Analiza błędów szumu kwantyzacji w zależności od długości słowa wyjściowego przetwornika analogowo-cyfrowego

ZESZYTY NA UKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: A U TO MA TY KA z. 61

1981

Ernest CZOGAŁA Śwetła STOOANOWA

AN AL IZ A BŁ ąD ÓW SZUMU K W A N T Y Z A C O 1

W ZALEŻNOŚCI 00 DŁUGOŚCI SŁOWA WYJŚ CI OW EG O PRZE TW OR NI KA A N AL OG OW O- CY FR OW EGO

S t r e s z c z e n i e . W pracy przeanalizowano dwa rodzaje błędówjbez- względnego i względnego spowodowanych szumem kwantyzacji. Dokonano oszacowania błędu względnego w zależności od liczby bitów słowa wyjś ci ow eg o przetwornika a n a l o g o w - c y f n o w e g o , posługując się kryte­

rium całkowym zbieżności szeregów. Wyniki obliczeń zilustrowano w y ­ kresem,

1. Ws t ęp

Za st os ow an ie analogowo-cyfrowej konwersji sygnałów (np. poprzez prze­

tworniki an alogowo-cyfrowe) powoduje pewien szczególny rodzaj błędów,zwa­

nych szumem kwantyzacji [l] , [2], [3]. Oczywistym jest fakt. że błędy te muszę maleć wraz ze wzrostem liczby bitów słowa wy jś ci ow eg o urzędzenia do­

konującego konwersji przy ustalonym zakresie wielkości przetwarzanej i stałym okresie próbkowania.

Poza szumem kwantyzacji przetwarzanie an al og ow o- cy fr ow e wprowadza je­

szcze szereg innych błędpw i zniekształceń [l] . Na le ży tu wymienić cho­

ciażby takie efekty,Jak:

1° zniekształcenia aperturowe wynikające z faktu, że czas apertury, tj.

czas potrzebny na pobranie próbki jest skończony. V.' czasie tym uśred­

nia się pr ób ko wa ny przebieg, przy czym czas powinien być niewielki w porównaniu z okresem próbkowania

2° migotanie czyli fluktuacje mo mentów próbkowania, jest to efekt wynika­

jący z losowych wahań długości okresu próbkowania 3° nieliniowość

i i n n e [lj .

W niniejszej pracy dokonano analizy dwóch rodzajów błędów: względnego i be zw zg lę dn eg o, sp owo do wa ny ch szumem kwantyzacji. Przedstawiono również wyni-ki ob liczeń zmian względnego błędu szumu kwantyzacji w zależności od liczby bitów słowa wyjściowego. Wyniki obliczeń zilustrowano wvkreseę.

5B E. Czogała, S. Stojanowa

2. Błąd bezwzględny szumu kwantyzacji --

W celu ilustracji mechanizmu powstawania Ijłędu (bezwzględnego) szumu kwantyzacji rozpatrzymy relację między wielkościę przetwarzania a cy f r o ­ wym wynikiem przetwarzania.

Relację zilustrowanę na rys. 1 można zapisać w postaci: '

s_ => s + b , a a (l)

gd z i e :

a - wartość wi el ko śc i p r z e t w a r z a n e j ,

sg - wynik przetwarzania ni ez sokręglony do wartości całkowitych, s - wynik przetwarzania za ok rę gl on y do wart oś ci całkowitych, brf - wartość błędu kwantyzacji wynikajęca z zaokręglenia s0 do s.

Wartość bł^du kwantyzacji bd Jest więc różnicę między niezaokręglonę wartościę sa a Jej za ok ręglenlem s, t j . :

b d ■ sa - s (la)

Oczywiście błęd kwantyzacji jest zmiennę l o s o w ę , którę oznaczać będziemy Bd , o zadanym rozkładzie prawdopodobieństwa. Przyjmuje się [ l ] , że błęd kwantyzacji ma równomierny rozkład pr aw do podobieństwa tzn. rozkład o gę­

stości opisanej wzorem

A n aliza bł ęd ów szumu k w a n t y z a c j i . . 59

h i u

O dla pozostałych wa rtości błędu.

(2)

gdzie i x Jo3t pr ze dz ia ło m (skokiem) kwantowania.

