Z e i t s c h r i f t
fü r den
Physikalischen und Chemischen Unterricht.
X X X . J a h rg a n g .
S e ch stes H e f t .
N o v e m b e r 1917.Krumme Lichtstrahlen.
Von
Professor A. K e lle r in Karlsruhe i. B.
D ie U n te rs tu fe des p h y s ik a lis c h e n U n te rric h ts v e r m it te lt auch he u te no ch d ie L e h re v o m L ic h te fa s t a u s sch lie ß lich nach den G e s ic h ts p u n k te n d e r g e om etrischen O p tik , u n d a uch in d e r O b e rstu fe n im m t diese D a rste llu n g s w e is e einen R a u m e in . den m a n im In te re sse des E in d rin g e n s in die tie fe re n Zusam m enhänge p h y s ik a lis c h e n Geschehens m a n c h m a l re c h t b e d a u e rn m ö ch te , w e n n g le ich m a n a ndererseits auch w ie d e r n ic h t ganz a u f d ie F ü lle des te c h n is c h W isse n sw e rte n aus dem G e b ie t d e r In s tru m e n te n k u n d e v e rz ic h te n w ill, f ü r w elche diese B e h a n d lu n g sw e ise die zu n ä ch st
liegende is t u n d b le ib e n w ird . D o ch s ch e in t m ir a n m a n ch e n S te lle n eine w esent
lic h e E n tla s tu n g d u rc h U n te rla s s u n g la n g w ie rig e r u n d fü r den F o rtg a n g des U n te r
ric h ts n ic h t u n e n tb e h rlic h e r A b le itu n g e n sehr w o h l m ö g lic h zu sein.
^Niemals a b e r d a rf die geom etrische O p tik ih re H e rrs c h a ft so w e it ausdehnen, d a ß sie noch eine o ffe n k u n d ig w id e rs in n ig e A n n a h m e zu H ilfe r u f t , u m eine E rs c h e in u n g zu e rk lä re n , d ie n ach d e r sa ch lich ric h tig e n A u ffa s s u n g d e r p h y s i k a l is c h e n O p tik sich v ie l e in fa c h e r u n d zw an g lo se r v e rste h e n lä ß t. W e n n eine K lasse s ich m it d e r E rk lä ru n g z u frie d e n g ib t, daß b e i den sog. „L u fts p ie g e lu n g e n “ eine T o ta lre fle x io n an d e r Grenze z w e ie r L u fts c h ic h te n v o n ve rsch ie d e n e r D ic h te s ta tt
fin d e t — u n d v ie le K la sse n w e rd e n sich d a m it z u frie d e n geben — , so is t dies noch lange k e in Z eich e n f ü r die V e rs tä n d lic h k e it dieser E rk lä ru n g , d enn dieselbe K la sse w ir d sich s o fo rt de r u n b e h obenen S c h w ie rig k e ite n b e w u ß t w erden, w e n n m an sie in le ise r A n d e u tu n g z u r Sprache b rin g t, u n d so m ag diese „ E r k lä r u n g “ im m e rh in z u r E rz ie h u n g d e r S ch ü le r zu m k ritis c h e n D e n k e n in je d e m K u r s m it herangezogen w erden.
M a n w ende aber n ic h t ein, daß sich d ie B e h a n d lu n g dieser in te re ssa n te n E r s c h e in un g n ic h t ebenso le ic h t, dabei ric h tig e r, a n sch a u lich e r u n d a n re g e n d e r a u f G ru n d des w a h re n S achverhaltes d u rc h fü h re n lä ß t. A u f d e r U n te rs tu fe w ir d de r V e rsu ch u n d d e r V e rg le ic h m i t ä h n lic h e n E rs c h e in u n g e n a u f m anchen G ebieten, a u f d e r O b e r
s tu fe auß erdem d ie m a th e m a tis c h e B e h a n d lu n g in e le m e n ta re r F o rm das V e rs tä n d n is v e rm itte ln . D ie D e m o n s tra tio n g e k rü m m te r L ic h ts tra h le n m it H ilfe v o n M edien m it v e rä n d e rlic h e n B re c h u n g s q u o tie n te n is t ja schon v e rh ä ltn is m ä ß ig a lt. W o l l a s t o n 1) u n d W i e n e r 2) hab e n f ü r sie re c h t b ra u c h b a re A n w e isu n g e n gegeben, w elche in de r n e u e re n L ite r a t u r v ie lfa c h e E rg ä n z u n g e n u n d V e rv o llk o m m n u n g e n e rfa h re n haben.
