Projektowanie filtrów stosowych na podstawie kryterium minimalizacji wartości błędu bezwzględnego

(1)

ZESZYTY N A U K O W E P O LITE C H N IK I ŚL Ą SK IE J Seria: A U T O M A T Y K A z. 122

1998 N r kol. 1388

Zygm unt K U Ś

PROJEKTOWANIE FILTRÓW STOSOWYCH NA PODSTAW IE KRYTERIUM M INIM ALIZACJI WARTOŚCI BŁĘDU BEZW ZGLĘDNEGO

S treszczen ie. W pracy została przedstaw iona klasa filtrów stosow anych p o siad ają

cych w łaściw ość układania w stos i w y korzystujących p ro g o w ą dekom pozycję. K lasa ta zaw iera filtry o parte na statystykach porządkow ych (w szczególności filtr m ed ian o w y ), filtry m orfologiczne i w iele innych.

Jako k ryterium w yboru filtru stosow ego p rzyjm uje się śre d n ią w artość b ezw zg lęd n ą p o m ięd zy sygnałem idealnym a w yjściem filtru. M in im alizacja średniego b łęd u bez

w zględnego m oże być uzyskana ja k o rozw iązanie odpow iedniego zad an ia p ro g ram o w ania liniow ego.

P rzedstaw ione, rozw inięte m etody po zw alają na o bliczanie w sp ó łczy n n ik ó w m a cierzy og ran iczeń d la w cześniej sform ułow anego zadania p ro g ram o w an ia liniow ego.

N a ko n iec przedstaw iono przykłady optym alnych filtrów stosow ych.

STACK F IL T E R D E S IG N B A S E D O N TH E M EA N A B S O L U T E E R R O R CRITERION

S u m m ary. T he class o f stack filters preserving stacking property and threshold d eco m p o sitio n is introduced. R ank order filters (especially m ed ian filters), m o rp h o lo g i

cal filters and m any others are included in this class.

A s a criteria fo r selection o f a stack filter the m in im izatio n o f the m ean ab so lu te er

ro r betw een required signal and the filter o u tp u t is taken. T he m in im izatio n o f m e a n a b solute erro r can be o b tain ed through solution o f th e appropriate lin ear p ro g ram m in g problem .

T hese en hanced m ethods allow fo r com putation o f the coefficients an d the m atrix o f co n strain ts fo r th e linear p rogram m ing p roblem form ulated above.

F inally, exam ples o f stack filters are presented.

(2)

100 Z. Kuś

Wstęp

W d zied z in ie przetw arzan ia obrazów w y stęp u ją obecnie trendy zm ierzające z je d n e j strony do p o szu k iw an ia now ych algorytm ów przetw arzania, a z drugiej do p o szu k iw an ia now ych sp o so b ó w realizacji znanych ju ż algorytm ów . P ow odem ty ch p o szu k iw ań je s t dążenie do p rzy sp ieszen ia d ziałan ia uk ład ó w i oprogram ow ania o raz zm n iejszen ia k o sztó w produkcji.

S zczególnie duże w ym agania, je ś li chodzi o szybkość działania, staw ia p rzetw arzan ie ob

razó w w czasie rzeczyw istym .

P o szu k iw an ia m ożliw ości zw iększenia szybkości działan ia o ra z u p ro szczen ia konstrukcji p o w o d u ją że podejście do przetw arzania o b razó w oferow ane p rz e z m eto d ę przetw arzania stosow ego je s t szczególnie atrakcyjne.

K lasę filtrów stosow ych defin u je się ja k o p o siad ającą w łaściw ość słabej superpozycji, n az y w a n ą pro g o w ą d e k o m p o z y c ją i w łaściw ość p o rz ą d k u ją c ą n az y w a n ą w ła śc iw o śc ią ukła

dania w stos. W k lasie filtró w stosow ych zaw ierają się filtry ze staty sty k am i porządkow ym i o raz filtry składające się ze skończonej liczby filtró w ze statystykam i porządkow ym i, w szy stk ie filtry m orfologiczne oparte n a operacjach „o tw ieran ia” i „zam y k an ia” o ra z w iele innych szeroko stosow anych filtrów .

M eto d a p zetw arzan ia stosow ego p o leg a na dekom pozycji ciągu w ielo w arto ścio w eg o na ciągi binarne, w y k o n an iu operacji przetw arzania n a ty ch ciągach, co je s t szczeg ó ln ie p ro ste, a następnie p o w ro cie do ciągu w ielow artościow ego p rzez „su m o w an ie” w y n ik o w y ch ciągów binarnych.

R óżne rodzaje filtracji uzyskujem y przez zastosow anie na k ażd y m p o zio m ie progow ania pew nej funkcji boolow skiej. O filtracji stosow ej m ów im y w m om encie, gdy zastosow ana funkcja b o o lo w sk a posiada w łaściw ość układania w stos. F u n k cja b o o lo w sk a p o sia d a w łaści

w o ść u k ład an ia w stos, je ż e li w sw ojej zm inim alizow anej postaci sum acyjnej nie zaw iera do

pełn ień zm ien n y ch w ejściow ych. F unkcje takie nazyw am y d odatnim i funkcjam i boolow skim i.

W sp o m n ian a dek o m p o zy cja pozw ala n a realizację znanych alg o ry tm ó w p rzetw arzan ia w odm ienny n iż do tej pory sposób. Is to tn ą c e c h ą tego p o d ejścia je s t łatw o ść w y k o n an ia prze

tw o rn ik ó w sto so w y ch przy w yk o rzy stan iu technologii V L SI, co u m o żliw ia w zro st szybkości d ziałan ia, pozw alający zrealizow anie przetw arzania o b razó w w czasie rzeczyw istym .

K o le jn ą w a ż n ą c e c h ą przetw orników stosow ych je s t m o żliw o ść k o n stru k cji dużej liczby ró żn y ch p rzetw orników . W łaściw ości w ielu z n ich nie zostały d otychczas je s z c z e zbadane.

D la ilustracji tej różnorodności pow iedzm y tylko, że przetw o rn ik ó w z a p e rtu rą szero k o ści 3 je s t 20, z a p e rtu rą 5 je s t 7581, a z a p e rtu rą 7 je s t co najm niej 2 35.

P rzy tak licznej klasie przetw o rn ik ó w stosow ych p o jaw ia się p ro b lem d o p aso w an ia rodza

ju p rzetw arzan ia d o konkretnej sytuacji, czyli problem w yboru funkcji boolow skiej ok reślają

cej dany filtr.

(3)

Projektow anie filtrów stosow ych. 101

Zatem pierw szym zadaniem , ja k ie trzeba sobie postaw ić, je s t określenie kryterium , w edług którego będziem y poszukiw ać funkcji boolow skiej definiującej filtr stosow y. W niniejszej pracy rozw aża się sytuację, gdy m inim alizow anym w skaźnikiem je s t w artość śred n ia błędu bezw zględnego.

Z o m aw ian iem p odstaw ow ych w łaściw ości przetw arzania stosow ego m o żn a się spotkać w [1,3,4,5,6]. P roblem am i zw iązanym i z przeszukiw aniem funkcji boolow skiej m in im alizu ją

cej średni błąd bezw zględny zajm ow ali się m iędzy innym i C oyle E dw ard i L in Jean -H san g w P].

