz¸atku O znajduje si¸e pomi¸edzy h i k, je´sli g przecina [x, y].
Uwaga 3. (na bazie aksjomat´ow uporz¸adkowania),
(a) Je´sli x0 ∈ h, y0 ∈ k i p´o lprosta g znajduje si¸e pomi¸edzy h i k, to g r´ownie˙z przecina [x0, y0].
(b) Niech g, h, k i l b¸ed¸a p´o lprostymi o wsp´olnym pocz¸atku O. Je´sli p´o lprosta k znajduje si¸e pomi¸edzy g i l, a p´o lprosta h znajduje si¸e pomi¸edzy g i k, to p´o lprosta h znajduje si¸e pomi¸edzy g i l. Je´sli p´o lproste h i k znajduj¸a si¸e pomi¸edzy g i l, to p´o lprosta h znajduje si¸e pomi¸edzy g i k lub p´o lprosta h znajduje si¸e pomi¸edzy k i l.
Niech h i k b¸ed¸a p´o lprostymi o wsp´olnym pocz¸atku O. K¸atem (h, k) o bokach h i k nazywamy zbi´or wszystkich p´o lprostych pomi¸edzy h i k.
Uwaga 4. K¸at (h, k) sk lada si¸e z takich p´o lprostych g, ˙ze g i h nale˙z¸a do tej samej p´o lp laszczyzny wzgl¸edem prostej przed lu˙zaj¸acej k, oraz g i k nale˙z¸a do tej samej p´o lp laszczyzny wzgl¸edem prostej przed lu˙zaj¸acej h.
3. Aksjomaty przekszta lce´n.
2
A.3.1. Dla ka˙zdego przekszta lcenia α i ka˙zdej prostej l (p laszczyzny p) istnieje prosta l0 (p laszczyzna p0), kt´ora sk lada si¸e z punkt´ow {x ∈ P : A(α, y, x) ∧ y ∈ l}
(odpowiednio {x ∈ P : A(α, y, x) ∧ y ∈ p}). 2
A.3.2. Dla ka˙zdego przekszta lcenia α i punkt´ow x, y, z zachodzi B(x, y, z) ↔ B(α(x), α(y), α(z)).
A.3.3. Zbi´or przekszta lce´n T tworzy grup¸e wzgl¸edem dzia la´n z lo˙zenia · i odwraca- nia −1. Neutralnym elementem tej grupy jest przekszta lcenie to˙zsamo´sciowe.
A.3.4. Je´sli przekszta lcenie α przeprowadza p´o lprost¸a h na h (zachowuj¸ac jej pocz¸atek), to α przekszta lca punkty p´o lprostej h to˙zsamo´sciowo.
A.3.5. (∀x, y ∈ P)(∃α ∈ T )(A(α, x, y) ∧ A(α, y, x)) i dla ka˙zdej pary p´o lprostych h, k o wsp´olnym pocz¸atku istnieje przekszta lcenie α takie, ˙ze A(α, h, k) ∧ A(α, k, h).
A.3.6. Niech p i p0 b¸ed¸a p´o lp laszczyznami okre´slonymi przez pewne p laszczyzny i proste l i l0 na tych p laszczyznach. Dla ka˙zdej pary p´o lprostych h ⊂ l i h0 ⊂ l0 istnieje dok ladnie jedno α ∈ T takie, ˙ze A(α, h, h0) ∧ A(α, p, p0).
M´owimy, ˙ze dwie figury 3 F i F0 s¸a kongruentne, je´sli istnieje przekszta lcenie α przeprowadz¸ace F na F0. Latwo wida´c, ˙ze (i) ka˙zda figura jest kongruentna z sob¸a sam¸a; (ii) je´sli F jest kongruentna z F0, to F0 jest kongruentna z F ; (iii) je´sli F jest kongruentna z F0 i F0 jest kongruentna z F00, to F jest kongruentna z F00.
Uwaga 5. Nast¸epuj¸ace stwierdzenia s¸a wnioskami aksjomat´ow przekszta lce´n:
(a) Dla ka˙zdego odcinka [x, y] i p´o lprostej h o pocz¸atku O istnieje dok ladnie jeden punkt z ∈ h taki, ˙ze odcinki [x, y] i [O, z] s¸a kongruentne.