M a n b e n ü tz t zu den V e rsu ch e n schm ale, lä n g lic h e G laströge m it p la n p a ra lle le n Scheiben a n den E n d e n ; z u r E rs p a rn is v o n M a te ria l w ä h lt m an besonders die B re ite n ic h t zu groß. S c h ic h te t m a n d a rin zw ei m isch b a re F lü s s ig k e ite n v o n verschiedenem spezi
fis c h e m G e w ic h t v o rs ic h tig ü b e re in a n d e r, so w ird sich an d e r T re n n u n g sflä ch e sehr b a ld d u rc h D iffu s io n eine Ü b e rg a n g s s c h ic h t h e ra u s b ild e n , in w e lc h e r d ie L ic h ts tra h le n
') W . H . W o lla s t o n , Phil. Trans. 90, S. 239—254, 1800; G ilb e r t s Arm. 11, S. 1 — 65, 1802.
®) C. W ie n e r , Wied. Ann. 49, S. 105— 149, 1893.
U. x x x . 20
274 A . Ke l l e r, Kr u m m e Lic h t s t r a h l e n. Zeitschrift fü r den physikalischen _____ D reißigster Jahrgang.
Alkohol
Schwefelkohlenstoff
Schwefelkohlenstof
b e i je d e r b e lie b ig e n E in fa lls ric h tu n g g e k rü m m t v e rla u fe n u n d zw a r m d e r W eise, daß d ie h o h le Seite d e r K u r v e im m e r dem M e d iu m m it dem g rö ß e re n B re c h u n g s
q u o tie n te n z u g e k e h rt ist. A ls M is c h flü s s ig k e ite n ko m m e n in B e tr a c h t: S ch w e fe lk o h le n s to ff u n d A lk o h o l (F ig . la ) a u c h einfache S alzlösungen m it re in e m W asser. I m a llg e m e in e n haben d ie S toffe v o n h ohem spezifischem G e w ic h t a uch s ta rk e s B re c h u n g s v e rm ö g e n . so daß d ie L ic h ts tr a h le n nach u n te n g e k rü m m t erscheinen, w ie es ja auch b e i de r S tra h le n b re c h u n g in de r E rd a tm o s p h ä re d e r F a ll is t. (S cheinbare V e rg rö ß e ru n g de r S ternhöhen, H e b u n g d e r K im m , D ä m m e rungse rsche in u n g e n , A lp e n g lü h e n usw.) W i ll m a n d e n u m g e k e h rte n F a ll v o rfü h re n , w o d ie B re c h u n g n ach oben h in e rfo lg t, so w ä h lt m a n das v e rh ä ltn is m ä ß ig schw ere C h lo ro fo rm u n d d e n le ic h te re n S c h w e fe lk o h le n s to ff m it seinem groß en B re c h u n g s v e rm ö g e n als M is c h flü s s ig k e ite n (F ig. lb ) . D ie M is c h u n g selbst e rfo lg t d u rc h v o rs ic h tig e s Z ugieß en d e r oberen F lü s s ig k e it a u f ein schw im m endes B re ttc h e n o. ä.;
d ie u n v e rm e id lic h e n U n re g e lm ä ß ig k e ite n d e r M isch u n g w e r
den d u rc h d ie D iffu s io n b a ld ausgeglichen. W o es sich d a ru m h a n d e lt, s c h a r f e T r e n n u n g s f l ä c h e n h e rz u s te lle n , lasse ic h d u rc h eine eingebaute G la srö h re m it Q u e tsch h a h n (F ig. 2) die z ie m lic h re ic h lic h zugegossene F lü s s ig k e it an e in e r S te lle d er noch u n v e rm is c h te n u n te re n F lü s s ig k e it la n g sam abfließen. D ie T re n n u n g sflä ch e w ir d d a n n a u ß e ro rd e n tlic h s c h a rf, u n d es d a u e rt n a tü r lic h b e i ve rschiedenen F lü s s ig k e ite n z ie m lic h lan g e b is m a n eine h in re ic h e n d d ic k e Ü b e rg a n g s s c h ic h t d u rc h D iffu s io n e rh ä lt. (A u f dieselbe W eise la ß t sich auch d ie D iffu s io n z B . v o n K u p f e r v it r io l u n d W asser v o n d e r sch a rfe n T re n n u n g s -
i • -n * v ^ rm i^ p h n rm in m e h re re M o n a te la n g ru h ig stehenden fläche an b is z u r v ö llig e n V e rm is c h u n g m m e m & T n , , T rö g e n zeigen.) N u r b e i e in e r ganz s c h a rf a u sg e b ild e te n Grenze t r i t t d ie T o t a l r e f l e x i o n d e r L ic h ts tr a h le n a u f, d ie a b e r v o n diesem S ta n d p u n k te aus a is G r e n z f a l l d e r S t r a h l e n b r e c h u n g e rsch e in t. Z u r E rh ö h u n g d e r S ic h tb a rk e it des S tra h le n v e rla u fs fü g t m a n b e id e n M is c h u n g s b e s ta n d te ile n v o r dem E m g ie ß e n etw as F lu o re s c e m b e i o d e r lä ß t d ie L ic h ts tr a h le n etw as schräg gegen d ie h in te re W a n d des K a s te n s fa lle n , an d e r m a n v o r dem E in fü lle n ein weißes P a p ie r o. ä. b e fe s tig t h a t.