1. Podstaw ow e d efin icje i w łaściw ości przetw arzania stosow ego

Przedstaw ione z o stan ą tutaj podstaw ow e definicje i tw ierdzenia dotyczące p rzetw arzan ia stosowego. Id ea p rzetw arzan ia stosow ego zo stała zilu stro w an a n a przykładzie realizacji przetw arzania m edianow ego - rys. 1.1.

próg 3

próg 1

1 1 0 2 2 3 1 2 2

M M M M I

p ro g o w a d e k o m p o z y c ja

M M M M I

0 0 0 0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 1 1 1 1 1

1 2 2 2 2 2 2 M t t )

s u m o w a n i e I w y jś ć b in a r n y c h

I I I I I I 0 0 0 0 0 0 0 0 0

BFM = X 1X2 + X -jXj + X 2 X 3

Rys. 1.1. F iltra cja m e d ia n o w a w y k o n a n a m e to d ą p rz e tw arza n ia sto so w e g o Fig. 1.1. M ed ian filterin g b y stac k filterin g

N a r y s .l .ł w idzim y, Ze przetw arzanie stosow e po leg a n a w konaniu progow ej d e k o m p o zycji czterow artościow ego ciągu w ejściow ego do trzech ciąg ó w binarnych, binarnej filtracji medianowej tych ciąg ó w binarnych i sum ow aniu ciągów binarnych, co daje w efekcie cztero- w artościow y ciąg w yjściow y.

P ro g o w ą dekom pozycję definiujem y w następujący sposób:

Definicja progowej dekompozycji

P rogow ą d ek o m p o zy c ją M - w artościow ego ciągu R o elem entach R (k) nazyw am y zb ió r M -l binarnych ciągów , zw anych ciągam i sprogow anym i:

(4)

102 Z. Kuś

(1) których elem enty określam y następująco:

(2)

S um ow anie w yjściow ych ciąg ó w binarnych d la w iększej liczby p o zio m ó w w ym agałoby przy realizacji w tech n o lo g ii V L S I w y k o n an ia bardzo dużego sum atora, dlateg o o m ija się te k o n iecz n o ść dzięki założeniu, że funkcja b o o lo w sk a p o siad a w łaściw ość u k ład an ia w stos, d efin io w a n ą następująco:

D efin icja w ła ściw o ści u k ład an ia w stos

D efin icja d la u porządkow anych zb io ró w ciągów :

U p orządkow any zb ió r M bin arn y ch ciąg ó w S |, S2, ... SM po iad a w łaściw o ść u k ład an ia w stos, je ż e li:

Jeżeli ż a d n a z ty ch relacji n ie zachodzi, m ów im y, że ciągi s ą nieporów nyw alne.

D efinicja d la funkcji binarnych:

O funkcji binarnej B ( ) m ów im y, że posiada w łaściw ość u kładania w stos, jeże li:

R ozw ażając zapis funkcji boolow skiej w postaci w yrażenia m o żem y sfo rm u ło w ać w aru

nek p o siad an ia p rzez funkcję w łaściw ości układ an ia w stos.

W a ru n ek k on ieczn y i w y starczający p osiad an ia p rzez fu n k cję b in arn ą w łaściw ości u k ła d a n ia w stos

B in arn a funkcja posiadania w łaściw ości u k ład an ia w stos m a m iejsce w tedy i ty lk o w tedy, je ż e li m o że b y ć w y rażo n a w postaci w yrażenia boolow skiego nie zaw ierającego żad n y ch do

pełn ień zm ien n y ch w ejścio w y ch [1].

N a r y s .l.2 .a .b przedstaw iono p rzykładow e funkcje posiadające i nie posiad ające w łaści

w o ść u k ład an ia w stos. W ektory zaw ierające argum enty funkcji boolow skiej [ x ( l ) , x (2), x ( 3 ) ] u szereg o w an o od najw iększego do najm niejszego (4), od do łu do góry. Z atem odpo

w iad ające im w y jścia funkcji pow inny d ać kolum nę m a ją c ą od do łu ciąg je d y n e k i id ąc dalej

S1 > S 2 ^ ...SSm

(3)

R elacje nierów ności dla ciągów o kreślam y następująco:

x = y o V i x ( i) = y (i) x < y o V i x ( i) < y (i) (x < y ) ^a (x * y ) - » x < y

(4)

x Ł y => B (x ) > B (y )

(5)

Projektow anie filtrów stosow ych... 103

w górę następujący za nim ciąg zer i tak się dzieje w przykładzie z rys. 1.2.a, gdzie m am y do czynienia z d o d a tn ią fu n k cją boolow ską.

Jeżeli zauw ażym y, ze operacja p ro g o w an ia daje nam zaw sze w efekcie u p orządkow any zbiór ciąg ó w posiad ający w łaściw ość u kładania w stos oraz założym y u ży cie w m iejsce B FM z rys. 1.1 funkcji boolow skiej ró w n ież posiadającej tę w łaściw ość, to w idzim y, że w yjściow e ciągi binarne ró w n ież tw o rz ą uporządkow any zbiór, posiadający w łaściw ość u k ład an ia w stos.

Dla danej chw ili czasu (n u m eru elem entu) w ciągu w ejściow ym otrzy m u jem y , idąc od n a j

w iększego p o zio m u progow ania, kolejno sam e zera i sam e jed y n k i. S tąd w id zim y , że su m o wanie m o żn a zastąpić p rzeprow adzeniem detekcji poziom u, na k tó ry m n astąp iła pierw sza zmiana z 0 na 1.

X + X • X

3

0 0 0 X2+ - W o

0 0 1 x 2+ w o

0 1 1 x , + x , - v 1

1 1 1 X2+ X ( V 1

Rys. 1,2.a. P rzy k ła d fu n k c ji b o o lo w sk iej p o siad ającej w ła śc iw o ść u k ła d a n ia w sto s F ig .l.2 .a . E x a m p le o f b o o le a n fu n c tio n w h ich o b e y stac k in g p ro p e rty

X + x • x

2 1 3

0 0 0 V W 1

0 0 1 S + X . X3 = 1

0 1 1 V X . ' V 0

1 1 1 V \ V 1

Rys. 1,2.b. P rzy k ła d fu n k c ji b o o lo w sk iej n ie p o siad ającej w ła śc iw o ści u k ła d a n ia w stos Fig. 1.2.b. E x a m p le o f b o o le a n fu n c tio n w h ic h n o t o b ey stac k in g p ro p erty

F unkcje b o o lo w sk ie posiadające w łaściw ość układania w stos nazyw ane s ą d o d atn im i funkcjam i b oolow skim i. N iezn an a je s t d okładna analityczna zależn o ść p om iędzy lic z b ą d o datnich funkcji bo o lo w sk ich a szero k o ścią apertury filtru, w iadom o nato m iast, że d la 3 p u n k

(6)

104 Z. Kuś

tó w w aperturze je s t tych funkcji 20, dla 5 je s t ich 7581, a d la apertury szerokości 7 je s t co najm niej 2 35 d odatnich funkcji boolow skich.