W e r tość oczekiwana błędu kwantyzacji wynosi:

E ( B d ) dbd - 0 (3)

- 2

natomiast Jego wariancja i odchylenie standardowe wynoszę odpowiednio

+ i Ax

/ \ Ź

^ B d *E- [Bd - E ( B d )] J *

J

- i A*

v ■ V £ '

( 4 )

(4a)

T r ak tu ję c błęd Bd Jako proces stochastyczny m o ż e m y wyznaczyć Jego podstawowe ch ar ak te ry st yk i probabilistyczna, tj. wartość oczeklwanę:

(5)

oraz funkcję autokorelacji

Kq (i At) - E j[Bd (t) - E ( B d (t))] [Bd (t + iAt) - E ( B d (t + i A t j ) ] | (6)

Przyjmujęc, że Jb s* nl eskorelowanym szumem o średniej równej zero dla funkcji au to korelacji mamy: /

K n ( i At) Bd

1 2

■^2 (óx) dla 1 * 0

O dla pozostałych wa rt oś ci i

(7)

O b li cz ym y teraz funkcję widmową gęstości mocy dokonując transformacji Fou­

riera na funkcji autokorelacji:

60 E. Czogała. S. Stojanowa

+ 00 jCi)i A t

S B (<o) rn Z i Kg (t)e~iCOtM e 2 ^ Kg (i A t ) e At (8)

^ +00 i=—e*°

skęd dla i*0 mamy tylko jeden składnik sumy

S a (o>) ■ i (Ax)2 . A t 0i£<j < (9)

D^j O A l

gdzie: At Jest okresem próbkowania.

Oeżeli zakres C Je dn os te k wioli

nostkom ar bi tralnym (N-liczba bitó w słowa wyjściowego) czyli

Oeżeli zakres C Jednostek wi ol ko śc i przetwarzanej odpowiada 2 Jed-N

A x « “ct (lO)

2

wówczas widm o gęstości mocy S_ (w) można wyrazić w n a s t ęp uj ęc y sposób:

Bd

S Bh (w) " ^ 5 rSłl a 2 (11)

Można tutaj zauważyć, że widm o gęstości mocy bę dę ce funkcję okresu pr ób­

kowania At, zakresu C i liczby bitów słowa wy jś ci ow eg o nie za le ży od u w przedziale j^O, (w po zo st ał ym pr ze dz ia le wynosi zero). Z ostatniej zależności wynika również, że gęstość widmowa mocy błędu be zwzględnego szumu kwantyzscji ma le je wy kł a d n i c z o wraz ze w z r o st em liczby bitó w słowa wy jś ci ow eg o dle ustalo ne go zakresu wi el ko śc i przetwarzanej 1 stałego o- kresu próbkowania.

3. O k re śl en ie 1 os za co wa ni e błędu wz gl ęd ne go szumu kwantyzacji

W tym pu nkcie p r z e d s t a w i m y możliwość określenia błędu względ ne go szumu kwantyzacji będęcego Je dy ni e funkcję długości słowa w y j ś ci ow eg o p r z e t w o r ­ nika an al og owo-cyfrowego. Bioręc pod uwagę zależność na funkcję widmowę gęstości mocy

2

Sg (o), At,C ) * O ś t o ś ( l i s )

nB le ży tak określić b ł ę d , aby ch ar ak te ry zo wa ł efekt wywo ła ny skończonę długościę słowa.

An aliza bł ęd ów szumu kwantyzacji. 61

Błęd taki określimy wzorem:

6 = (12)

Na le ży tu z a z n a c z y ć , że wyrażenia w liczniku i mianowniku nie reprez en tu­

ję 'mocy widma (sumowanie nie zachodzi po o ) , a po N). Wyrażenia te przed- stawiaję odpo wi ed ni e sumy ci ęg ów wartości funkcji gęstości mocy widma dla kolejnych długości słów. M i an ow ni k zawiera sumę wszyst ki ch wartości widma gęstości mo cy poczęwszy od słowa 1-bitowego, aż do nieskończonej długości, licznik natomiast zawiera sumę takich wa rtości gęstości mocy po­

częwszy od słowa określonej długości do nieskończonej długości.

O k re śl on y powyżej błęd maleje, gdy liczba bitów 9łowa się zwiększa, natomiast dla długości słowa równego 1 bit, tak zdef in io wa ny błęd wynosi 100%. Mo żn a więc zauważyć, że błęd ten Jest ściśle zwięzany z informację o długości słowa wyjś ci ow eg o przetwornika dokonujęcego konwersji an al og o­

wo-cyfrowej .