In te re s s a n t u n d den Gesetzen de r ge o m e trische n O p tik d ir e k t z u w id e rla u fe n d is t d ie E rs c h e in u n g , daß a uch b e i genau w a g re c h te m E in f a ll d e r S tra h le n eine -
le n k u n g e rfo lg t, ja gerade in diesem F a ll m it d e r s tä rk s te n K rü m m u n g , w ä h re n d doch e in g e ra d lin ig e r V e rla u f de r S tra h le n zu e rw a rte n w ä re , da doch die S tra h le n in n e rh a lb eines N iv e a u s m it e in h e itlic h e m B re ch u n g sve rm ö g e n sich fo rtb e w e g e n . W e n n T o ta l
re fle x io n z u r E rk lä ru n g in B e tra c h t käm e, m ü ß te auch u n te r a lle n U m s tä n d e n eine U m k e h ru n g d e r Gegen
stände b e im H in d u rc h b lic k e n e in tre te n . B e i d e r K im m u n g ü b e r k a lte n M eeren b e o b a c h te t m a n ja ge le ge n t
lic h die u m g e k e h rte n S p ie g e lb ild e r v o n S ch iffe n hoch ü b e r denselben schw ebend, daneben g e le g e n tlic h aber a uch a u fre c h te , u n d es sin d in d e r T a t andere U rs a c h e n , d ie sp ä te r an d e r H a n d d e r m a th e m a tis c h e n T h e o rie a n g e d e u te t w e rd e n sollen. U m auch a u f d e r U n te rs tu fe dieses e ig e n a rtig e V e rh a lte n des L ic h ts tra h le s b e g re iflic h zu m achen, k a n n m a n sich des V e rg le ich e s m it e in e r in F r o n tlin ie m a rsch ie re n d e n A b te ilu n g be d ien e n (F ig . 3); w e n n diese schräg a u f ein e n A c k e r stoß t, in dem die ' o r bew e gu n g d u rc h d ie B o d e n b e sch a ffen h e it o d e r den B ew uchs s ta rk e rs c h w e rt is t, so
-
U l f
F ig. 2.
und chemischen Unterricht.
Heft V I. November 1917. A . Ke l l e r, Kr u m m e Lic h t s t e a h l e n. 275
w ir d de r z u e rs t d o rt e in tre te n d e F lü g e l a ls b a ld etw as Z u rü c k b le ib e n u n d nach ih m d ie fo lg e n d e n M a n n s c h a fte n e n tsp re ch e n d d e r Z e it ih re s E in t r it t s in das sch w ie rig e re Gelände. Es b ild e t sich d a n n s o fo rt eine neue M a rs c h ric h tu n g s e n k re c h t zu der n e u e n , etw as verschobenen F r o n t heraus u n d diese M a rs c h ric h tu n g is t gegen das
„ E in fa lls lo t“ h in gebrochen. A u f diese W eise v e r m itte ln sich d a n n le ic h t d ie B e g riffe d e r W e l le n f lä c h e (F ro n t), de r F lä c h e n n o r m a l e n (h ie r in n e rh a lb des S tre ife n s m it k o n s ta n te m B re c h u n g s v e rh ä ltn is d ie F o rtb e w e g u n g s ric h tu n g ) u n d v o r a lle m die Gesetz
m ä ß ig k e it, daß d e r B r e c h u n g s q u o t i e n t in einem e in fa ch e n Z u s a m m e n h a n g m i t
F ig . 3. F ig . 4.