W idzim y zatem , że w ybranie jed n ej z w ielu m o żliw y ch funkcji w y m ag a zastanow ienia się, ja k im k ryterium m o żn a się w tym w yborze kierow ać. W rozdziale 2 będzie sform ułow ane k ryterium w artości średniej błędu bezw zględnego i będziem y p o szu k iw ać funkcji boolow skiej m inim alizującej ten w skaźnik ale najpierw zostanie przedstaw iona staty sty czn a interpretacja funkcji boolow skiej i w łaściw ości układania w stos.

D efin icja stoch astyczn ej fu n k cji boolow skiej

Z ak ład am y , że 2 n m ożliw ych ciąg ó w binarnych o długości n m am y uporządkow anych i o znaczonych ja k o x i, X2, ..., x 2n .

S to ch asty czn ą funkcję b o o lo w s k ą n - zm iennych B(-) d efm ujem y w ektorem Pg z 2" ele

m entam i, w którym i - ty elem ent oznacza:

Pb (1 | x ,) = P (B m a w artość 1 | x j je s t argum entem B) (6)

Jednocześnie

Pb (0 | X j ) = 1 - P B (1 I x t ) (7)

D efin icja stoch astyczn ej w łaściw ości uk ład an ia w stos

S to ch asty czn a fun k cja boolow ska posiada sto ch asty cz n ą w łaściw o ść układ an ia w stos, je ż e li:

E (B (x )) > E(B(y)) <=> x >y , (8)

g dzie E je s t o peratorem w artości oczekiw anej.

Z ad an ie p o szu k iw an ia funkcji boolow skiej m inim alizującej średni błąd bezw zg lęd n y zo

stanie rozw iązane p rz e z p o d an ie m etody zn ajdow ania stochastycznej funkcji boolow skiej m inim alizującej średni błąd bezw zględny, a następnie w ykazane zostanie, że praw d o p o d o bieństw a d efiniujące tę funkcję p rz y jm u ją zaw sze w artości 0 lub 1. Z atem u zy sk iw an a sto

ch asty czn a fun k cja b o o lo w sk a rów now ażna je s t determ inistycznej funkcji b o olow skiej, którą w ykorzystujem y do stw o rzen ia filtru stosow ego.

2. S form ułow an ie zadania filtracji optym alnej

W ro zd ziale ty m zo stan ie przedstaw iony m odel zadania optym alizacji do b o ru filtru z w y

szczególnieniem u w zględnianych sygnałów , określony m inim alizow any w sk aźn ik jak o ści

(7)

oraz sform ułow ane zadanie m inim alizacji średniego błędu bezw zględnego ja k o zadanie p ro gram owania liniow ego.

2.1. M odel za d a n ia op tym alizacji

N a rys.2.1 pokazany je s t m odel zadania filtracji optym alnej. S ygnał oryginalny (niezakłócony) S (t) je s t zaszum iany sygnałem n (t). Sposób tego zaszu m ian ia op isu je staty cz

na funkcja gR (•); w artość R (t) w chw ili t zależy tylko od w artości S(t) i N (t) w chw ili t. Z sygnału R (t) w ybierany je s t ciąg R n (t) o długości n, rów nej szerokości apertury filtru Sb(-)- Ciąg ten nazyw any b ęd zie w ektorem aperturow ym i oznaczany ja k o W (t). W w y n ik u p rze

tw arzania p rzez filtr stosow any Sb (•) sygnału w ek to ra aperturow ego u zyskujem y ocenę sy gnału o ryginalnego S (t).

S ( t )

S( t ) N{1)

m

71

9r{')

m

Rn(L) = W ( l ) S B{-

5(0

T

N ( t )

s y g n a ł id e a ln y ^ ( 0 s y g n a ł z a k łó c a ją c y S ( t ) sy g n a ł obserw ow any przez filtr Sb(-) szerokość a p e r tu r y filtru

w ek to r a p e rtu ro w y sy g n a ł w yjściow y z filtru filtr stosow y

Rys.2.1. M o d el z ad a n ia filtracji o p ty m a ln e j Fig.2.1. O p tim a l filtra tio n p ro b lem m o d el

S zczegółow y opis m odeli sygnałów znajduje się w rozdziale 3.1.

2.2. W sk aźn ik jak ości

Poszukujem y funkcji boolow skiej m inim alizującej średni błąd bezw zględny.

C (S B) = E[ | S (t) - S B(W ( t)) | ] (9)

D zięki w łaściw ości układ an ia w stos otrzym ujem y:

M

C (S b ) = £ E [ | S|( t ) - B ( w . ( t ) ) | ] , (10)

i= l

(8)

! 06 Z. Kuś

gdzie M je s t liczb ą p o zio m ó w progow ania, Si (t) sygnałem idealnym sp ro g o w an y m n a p o zio m ie i, a W j(t)je s t w ektorem aperturow ym W (t) sprogow anym n a poziom ie i.

D zięki sform ułow aniu oceny sygnału oryginalnego p rzez filtr na p o d staw ie sy g n ału zaszum ionego ja k o pro b lem u decyzyjnego m ożem y p rzedstaw ić w sk aźn ik k o sztó w p o n o szo nych na p o zio m ie progow ania 1 przy użyciu funkcji boolow skiej B w następującej postaci:

C (B 11) =

X

[pb ( ° i v j=i

£ [C ^W A O jn C O lW Jj + C ^ W . l. O ^ lIW . lj j r r iW ) WeQw:v?|=Xj

[ C ji W A l M O I w , 1) + C ,( W ,1,1)71(11 W ,1 ) } « ( W ) WeQw:Wj=Xj

gdzie:

Ci ( W , 1,0) - k oszt ponoszony na poziom ie 1, gdy filtr m a w yjście rów ne 0 a w o ry g in al

nym sygnale je s t 1,

Q ( W ,0,0) - w y jściem filtru je s t 0, pow inno być 0, C| ( W ,0,1) - w y jściem filtru je s t 1, pow inno być 0, Q ( W , 1,1) - w y jściem filtru je s t 1, pow inno być 1,

TT (0 | W , 1) = 1 - n (1 | W , 1) = praw d, (popraw ne w yj. filtru = 1 | na w ejściu je s t W ).