Wy ko r z y s t u j ę c zależności (lla) i (12) oraz kryterium całkowe zb ie żn o­

ści odpowiednich s z e r eg ów [4], błęd wz gl ęd ny zdefiniowany powyżej można oszacować za pomocę nierówności:

N0 (13)

Dokonujęc obliczeń powyższych całek otrzymuje się oszacowanie gdzie: A - C2 .

(14)

P r zy jm uj ęc kolejno długości słowa uzyskuje się z powyższej zależności na- stępujęce wyniki:

62 E. Czogała, S. Stojanowa

Tabela 1 Długość

słowa No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Błęd wzgl.

S[ *]

100 25 6,2500 1,5625, 0,3906 0,0976 0,0244 0,0061 0,0015 0,0004

Wyniki podane w tabeli 1 nożna też przedstawić na w y kr es ie (rys. 2).

Rys. 2. Zależność błędu względ ne go szumu kwantyzacji od długości słowa wyj ściowego

4. Uw ag i i wnioski końcowe

W prac y prze an al iz ow an o dwa rodzaje b ł ęd ów szumu kwantyzacji błędu bez­

względnego, którego gęstość wi dmowa mocy, będęca funkcję okresu p r ó b ko wa­

nia 1 zakresu, ma le je wykł ad ni cz o ze wz ro st em długości słowa w y j ś ci ow eg o przetwornika a n al og ow o- cy fr ow ego oraz wp ro wa dz on eg o w prac y błędu w z g l ę d ­ nego ni ez al eż ne go od okresu pr ób kowania i zakresu również m a le ję ce go w y ­ kładniczo ze wzro st em długości słowa.

Z uwagi na niezależność os ta tn ie go błędu od innych p a r a m e t r ó w dokonano oszacowania tego błędu p o sł ug uj ęc się kr yt er iu m całkowym zbieżn oś ci sz e­

regów.

An aliza błędów szumu kwantyzacji. 63

Z obliczeń wynika, że tak pr zyjęty błęd wzgl ęd ny wy rażony w procentach poczęwazy od długości słowa równej 5 bitów jest mniojszy od 1%. Z uwagi na fakt, że błęd ren Jes.t zw lęzany z dużę ilościę informacji o długości słowa wyjściowego, może być użytecznę miarę w szybkiej ocenie jakości pr ze tworników dokonujęcych konwersji analogowo-cyfrowej.

LITERATURA

,[l3 Otnes R.K. , Enochson L. : Analiza numeryczna szeregów czasowych, WNT, W-wa 1978.

[2] Bandat Q.S. , Piersol A.G.: Measurement and An al ys is of Random Data, Ne w York , Wi le y 1966.

[3] Oliver B.M. , Cage D.H.: Pomiary i przyrzędy elektroniczne, WKŁ, W-wa 1978.

[4] Whittaker E.T. , Wa ts on G.N. : Kurs analizy współczesnej , PWN W-wa 1967.

Złożono w redakcji 10.07.80 r. Recenzent

W formie ostatecznej 8, 11,80 r. Doc. dr lnż. Oerzy Kopka

AHAJ1M3 0U1HE0K 1UYMA KBAHTOBAHHH B 3ABHCHM0CTH OT JPHHU BUXOiHOrO CJIOBA AHAJK)rO-UJM>POBOrO nPE0EPA 30BA T3JIJi

P e 3 » m e

B p a b o T e n p o a H a v n i 3 n p o B a H u a ® 3 - b h * 3 o m n d o K S a 6 o o A K )T H u e h o i H o c n T e J i b H u e , Bb!3BaHHbDC myMOM K B aH T O B aH H H . C jieJ ia H O O lteK K y OTH OCHTeJIbHOii OfflHdKH B 3 3 BHCH- m o c t h o t u n c j i a S h t o b B b ix o A H o r o c j i o B a a H a j t o r o - m n p p o B o r o n p e o d p a s o B a T e . ’m , h c - n o j i t 3 y a H H T e r p a j ib H b iii K p H T e p n ii c x o a h m o c t h p a x o B . P e 3 y j i b T a T H B bm HC JieH Hii n p o - H A B C T pH pO B aH O rp aipH K O M .

QUAN TI ZA TI ON NOISE ERROR ANALYSIS DUE TO

AN OUTBUT WORD LENGTH OF AN AN AL OG -D IG IT AL CONVERTER

S u m m a r y

Two kinds of errors: absolute and relative are analised. A r e l a t i v e

error estimation formulated as a function of an A-D converter output w o r d length bases on a series convergence integrating criterion. The calcula­

tions are illustrated in a graphical form.