d e r F o r t b e w e g u n g s g e s c h w i n d i g k e i t des L ic h te s in den b e id e n M e d ie n s te h t A uel) w ir d es d e r S ch ü le r z ie m lic h b e g re iflic h fin d e n , daß b e im p a ra lle le n M arsch a u f e in e r Zone v o n a b n ehm ender G e lä n d e s c h w ie rig k e it d ie A b te ilu n g a llm ä h lic h g a n z v o n s e lb s t d u rc h Z u rü c k b le ib e n des ein e n F lü g e ls n ach d e r Seite d e r größeren G e lä n d e s c h w ie rig k e it a b g e d rä n g t w ü rd e (F ig . 4).
D ie D e m o n s tra tio n d e r „L u fts p ie g e lu n g “ selbst g e lin g t ja b e k a n n tlic h na ch dem v o n W o o d angegebenen V e rfa h re n v e rh ä ltn is m ä ß ig le ic h t, w e n n m a n f ü r die e r
fo rd e rlic h e W in d s tille in de r N ä h e d e r A p p a ra te Sorge trä g t. E in m it S c h ie fe rp la tte n belegtes G e ste ll G (F ig. 5) v o n e tw a 300 cm X 20 cm F lä ch e n g rö ß e is t in seiner ganzen A u s d e h n u n g m it e in e r S c h ic h t fe in e n Sandes s o rg fä ltig eben ü b e rd e c k t. D u rc h H e iz u n g m it e in e r A n z a h l G a sfla m m e n F w ird d e r Sand e rh itz t, so daß d ie d ire k t
ü b e r ih m 'la g e rn d e L u fts c h ic h t sehr s ta rk e rw ä rm t w ird . Z u r V e rm e id u n g s tö re n d e r L u fts trö m u n g e n e m p fie h lt sich ein R a n d u m d ie ganze S andfläche, d e r besonders an den S eiten ausreichende H ö h e haben soll. B e im fla ch e n H in s e h e n ü b e r d ie e rh itz te S andfläche h a t das A uge A den E in d ru c k , als ob sich ü b e r d e r S andfläche ein Spiegel a u sb re ite te , in dem d ie G egenstände des H in te rg ru n d e s sich spiegeln. Besonders d e u tlic h w ir d d ie Spiegelung, w e n n m a n den h e lle n H im m e lh in te rg ru n d d u rc h eine v o n h in te n h e ll e rle u c h te te M a tts c h e ib e M n a c h a h m t. D u rc h K u lis s e n s te llt m an d ie B e rg e des H in te rg ru n d e s u n d die P a lm e n d e r W ü s te d a r. D as A u g e e rb lic k t
20*
276 A . Ke l l e r, Kr u m m e Li c h t s t r a h l e n. Zeitschrift fü r den physikalischen Dreißigster Jahrgang____
d a n n ü b e r d ie k ritis c h e S c h ic h t h in w e g d ie G egenstände d ir e k t (d ire k te r S tra h l d) u n d be i le ic h te r N e ig u n g n ach u n te n d e re n „S p ie g e lb ild “ (gebrochener S tra h l g). N och besser s c h e in t sich eine frü h e r in d. Z tsch r. angegebene V o rric h tu n g zu be
w ä h re n , w elche d ie F lä ch e e le k tris c h h e iz t, w o b e i w e n ig e r stö re n d e L u fts trö m u n g e n e n ts te h e n als b e i d e r V e rw e n d u n g v o n F la m m e n .