C ałkow ity k oszt p onoszony przy użyciu w filtrze stosow ym funkcji boolow skiej B otrzy

m u jem y w w yniku sum ow ania kosztów ponoszonych n a po szczeg ó ln y ch p o zio m ach pro g o w a n ia ,

M

C (B ) = £ c( B |1 ) (11)

i=l P rzyjm ując

C 1 = [C ^ W A O M O I W ,l) + C , (W ,1,0)jt(1| W,1)J n ( W )

W c Q w:w, =x j

(

12

)

C 2 = £ [C1(W ,0,l)n(0|W ,l) + C1(W ,l,l)jr(l|W ,l)}7t(W ) W £Qw:vv|=x j

(13)

(9)

Projektow anie filtrów stosow ych.. 107

oraz korzystając z zależności

PB( 0 | x j) = l - P B( l | x i ) (14)

otrzym ujemy;

2 "

C (B |1 ) = £ Pb (1 I Xi ) - ( C2 - C ^ + C 1 (15) j=l

P oniew aż w p ły w w yrazu w olnego C 1 na w artość w skaźnika C (B | 1) nie zależy od Pb

(1 | X j) d efin iu jący ch p o szu k iw an ą funkcję boolow ską, m ożem y zm odyfikow ać n asz w sk aź

nik do postaci:

2 n

C -(B |1 ) = £ PB(11X i) (C 2 - C 1) (15) j=l

N astępnie przy jm u jem y , że koszty ponoszone przy p odjęciu przez filtr popraw nej decyzji są rów ne 0

C | ( W , 0 , 0 ) = Q ( W , 1, 1) = 0 (17) i podstaw iając

7t ( l | W , l ) = 1 - Tt (0 | W , 1) (18)

otrzym ujem y:

C '( B |1 ) =

2 n

Ż

P b C I ^ ) -

j= i

7t(W ) • { t(0 | W ,l) ■ [C ,(W ,0,1) + C ^ W .l.O ) ] - C ,(W ,1 ,0 )}

WeQw:w,=xj

(19)

M

C '(B ) = ^ C '( B |1 ) (20)

i=l

Przyjm ując: koszty Q ( W ,0,1) = CW 01 i Ci ( W ,1,0) = C W 10 n iezależne od pozio m u progow ania i w ek to ra aperturow ego o raz binarny sygnał R (t) na w ejściu (1 = 1) otrzym ujem y;

C ’(B ) = £ P g O l k p - U i t p - ^ J ć p fCWOl + C W l O ^ C W l o l , (21)

(10)

108 Z. Kuś

gdzie

* ( * j ) = _ X " W (22)

W € Qw:w, =x j

7 r ( 0 |x j ) = _ Y « ( 0 1 W ) (23)

W e Q w:w ,= x j

2.3. S fo rm u ło w a n ie zad an ia m in im alizacji średniego błędu bezw zględ n ego ja k o zadania p rogram ow an ia liniow ego

Z auw ażm y, że uzyskany w poprzednich ro zw ażaniach w skaźnik C ’ (B ) je s t lin io w ą kom bin acją p raw dopodobieństw określających p o szu k iw an ą funkcję b o o lo w sk ą i p ew nych w spół

czynników , stałych dla przyjętego m o d elu sy gnałów S (t) i N (t) i d la ustalonych kosztów CW 01 i C W 10.

O znaczając w ektor p raw dopodobieństw definiujących funkcję b o o lo w sk ą ja k o

(24)

(25)

C [Ci, C2, C2n ]» (26)

gdzie

Cj = 7t ( x j ) • {7t (0 |X j, 1) - [CW 01 + C W 1 0 ] - C W 1 0 } (27)

m ożem y sform ułow ać p roblem poszukiw ania funkcji boolow skiej m inim alizującej średni błąd bezw zględny ja k o Z adanie Program ow ania L iniow ego.

m in c T P (28)

P

przy o graniczeniach

xj < x i ^ P B( l | x j ) < P B( l | x i) (29) P = £Pi, P2, ..., P2„ ],

gdzie

Pj = P B ( l I X j )

o raz w ek to r w sp ółczynników ja k o

(11)

0 < X ; < 1 (30)

Pierw sza nieró w n o ść ograniczeń (29) w ynika z konieczności spełniania p rzez fun k cję boolow ską stochastycznej w łaściw ości układania w stos, d ruga (30) natom iast zw iązan a je s t z dopuszczalnym i w artościam i, ja k ie m oże przyjm ow ać stochastyczna funkcja boolow ska.

3. R ozw iązanie zad an ia program ow ania liniow ego

R ozw iązanie sform ułow anego pow yżej Z PL zostanie p odzielone n a dw ie części. W p ie rw szej o bliczane b ę d ą w spółczynniki Cj na p odstaw ie danych zaw artych w p rzy jęty ch m o d elach sygnałów S (t) i N (t), a w drugiej o g raniczenia w ynikające z w łaściw ości u k ład an ia w stos i dopuszczalnych w artości stochastycznej funkcji boolow skiej z o sta n ą zapisane w postaci nie

równości m acierzow ych.

3.1. O b liczan ie w sp ó łczy n n ik ó w Cj

W celu o b liczen ia w sp ó łczy n n ik ó w Cj rozpatrzym y, które param etry m odeli sy g n ałó w dane są na w stępie, a któ re m usim y dopiero obliczyć. P aram etry m odeli sy g n ałó w S (t) i N (t) s ą dane. M odel sygnału R (t) znajdujem y na podstaw ie S (t) i N (t). N a p o d staw ie R (t) d la danej szerokości apertury tw orzym y m odel sygnału w ek to ra aperturow ego W (t). N astęp n ie z o sta n ą przedstaw ione w zory n a o bliczanie w spółczynników c; na p odstaw ie znalezio n y ch m odeli sygnałów.

3.1.1. M o d el S (t) i N (t)

Jako m odel sygnału S (t) p rzyjm ujem y stacjonarny łańcuch M ark o w a z p rz e strz e n ią sta

nów Qs = {S i, ..., SMs}, gdzie M s je s t lic z b ą stanów p rzyjm ow anych p rzez S (t) i m ac ie rz ą przejść P s .

P raw dopodobieństw a graniczne stanów S i , ..., Sms oznaczam y przez h i , ..., Iims, gdzie

h . = lim P (S (t) = S ■) (31)

hj obliczam y rozw iązując u k ład rów nań:

(32) j=l

(33) j=!

(12)

110 Z. Kuś

W celu num erycznego rozw iązania pow yższego układu rów n ań tw orzym y m acierz A i w ektory B i X

1 ... M c

A =

1 ... 1 1

M s - M s +!

(34)

g dzie 1 je s t m a c ie rz ą je d n o stk o w ą .

‘0 1

’

h «

'

B = Ó M s X -

V, ’

1 M s + i > s .

P raw d o p o d o b ień stw a graniczne uzyskujem y ja k o rozw iązanie rów nania:

X = A \ B (36)

Jako m odel sygnału N (t) przyjm ujem y stacjonarny łań cu ch M ark o w a z p rz e s trz e n ią sta

n ó w Qn = { N | , ..., N Mn }, gdzie Mn je s t liczb ą stanów przy jm o w an y ch p rzez N (t) i m acierzą przejść Pn-

P raw d o p o d o b ień stw a graniczne stan ó w N i , .... N Mn oznaczam y p rz e z O j , ..., Omn , gdzie

o . = l i m P ( N ( t ) = N . ) (37)

J f—VCO t-»co J

Oj ob liczam y rozw iązując układ rów nań:

m n

= J = 1...Mn

j = i m n

Z v i <39>

j=>

O b liczen ia num eryczne Oj przeprow adzam y analogicznie do o b liczan ia hj.

3.1.2. Model R (t)

Jak o m odel sy g n ału R (t) p rzyjm ujem y stacjonarny łań cu ch M ark o w a z p rz e s trz e n ią sta

nów Q r = { n , ..., rMR}, g d z ie M r je s t lic z b ą stan ó w przy jm o w an y ch p rz e z R (t) i m acierzą przejść Pr.