(b) Dla ka˙zdego k¸ata (h, k), dla ka˙zdej p´o lprostej l (o pocz¸atku O) i p´o lp laszczyzny p okre´slonej przez l i jej przed lu˙zenie ¯l istnieje dok ladnie jedna p´o lprosta l0 o pocz¸atku O taka, ˙ze k¸aty (h, k) i (l, l0) s¸a kongruentne.
(c) Je´sli k¸aty (h, k) i (h0, k0) s¸a kongruentne, a p´o lproste ¯h, ¯k, ¯h0, ¯k0s¸a dope lnieniami h, k, h0 i k0, to s¸a kongruentne k¸aty (h, ¯k) i (h0, ¯k0), a tak˙ze (h, k) i (¯h, ¯k).
(d) Istnieje k¸at prosty (h, k) (tzn. (h, k) jest kongruentny z (h, ¯k)) i wszystkie k¸aty proste s¸a kongruentne.
M´owimy, ˙ze proste l i l0 s¸a prostopad le, j´esli maj¸a jeden wsp´olny punkt, w kt´orym tworz¸a k¸at prosty.
Uwaga 6. Nast¸epuj¸ace stwierdzenia s¸a wnioskami powy˙zszych aksjomat´ow:
(a) Je´sli l jest prost¸a nale˙z¸aca do p laszczyzny p, to przez ka˙zdy punkt p laszczyzny mo˙zna przeprowadzi´c dok ladnie jedn¸a prost¸a prostopad l¸a do l.
(b) Je´sli tr´ojk¸aty x, y, z i x0, y0, z0 maj¸a kongruentne k¸aty x i x0 i kongruentne pary odcink´ow [x, y], [x0, y0] i [x, z], [x0, z0], to tr´ojk¸aty te˙z s¸a kongruentne.
(c) Je´sli tr´ojk¸aty x, y, z i x0, y0, z0 maj¸a kongruentne odcinki [x, y] i [x0, y0] i kon- gruentne pary k¸at´ow x, x0 i y, y0, to tr´ojk¸aty te˙z s¸a kongruentne.
(d) Je´sli w tr´ojk¸atach x, y, z i x0, y0, z0 odpowiednie pary odcink´ow [x, y], [x0, y0], [y, z], [y0, z0] i [x, z], [x0, z0] s¸a kongruentne to tr´ojk¸aty te˙z s¸a kongruentne.
4. Aksjomat ci¸ag lo´sci.
A.4.1. Je´sli prosta l jest sum¸a dw´och roz l¸acznych wypuk lych zbior´ow C ∪ C0 4 ,
2tak¸a sytuacj¸e b¸edziemy oznacza´c przez A(α, l, l0) i A(α, p, p0).
3zbiory sk ladaj¸ace si¸e z punkt´ow, prostych lub p laszczyzn
4tzn. dla ka˙zdych x, y ∈ C (odpowiednio ∈ C0) [x, y] ⊂ C (odpowiednio ⊂ C0)
3
to istnieje punkt x taki, ˙ze C lub C0 jest p´o lprost¸a okre´slon¸a przez x i l.
5. Aksjomat r´ownoleg lo´sci.
A.5.1. Je´sli l jest prost¸a, i x jest punktem spe lniaj¸acym x 6∈ l, to ka˙zde dwie proste przechodz¸ace przez x i nie zawieraj¸ace punkt´ow wsp´olnych z l (tzn. r´ownoleg le z l), s¸a r´owne.
Uwaga 7. Nast¸epuj¸ace stwierdzenia s¸a wnioskami aksjomat´ow Euklidesa:
(a) Je´sli l i l0 s¸a r´ownoleg le i przecinaj¸a prost¸a h, to odpowiednie k¸aty mi¸edzy l i h i mi¸edzy l0 i h s¸a kongruentne.
(b) W ka˙zdym tr´ojk¸acie suma k¸at´ow jest r´owna sumie dw´och k¸at´ow prostych.
(c) W ka˙zdym r´ownoleg loboku k¸aty przeciwleg le s¸a r´owne, a suma k¸at´ow przy- leg lych jest r´owna dw´om k¸atom prostym.
Zadanie 3. Zapisa´c A.5.1 w logice 1-go rz¸edu.
4