D ie E rs c h e in u n g e n ü b e r k a lte n M e e re n lassen sich w a h rs c h e in lic h in großen, fla ch e n T rö g e n nachahm en, in w elche m a n die k a lte n D ä m p fe siedender L u f t oder K o h le n s ä u re sehr langsam e in tre te n lä ß t, so daß sich k e in e s tö re n d e n W irb e l b ild e n . Es b ild e t sich d a n n d u rc h das Ü b e rflie ß e n eine scharfe Ü b e rg a n g s s c h ic h t zw ischen d e r k a lte n (schw eren) u n d w a rm e n (le ic h te n ) L u f t aus, die wegen d e r v e rh ä ltn is m ä ß ig e n S c h ro ffh e it des Ü be rg a n g s vo n einem B re c h u n g s in d e x zum a n d e rn nahezu einen
G re n z fa ll w irk lic h e r S piegelung d a rs te llt. L e id e r w a r ic h an d e r F ro n t n ic h t m e h r in d e r Lage, d e r
a rtig e V ersuche a n z u s te lle n , n a ch d e m ic h e in m a l eine längere G ele g e n h e it dazu u n g e n ü tz t h a tte v e r
s tre ic h e n lassen.
N a c h diesen V erbuchen e rfä h rt also a uch de r S tra h l, w e lc h e r p a ra lle l zu den S c h ic h te n g le ic h e r B re c h u n g s q u o tie n te n e in t r it t , eine A b le n k u n g , w ä h re n d e r n ach dem Gesetz v o n S n e l l i u s g e ra d lin ig v e rla u fe n m ü ß te , da ja je d e r S tra h l des B ü n d e ls in n e rh a lb e in e r S c h ic h t v e r lä u ft, w elche in ih re r ganzen A u s d e h n u n g denselben B re c h u n g s k o e ffiz ie n te n b e s itz t. D as H u y g h e n s s c h e P rin z ip d e r E le m e n ta r
w e lle n fo r d e rt dagegen diese A b le n k u n g , u n d es is t sogar m it den M itt e ln d e r e le m e n ta re n M a th e m a tik m ö g lic h , d ie K rü m m u n g des L ic h ts tra h le s als F u n k tio n d e r Ä n d e ru n g d e r o p tisch e n D ic h te an den einze ln e n S te lle n a b zu leite n .
M a n d e n ke sich das M e d iu m in a u ß e ro rd e n tlic h dün n e S ch ich te n v o n d e r D ic k e b1, b.2 . . . zerlegt, in n e rh a lb d eren die o p tisch e D ic h te als k o n s ta n t D ie F o rtp fla n z u n g s g e s c h w in d ig k e it d e r L ic h t angesehen w e rd e n k a n n
s tra h le n in Z ie h u n g e n :
den e inzelnen S ch ich te n seien c. f ü r sie g e lte n d a n n d ie Be-
c B in «, c C
---= —----o = n i ’ — = n0; —-
Cy Sill ßy C2 C3
1)
D u rc h d ie E bene E E (F ig. 6) t r i t t ein B ü n d e l 1, 2, 3 p a ra lle le r L ic h ts tra h le n so ein, daß sie zu n ä ch st p a ra lle l zu den S ch ich te n v e rla u fe n . E in e n u n e n d lic h k u rz e n Z e itra u m x sp ä te r w e rd e n sich dan n d ie vo n A t , J 2 u n d As ausgehenden E le m e n ta r
w e lle n so a u s g e b re ite t haben, daß ih re W e lle n flä c h e n d u rc h d ie K u g e ln /q , k2, k3 w iedergegeben w erden. D ie W e lle n fläche des gesam ten S tra h le n b ü n d e ls is t d a n n d a rg e s te llt d u rc h d ie gem einsam e T a n g e n tia le b e n e B 1, B 2, B s an a lle K u g e ln / q , k2 u n d k3. Infolgedessen is t d ie u rs p rü n g lic h e F o rtp fla n z u n g s ric h tu n g By, die se n kre ch t z u r E bene A x A s stand, übergegangen in eine neue B.2 se n k re c h t zu B 2 B 3. D ie u rs p rü n g lic h e u n d d ie neue W elle n e b e n e sch n e ide n e in a n d e r in d e r Geraden, w elche in A I d ie Zeichenebene se n k re c h t d u rch se tzt. D e r K re is um M , d e r d u rc h A y u n d B x ge h t, s te llt d a n n den K rü m m m u n g s k re is des S trahles 1 in Ay d a r, d. h. den K re is , d e r sich dem K u rv e n s tü c k J , /J, am besten anschm iegt. Sein R a d iu s , d e r K r ü m m u n g s ra d iu s des S tra h le s 1 in A 1 sei Qy.
«md chemischen U nterricht.