(13)

M r — M s • M n Q r = Qs x Qn

Pr = P s ® Pn

(40) (41) (42) P raw dopodobieństw o graniczne stanu r^ = (S„ Nj) przy założeniu n iezależności S, o ra z Nj obliczam y ja k o :

3.1.3. M o d el W (t)

Jako m odel sygnału W (t) przyjm ujem y stacjonarny łańcuch M arkow a z p rz e strz e n ią sta

nów Q w = { W , W Mw }, gdzie Mw je s t liczb ą stanów przyjm ow anych p rzez W (t) i m acie

rzą przejść Pw-

Sygnał W (t) p ow staje p rzez nakładanie apertury o szerokości n n a sygnał R (t) i przesu w aniu je j kolejn o o je d n ą p ró b k ę .

O znacza to, że je ż e li P R (i j ) = 0, czyli nie m oże nastąp ić w sygnale R (t) przejście ze stanu r, do stanu iy, to do przestrzeni Qw nie m oże należeć stan Wk , w którym w ystęp o w ały b y je d e n po drugim stany r, i rj. Z atem przestrzeń stanów Qw m ożem y zdefiniow ać następująco:

P rzestrzeń stan ó w Qw generujem y w edług pow yższego w arunku. W w y n ik u ty ch o b liczeń num erycznych uzyskujem y ró w n ież Mw-

O bliczanie m acierzy przejść Pw pokazane zostanie n ajp ierw n a przy k ład zie apertury o szerokości 3. P rzejście ze stanu Wj do stanu Wj przebiega następująco:

g k = lim P (R (t) = rk ) = h j • Oj (43)

(45)

Z atem praw d o p o d o b ień stw o przejścia ze stanu Wj do stanu W- w ynosi:

(46)

Pw ( U ) = P(ri 2 = r j i ) - P ( r i 3 = r j 2 ) . P R( j 2 , j 3), (47)

(14)

112 Z. Kuś

gdzie P(r,2 = rji) o znacza praw dopodobieństw o, że stan r,2 je s t ty m sam ym stan em co rji (przyjm ujem y 0, ja k n ie je s t, a 1 - gdy jest). P (rj2 -> rj3) o zn acza praw d o p o d o b ień stw o przejś

cia ze stanu rj2 do stanu

1

$ .

D la szerokości apertury n obliczam y kolejne Pw (i J ) , i = 1 ,..., Mw ja k o

Pw (i,j) = p(ri2 = rjl ) - p(ri3 = rj2)- ...-p(rin = rjn_i )-PR(jn_1.jn) W

P rzez n ( Wk ), k = 1 , Mw oznaczym y praw d o p o d o b ień stw a g raniczne

u ( W k ) = l i m P ( W ( t ) = W . ) (49)

t->0O

tc ( Wk ) obliczamy rozwiązując układ równań:

M w

7c(Wj ) = £ n (W i ) - P w ( i,j) , j = l , . . . , M w (50) j=l

Mw

^ n ( W j ) = l (51)

j=l

O b liczen ia num eryczne w ykonujem y tak sam o, ja k pokazano d la S(t).

3.1.4. O bliczanie Cj

W spółczynnik Cj obliczam y z w yprow adzonej uprzednio zależności

Cj = 7c(Xj) • ( n ( 0 1 Xj,l) -[CW Ol + CW 10] — C W 10}, (52)

gdzie

* ( * j ) = _ X n(^ 0 W

wk e<3w :n .i= i= X j

S p osób ob liczan ia praw d o p o d o b ień stw g ranicznych n ( W k ) p o kazano w podrozdziale 3.1.3.

P raw d o p o d o b ień stw o w aru n k o w e po jaw ien ia się zera w S (t) i p o jaw ien ia się n a w ejściu filtru Xj obliczam y jak o

7 t ( 0 , X .)

r c ( 0 | x - ) = — — ( 54)

J 7t(Xj)

(15)

Projektow anie filtrów stosow ych.

gdzie

7 t ( 0 , X j ) = Z * (W k )

Wk eQw( ( * U = i = ^ S* rkn/2]=°>

( 5 5 )

W arunek [S ~ r, ]= 0 należy rozum ieć następująco:

n/2

n/2 n

je ż e li S m = 0, to Wk sp e łn ia w arunek.

Jeżeli n ato m iast p rzyjm iem y koszty CW 01 = C W 10 = 1, to m in im alizacja otrzy m an eg o w ten sposób w sk aźn ik a je s t ró w now ażna m inim alizacji średniego błędu bezw zględnego

3.2. P rzcform u low an ie ogran iczeń w yn ik ających z w łaściw ości uk ład an ia w stos do postaci ogran iczeń n ierów n ościow ych Z P L

R ozw ażając ograniczenia, które m usi spełniać funkcja boolow ska, aby m ogła b y ć u ży ta do stworzenia filtru stosow ego, ćhcielibyśm y rozw iązać d w a zw iązane z tym i ograniczeniam i problemy. W łaściw ość układania w stos narzuca konieczność spełniania w aru n k u x ; < Xj=>

B(Xj) < B(Xj). A zatem z je d n e j strony chcielibyśm y zm inim alizow ać liczbę p o ró w n ań k o niecznych do spraw dzenia, czy pow yższy w arunek zaw sze zachodzi, a z drugiej strony chcie

libyśmy zap isać te poró w n an ia w postaci nierów ności m acierzow ej, k tó rą m o żn a by w y k o rzystać ja k o nierów ność ograniczeń ZPL.

W prow adźm y następujące oznaczenia:

(rOs) - ciąg n binarnych zm iennych, r - p odciąg o długości lr, s - p odciąg o długości ls, lr + ls + 1 = n

(r 0 s,rls) - p ara dw óch ciągów binarnych różniących się na jed n ej pozycji Pb ( r 0 s ,l) - praw dopodobieństw o zdarzenia: B(rOs) = 1

Definicja lokalnej właściwości układania w stos

O funkcji boolow skiej B (•) m ów im y, że posiada lokalnie (dla danej pary (rOs, r l s ) ) w ła

ściwość u k ład an ia w stos, jeże li

C (S B) = E [ | S (t) - S b ( W (t)) | ] ( 5 6 )

Pb(rO s.l) ś P B ( r l s , l ) ^{( 5 7 )}

(16)

7^. Kuś

F u n k cja booiow ska B (•) p o siad a w łaściw ość u kładania w stos, je ż e li p o siad a lo k a ln ą w ła

ściw ość układ an ia w stos dla w szystkich m ożliw ych par (rO s,rls).

S próbujm y zatem zapisać w postaci nierów ności m acierzow ej w arunek p o siad an ia lokal

nej w łaściw ości układania w stos dla w szystkich m o żliw y ch p ar (rOs, r ls ) .

P rzy jm ijm y , że ustaliliśm y p e w n ą kolejność w zbiorze p ar (rOs, r l s ) . Z atem d la paty o nu m erze q m ożem y zapisać:

P B (rO s,l) i Pb (r 1 s, 1) d la pary q (58)

P rzech o d ząc na o znaczenia zw iązane z d efin icją stochastycznej funkcji boolow skiej i p rzyjm ując, że Xj = rOs o raz X j= rls, m ożem y zapisać p o w y ższą nierów ność jak o :

Pb (I I X ; > < Pb(1 I Xj) dla pary q, (59) zatem

P, < Pj d la pary q (60)

P i - P j < 0 d la pary q (61)

P rzyjm ując, że n u m er kolum ny m acierzy odpow iada num erow i x k , k = l,...,2 n , a num er w iersza num erow i pary (r0 s,rls), p rzedstaw im y ideę tw o rzen ia m acierzy o g ran iczeń w nastę

pujący sposób:

n2 1

q

n - 1

■ i ... j . .. 2 n

0-- 0 1 0-- 0 - 1 0---0 Pi .

9"

Pi - Pi

n - I

Z p rzed staw io n eg o schem atu m n o żen ia m acierzy w y n ik a sp o só b zap isu w p o staci nierów ności m acierzow ej w arunku: P , - P j < 0 dla pary q. O znaczając n ato m iast p o szczeg ó ln e m acie

rze składow e jako:

(17)

Projektow anie filtró w stosow ych. 115

n2^{n - 1}

0 - - - 0 1 0 ••• 0 - 1 0 ••• o (62)

P T = P;

Pi

2n, bl =

n - 1

(63)

możemy zap isać o graniczenia zapew niające posiadanie przez u zy sk an ą funkcję b o o lo w sk ą w łaściwości u kładania w stos w następującej postaci:

A , P r < b | (64)

P ozostaje je s z c z e uw zględnić w m acierzy ograniczeń dopuszczalny zakres w artości d la P,.

M ianow icie

0 < P, < 1 (65)

Jeżeli p rzy jm iem y Xj = [0...0] o raz x ^ n = [ l . . . l ] , to dzięki w łaściw ości układania w stos warunek (0 < P, < 1) je s t spełniony, gdy zachodzi P, > 0 i P?n < 1, a to zapew nia nam n astę

pująca m od y fik acja m acierzy A j i w ektora b j :

1 2 n

A =

10 ••• 0

A 1

1 ••• 01 n 2 n_1 + 2

(66)

b = 0

b, (67)

n 2 n_l + 2

(18)

Z. Kuś

R easum ując, stw ierdzam y, ze funkcję b o o lo w sk ą m in im alizu jącą średni błąd bezwzględny otrzy m u jem y u w yniku rozw iązania następującego ZPL:

m in c T P

% (68)

A P t < b,

g d zie A i b zostały w yprow adzone pow yżej; sposób o b liczan ia c zaw iera pod ro zd ział 3.1, a P je s t w ek to rem praw d o p o d o b ień stw określającym funkcję boolow ską. Z au w ażm y , żc zc w zględu n a w łaściw ości rozw iązania Z P L (znajduje się o no zaw sze n a o g ran iczen iach ) praw

d o p o d o b ień stw a P, s ą zaw sze rów ne 0 lub 1. Z atem otrzym ana fun k cja b o o lo w sk ą je s t de

term in isty czn ą fu n k cją boolow ską.

4. P rzykład y optym alnych funkcji boolow skich

P odobnie ja k w [7] przy jęto następujący m odel:

S (t) je s t dysk retn y m w czasie łańcuchem M arkow a z prz e strz e n ią stanów

Q s = { ( 0 ,a ) , (0,b), (l,a>, (l,b)} (69)

i m ac ie rz ą przej sc

ps =

0 1 0 0

0 0.4 0.6 0 0 0 0 1 0.4 0 0 0.6

(70)

M s = 4

S (t) je s t sygnałem binarnym . W yróżniane są dw a stany, których w ystąpienie rów noznacz

ne je s t z pojaw ieniem się S (t) = 0. S ą to stany (0,a) i (0,b). Jednocześnie w y stę p u ją dw a stany d ające S (t) = 1. S ą to stany ( l,a ) i (l,b ). A nalizując Ps w idzim y, że je ż e li sygnał znajduje się w' stanie „ 0 ” lub „1” , to pozostaje w nim co najm niej przez je d e n dodatk o w y przedział czaso

wy. Innym i stów y, je ż e li przełączenie z „0” na „ 1 ” dało nam w chw ili k S(t) = 1, to rów nież w k + 1 będzie S (t) = 1, a w chw ili k + 2 b ędzie 1 z p raw dopodobieństw em 0.6, a 0 z praw do

p o d o b ień stw em 0.4. Stany (0,a), (0,b) są n ie ro z ró ż n ia ln e , p odobnie ja k ( l ,a ) , ( l,b ) .

F u n k cja / s ((0,a)) : Qs - > {0,1}, któ ra definiuje w artości sy g n ału S (t), m a następującą postać:

/s ( ( x ,y ) ) = x (71)

Z atem / s ((0,a)) = 0 a / s ((1 ,b)) = 1.

(19)

R ozw iązując układ rów nań (32), (33) uzyskujem y p raw dopodobieństw a graniczne d la sta

nów z przestrzeni Qs

hi = 0 .1 6 2 2 h2 = 0.2703 h 3 = 0.1622 R, = 0.4054

N (t) je s t dysk retn y m w czasie łańcuchem M arkow a z p rzestrzen ią stanów

Qn= {X, Y, Z}

i m acierzą przejść

PN =

0.6 0.2 0.2 0.8 0.1 0.1 0.6 0.3 0.1

(72)

(73)

(74)

Mn = 3

Z akłada się, że szum je s t niezależny od sygnału idealnego.

Stany X ,Y ,Z o z n aczają następujący charakter oddziały w ań zakłócenia na sygnał idealny:

X - N (t) nie w pływ a na S (t) Y - N (t) sprow adza S (t) do 1 Z - N (t) sprow adza S (t) do 0

R ozw iązując układ rów nań (38), (39) uyskujem y praw dopodobieństw a graniczne d la sta

nów z przestrzeni Qn

v, = 0.6393 v 2 = 0.1967 v3 = 0.1639

R © j e s t dysk retn y m w czasie łańcuchem M arkow a z p rzestrzen ią stanów

Qr = Qs x Q N = {(0,a,X ), (0,a,Y ), (0,a,Z ), (0,b,X ), (0,b,Y ), (0,b,Z ), (l,a ,X ) , (l,a ,Y ), (l,a ,Z ), (l,b ,X ), (l,b ,Y ) , (l,b ,Z )}

(75)

(76)

F unkcja f R ( r ) : Q r -> {0,1}, która deftnuje sygnał R (t), w chw ili t m a n a stęp u jącą p o  stać:

/r ( r ) e {0,1}, d la każdego r e Q R, tak w ięc / R (0,a,X ) - 0, p odczas gdy / R (0,a,Y ) - 1.

M acierz p rzejść m a postać:

PR =

0 PN 0 0

0 0-4Pn0.6Pn 0

0 0 0 PN

0.4Pn 0 0 0.6Pn

(77)

Pr je st m acierza 12 na 12 elem entów .