Heft V I. November 1917. A . Ke l l e r, Kr ü m m e Lic h t s t r a h l e n. 277
Z u r B e re ch n u n g d e r K rü m m u n g — des u n e n d lic h k u rz e n K u rv e n s tü c k e s A1 By, 61
das in d e r Z e it r d u rc h la u fe n w ird , ziehen w ir d u rc h A2 eine P a ra lle le A2 G1 zu M B X u n d e rh a lte n d a n n wegen d e r Ä h n lic h k e it d e r D re ie c k e A t A2 Cy u n d A1 M B 1 die B e zie h u n g
bi __A 1 G1 ___Ay B 1 — />', __cy r — ,c2 r
Oy Ay By Ay By Cy %
Es fo lg t aber aus 1)
q : c2 = n2 : nx u n d daraus d u rc h k o rre s p o n d ie re n d e A d d itio n :
2)
3)
n2 — fiy b e d e u te t die A b n a h m e des B re c h u n g s q u o tie n te n v o n d e r S te lle A 2 bis z u r S te lle Ay längs d e r B re ite by des S tra h le n b ü n d e ls zw ischen den G re n zstra h le n 1 u n d 2, gemessen s e n k re c h t z u r S tra h le n ric h tu n g im A n fa n g s p u n k t des K u rv e n s tü c k c h e n s Ay B y ; >L~ . n'-- is t dem nach d e r G ra d ie n t des B re c h u n g s q u o tie n te n s e n kre ch t z u r S tra h le n -
*1
ric h tu n g , d. h. d ie Ä n d e ru n g des B re c h u n g s q u o tie n te n längs d e r L ä n g e n e in h e it in de r angegebenen R ic h tu n g . D ie K r ü m m u n g d e s S t r a h l e s i s t a ls o u m so g r ö ß e r , je g r ö ß e r d a s G e f ä ll e d e s B r e c h u n g s q u o t i e n t e n s e n k r e c h t z u m S t r a h l i s t u n d im ü b rig e n dem an d e r b e tre ffe n d e n S te lle des S tra h le s (e ig e n tlic h in d e r u n e n d lic h b e n a c h b a rte n d ic h te re n S c h ic h t) herrschenden B re c h u n g s q u o tie n te n u m g e k e h rt p ro p o rtio n a l.
I n derselben W eise fin d e t m a n f ü r den S tra h l 2 die K rü m m u n g : ns —
1 b.
Q'2 n3
ws w3 — n2
s -
. . 6)
B ezeichnen w ir das G efälle des B re c h u n g s q u o tie n te n s e n k re c h t zu m S tra h l m it v, so e rh a lte n w ir d ie a llg e m e in e F o rm e l:
1 v
q n ...
D ie F o rm e ln 1) b is 7) g e lte n ebenso f ü r die F ig . 7, in d e r die B e ze ich n u n g e n ganz a nalog d u rc h g e fü h rt sind. Sie b r in g t d ie V e rh ä ltn is s e z u r A n sch a u u n g , w e lch e e in tre te n , w e n n d e r L ic h ts tr a h l die S ch ich te n schräg d u rc h s e tz t. A u c h h ie r g i lt genau dieselbe B e zie h u n g , n u r m u ß m a n sich b e w u ß t sein, daß das G e fä lle des B re c h u n g s q u o tie n te n im m e r s e n k r e c h t z u m L i c h t s t r a h l zu ve rste h e n is t. N a c h 7) is t
278 A . Ke l l e r, Kr u m m e Lic h t s t r a h l e n. Zeitschrift für den physikalischen _____ Dreißigster Jahrgang.
d em nach a llg e m e in d e r K rü m m u n g s h a lb m e s s e r eines L ic h ts tra h le s in einem b e lie b ig e n ^ M e d iu m m it v e rä n d e rlic h e m B re c h u n g s q u o tie n te n b e i je d e m b e lie b ig e n E in fa lls w in k e l
D ie L ic h ts tra h le n s in d also in einem M e d iu m m it ö r tlic h v e rä n d e rlic h e r o p tis c h e r D ic h te stets g e k rü m m t; n u r w o sie in d e r R ic h tu n g des g rö ß te n G efälles des B re c h u n g s q u o tie n te n v e rla u fe n , d. h. s e n k re c h t d u rc h d ie G re n zflä ch e n d e r S c h ich te n d erselben D ic h te h in d u rc h tre te n , is t ih re K rü m m u n g g le ic h N u ll, da die S enkrechte zum S tra h l d a n n in d e r S c h ic h t k o n s ta n te r D ic h te v e rlä u ft, so daß a u f ih r k e in G e fä lle des B re c h u n g s q u o tie n te n s ta tth a t [o = oo).