(20)

118 Z. Kuś

K o rzystając z (43) otrzym ujem y praw dopodobieństw a graniczne g k w ed łu g kolejności stan ó w w Q r .

g i = 0.1037, g2 = 0.0319, g3 = 0.0266, g4 = 0.1728, g 5 = 0.0532, g6 = 0.0443, g 7 = 0.1037, g8 = 0.0319, g 9 = 0.0266, g,o = 0.2592, g , , = 0.0798, g 12 = 0.0665

M R = 12

P aram etry sygnału W (t), tj. przestrzeń stan ó w Q w, m acierz p rzejść Pw i praw d o p o d o bieństw a g ran iczn e n (W j) znajdujem y w edług opisu zam ieszczonego w rozdziale 3.1.3.

Z ad an ie opty m alizacji zgodnie z (68) m a postać:

m in cT P (78)

P

A P T S b (79)

S p o só b w y liczan ia w sp ółczynników ej przedstaw iono w ro zd ziale 3.1. P rzy jm u jąc, że sze

ro k o ść apertury filtru w ynosi 3, otrzym ujem y następujące po stacie m acierzy o g ran iczeń A i b.

A =

-1 0 0 0 0 0 0 0 J3 II o

1 -1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 -1 0 0 0 0 0 0

1 0 0 -1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 -1 0 0 0 0

0 1 0 0 0 -1 0 0 0

0 0 1 0 -1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 -1 0 0 0

0 0 0 1 0 0 -1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 -1 0

0 0 0 0 0 1 0 -1 0

0 0 0 0 0 0 1 -1 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1

K o lejn o ść kom binacji zm ien n y ch w ejściow ych Xj pok azan o w tab.4.1.

(21)

T abela 4.1

j * j

1 0 0 0

2 1 0 0

3 0 1 0

4 0 0 1

5 1 1 0

6 1 0 1

7 0 1 1

8 1 1 1

W tabelach od 4.2. do 4.21 zebrano p rzykładow e w yniki uzyskane dla ró żn y ch w artości w spółczynników k o sztó w C W 01, C W 10. D la CW 01 = C W 10 = 1 o trzy m an a funkcja boolow - ska m in im alizu je średni błąd bezw zględny. D la w spó łczy n n ik ó w kosztu ró żn y ch od 1 u zy sk u jem y m in im alizację w ażonego średniego błędu bezw zględnego. A nalizując w p ły w w artości

CW 01, C W 10 na postać otrzym yw anej funkcji w idzim y, że w m iarę ja k w zrasta k ara z a u- staw icnic p rzez filtr na w y jściu 1, gdy pow inno być 0 (od p o w iad a tem u w zro st C W 01), filtr stara się „zab ezp ieczy ć” przed ta k ą sy tu acją przyjm ując d la coraz w iększej liczby kom b in acji zm iennych w ejścio w y ch 0. Przeciw nie, je ż e li zw iększam y karę za w yjście filtru rów ne 0, gdy powinno być 1.

T abela 4.2 T ab ela 4.3

CW01 C W 10 C (B )

0.01 1 0.0043

CJ Pb (1 1 Xj) j

-0.0037 1 1

-0.0196 1 2

-0.0441 1 3

-0.0244 1 4

-0.1268 1 5

-0.0418 1 6

-0.1220 ■ 1 7

-0.1807 1 8

CW01 C W 10 C (B )

0.1 1 0.0347

cj Pb (1 1 Xj) j

0.0039 0 1

-0.0099 1 2

-0.0417 1 3

-0.0152 1 4

-0.1247 1 5

-0.0371 1 6

-0.1194 1 7

-0.1802 1 8

T abele 4.2 do 4.5 p rz e d sta w ia ją w artości m inim alizow anego w skaźnika C (B ), w sp ó ł

czynników Cj o ra z tabele praw dy funkcji boolow skiej uzyskanych dla różn y ch C W 01, C W 10 w nrzykladzie 1.

(22)

120 Z. Kuś

T ab ela 4.4

CW01 CW 10 C (B )

0 . 0 2 1 0.0480

cj Pb (1 1 Xj) _j

0.0124 0 1

0.0008 0 2

-0.0390 1 ^o^J

-0.0049 1 4

-0.1223 1 5

-0.0319 1 6

-0.1165 1 7

-0.1797 1 8

T ab ela 4.6

CW01 C W 10 C(B)

1 1 0.0851

Cj Pb (1 I Xj) _j

0.0806 0 1

0.0868 0 2

-0.0171 1 3

0.0772 0 4

-0.1033 1 5

0.0097 0 6

-0.0937 1 7

-0.1753 1 8

T ab ela 4.5

CW01 C W 10 C (B )

0.7 1 0.0960

Cj Pb (1 I x j) j

0.0550 0 l

0.0546 0 2

-0.0253 1 3

0.0464 0 4

-0.1104 1 5

-0.0059 1 6

-0.1023 1 7

-0.1770 1 8

T ab ela 4.7

CW01 C W 10 C (B )

2 1 0.1156

Cj ^{P b}(1 1 X j ) j

0.1658 0 1

0.1942 0 2

0.0101 0 3

0.1799 0 4

-0.0795 1 5

0.0618 0 6

-0.0652 1 7

-0.1698 1 8

T ab ela 4.8 T ab ela 4.9

CW01 C W1 0 C (B )

6 1 0 .0329

Cj ^{P b}(1 1 X j ) j

0.5066 0 1

0.6241 0 2

0.1192 0 3

0.5906 0 4

0.0156 0 5

0.2700 0 6

0.0490 0 7

-0.1479 1 8

CW 01 C W 10 C (B )

5 1 0.1462

Cj P b (1 I x p j

0.4214 0 1

0.5166 0 2

0.0920 0 3

0.4879 0 4

-0.0082 1 5

0.2179 0 6

0.0205 0 7

-0.1534 1 8

(23)

Projektow anie filtró w stosow ych. 121

T abela 4.10

CW01 C W 10 c m )

30 1 0.1643

cj Pb (1 I Xj) j

2.5512 0 1

3.2029 0 2

0.7738 0 3

3.0546 0 4

0.5859 0 5

1.5192 0 6

0.7343 0 7

0.0165 1 8

T ab ela 4.12

CW01 C W 1 0 C (B )

1 0.01 0.0000

ci Pb (1 I Xj) j

0.0851 0 1

0.1072 0 2

0.0268 0 3

0.1024 0 4

0.0225 0 5

0.0516 0 6

0.0273 0 7

0.0037 0 8

T abela 4.11

CW01 C W 10 C (B )

35 l 0.0000

Cj Pb (1 1 x j) j

2.9771 0 1

3.7402 0 2

0.9102 0 3

3.5679 0 4

0.7048 0 5

1.7795 0 6

0.8770 0 7

0.0109 0 8

T ab ela 4.13

CW01 C W 10 C (B )

1 0.05 0.0055

Cj Pb (1 I x j) j

0.0850 0 1

0.1064 0 2

0.0251 0 3

0.1014 0 4

0.0174 0 5

0.0499 0 6

0.0224 0 7

-0.0036 1 8

T abele 4.10 do 4.13 p rzed staw iają w artości m inim alizow anego w sk aźn ik a C (B ), w sp ó ł

czynników Cj oraz tabele praw dy funkcji boolow skich uzyskiw anych d la różn y ch C W 01, CW10 w przykładzie 1.

(24)

122 Z. Kuś

T ab ela 4.14

CW01 C W 10 C (B )

1 0.1 0.0055

Cj Pb (1 I x j) j

0 .0847 0 1

0.1054 0 2

0.0228 0 J

0.1001 0 4

0.0111 0 5

0.0478 0 6

0.0163 0 7

-0.0126 1 8

T ab ela 4.16

CW 01 C W 10 C (B )

1 0.8 0.0851

Cj Pb (1 1 Xj) j

0.0815 0 1

0.0909 0 2

-0.0083 1 3

0.0823 0 4

-0 .0779 1 5

0.0182 0 6

-0.0693 1 7

-0.1392 1 8

T a b e la 4.15

CW01 C W1 0

_ .. .

1 0.5 0.0578

cj Pb ( 1 1 x j) _j

0.0829 0 1

0.0971 0 2

0.0051 0 ^*3^J

0.0899 0 4

-0.0398 1 5

0.0309 0 6

-0.0326 1 7

-0.0849 1 8

T ab ela 4.17

CW01 C W 10 C (B )

1 1 0.0851

Cj Pb (1 1 x p j

0.0806 0 1

0.0868 0 2

-0.0171 1 3

0.0772 0 4

-0.1033 1 5

0.0097 0 6

-0.0937 1 7

-0.1753 1 8

T abele 4.1 4 d o 4.17 p rzed staw iają w artości m inim alizow anego w sk aźn ik a C (B ), w spół

czy n n ik ó w Cj o ra z tabele p raw dy funkcji b oolow skich u zyskiw anych d la ró żn y ch CW 01, C W 10 w przy k ład zie 1.

(25)

T ab ela 4.18

CW01 C W 10 C (B )

1 2 0.1371

Cj Pb (1 1 x p j

0.0760 0 1

0.0661 0 2

-0.0616 l 3

0.0518 0 4

-0.2303 1 5

-0.0326 1 6

-0.2160 1 7

-0.3561 1 8

T ab ela 4.20

CW01 C W 10 C (B )

1 6 0.3472

CJ Pb (1 1 Xj) j

0.0576 0 1

-0.0165 1 2

-0.2393 1 3

-0.0500 1 4

-0.7385 1 5

-0.2020 1 6

-0.7050 1 7

-1.0793 1 8

T ab ela 4.19

CW01 C W 10 C(B)

1 5 0.2398

c j Pb (1 1 Xj) j

0.0622 0 1

0.0042 0 2

-0.1948 1 3

-0.0245 1 4

-0.6115 1 5

-0.1597 1 6

-0.5827 1 7

-0.8985 1 8

T ab ela 4.21

CW01 C W 10

... ...

1 20 0.4324

ci

^{Pb (1 1}

Xj)

_j

-0.0068 1 1

-0.3057 1 2

-0.8612 1 3

-0.4061 1 4

-2.5171 1 5

-0.7949 1 6

-2.4166 1 7

-3.6105 1 8

T abele 4.18 do 4.21 p rzed staw iają w artości m inim alizow anego w sk aźn ik a C (B ), w sp ó ł

czynników Cj o raz tabele praw dy funkcji boolow skich u zyskiw anych d la ró żn y ch C W 01, C W 10'w przy k ład zie 1.

5. Z akoń czen ie

W pracy przedstaw iono po d staw o w e definicje i w łaściw ości przetw arzania stosow ego, zaliczającego się do nielin io w y ch przetw orników sygnałów , a będącego lin io w ą k o m b in a c ją statystyk porządkow ych. N astęp n ie sform ułow ano zadanie filtracji optym alnej z uw agi na

(26)

124 Z. Kuś

średni błąd bezw zględny ja k o zadanie prog ram o w an ia liniow ego. P rzed staw io n o metodę zn ajd o w an ia w spó łczy n n ik ó w liniow ej funkcji w skaźnika jak o ści i om ów iono w aru n k i, jakie m usi sp ełn iać m acierzow a reprezentacja w łaściw ości u kładania w stos. N astęp n ie przedsta

w iono przykłady optym alnych funkcji boolow skich.

L IT E R A T U R A

1. C oyle E dw ard, G allagher N eal, W endt P eter (A u g u st 1986) Stack F ilters, IE E E Transac

tions O n A coustics, Speech A n d Signal P rocessing, vol. A S S -34, p p .8 9 8 -9 1 1.

2. C oyle E dw ard, Lin Jean -H san g (A ugust 1988) S tack F ilters and th e M ean A b so lu te Error C riterion, IE E E T ransactions O n A coustics, Speech A n d S ignal P rocessing, vol. 36, N o. 8.

3. K uś Z ., W ojciechow ski K.: Przetw arzanie stosow e. Z eszyty N au k o w e P olitechniki Śląskiej ser. A utom atyka, z. 113, G liw ice 1994

4. K uś Z ., W ojciechow ski K.: D eterm inistyczne w łaściw ości p rzetw arzan ia stosow ego. Ze

szyty N au k o w e Politechniki Śląskiej, ser. A utom atyka, z .l 13, G liw ice 1994.

5. K uś Z ., W ojciechow ski K .: S tatystyczne w łaściw ości przetw arzan ia stosow ego. Zeszyty N au k o w e P olitechniki Ś ląskiej, ser. A utom atyka, z .l 13, G liw ice 1994.

6. K uś Z ., W ojciechow ski K .: P rzetw arzanie m edianow e ja k o szczególny p rzy p ad ek przetw a

rzan ia stosow ego. Z eszyty N aukow e P olitechniki Śląskiej, ser. A u to m aty k a, z .l 13, Gliwice 1994.

7. M . G abbouj, (D ecem b er 1986) O ptim al stack Filter exam ples and p o sitiv e B oolean func

tions, M .S. thesis, School Elec. Eng. P urdue U niv., W est L afayette, In.

R ecenzent: P rof.zw .dr hab.inż. W ojciech Zam ojski

W płynęło do R edakcji 7.12.1995 r.

A b stract

T h e class o f stack filters preserving stacking property and th resh o ld d e co m p o sitio n is in

troduced. R an k o rd er filters (especially m edian filters), m orphological filters an d m any others are included in th is class.

B asic features o f stack filtering are presented.

(27)

The stack filter is fully determ ined by selection o f appropriate B o o lean function. A s a c ri

teria for selectio n o f the function the m inim ization o f the m ean absolute error b etw een req u ired signal and the filter o u tp u t is taken. T he m in im izatio n o f m ean absolute error can be o b ta

ined through so lu tio n o f the appropriate linear program m ing problem .

The subject o f this p ap er is to p resent som e o f num erical p ro b lem s arising during fo rm u la

tion o f linear pro g ram m in g problem .

T hese en h an ced m ethods allo w fo r com putation o f th e coefficients an d the m atrix o f c o n straints fo r the linear pro g ram m in g problem form ulated above.

Finally, ex am p les o f stack filters are presented.