N a c h G le ic h u n g 6) is t d e r K rü m m u n g s h a lb m e s s e r p o s itiv , w e n n nx < »q, d. h.
d ie K rü m m u n g e rfo lg t gegen d ie S c h ic h t m it dem g röß eren B re c h u n g s q u o tie n te n h in . D ie o b ig en G le ich u ng e n n e h m e n die in d e r h ö h e re n A n a ly s is g e b rä u c h lic h e n F o rm e n a n d u rc h die S u b s titu tio n e n :
& = d N , T = d t , „ 2 _ W l= d W) C l- c . 2 = dc (N = = N o rm a le ) 9) u n d es w ir d
d N _ de dn
... 5 ')
e c n
dn
i d N nf
... C/)
Q n n
8 =
n . . . . 8' )
n
w o = r das in dem P u n k t he rrsch e nd e G e fä lle des B re c h u n g s q u o tie n te n in de r R ic h tu n g s e n k re c h t zu m S tra h l b e d e u te t.
U n te r w e lc h e n U m s tä n d e n w ir d n u n ein S tra h le n b ü n d e l in a lle n seinen T e ile n gle ich e K rü m m u n g aufw eisen? W ir te ile n das L ic h tb ü n d e l zu n ä ch st in zw ei gleiche H ä lfte n = h in F ig . 6). E s m u ß d a n n 6l = w erd e n , d. h. n ach 6)
n, ______ns
n.2 — nx m8 — n.2
D a sich b, gegen b.2 w e g kü rzt, e rh ä lt m a n le ic h t:
n \ = nx ■ Mg, o d e r w2 = V»q • n2 ...10)
W e n n also d e r B re c h u n g s q u o tie n t in g e o m e trisch e r P rogression sich ä n d e rt, so daß in d e r M itte zw ischen zw ei S c h ic h te n e in W e r t h e rrs c h t, d e r das g eom etrische M it t e l d e r W e rte in den R a n d s c h ic h te n d a rs te llt, so w ir d das S tra h le n b ü n d e l in a lle n T e ile n g le ic h m ä ß ig g e k rü m m t.
I m a llg e m e in e n w ir d die G e se tzm ä ß ig ke it, na ch w e lc h e r sich d e r B re c h u n g s q u o tie n t v o n S c h ic h t zu S c h ic h t ä n d e rt, n ic h t b e k a n n t sein, n a m e n tlic h n ic h t b e i den a tm o sp h ä risch e n E rs c h e in u n g e n , b e i denen S tö ru n g e n d u rc h a u fste ig e n d e B u ft- s trö m u n g e n u n d W in d b e w e g u n g n ic h t im m e r ausgeschlossen sein w e rd e n , w a h re n d m a n b e i den D iffu s io n s v e rs u c h e n w o h l schon eher a u f G ru n d d e r Gesetze d e r M o le k u la rb e w e g u n g zu e in e r V o rs te llu n g ü b e r die Größe des G ra d ie n te n des L ic h tb re c h u n g s - verm ögens gelangen k a n n . B e i den a tm o s p h ä ris c h e n L ic h tb re c h u n g s e rs c h e in u n g e n k a n n d a h e r sehr w o h l d e r F a ll e in tre te n , daß e in T e il des S tra h le n b ü n d e ls w a g re c h t eine Zone d u rc h s e tz t, in w e lch e m d e r G ra d ie n t des L ic h tb re c h u n g s v e rm ö g e n s den
und chemischen Unterricht.
H eft V I. November 1917. A. Ke l l e r, Kr u m m e Lic h t s t r a h l e n. 279
h ö ch ste n W e rt h a t, so daß dieser T e il an dieser S te lle eine v ie l s tä rk e re K rü m m u n g e rfa h re n w ir d als d ie a n d e rn S tra h le n . D e n n je n e haben an den S te lle n , w o sie p a ra lle l z u r S c h ic h tu n g v e rla u fe n , d. h. w o sie ih re höchste K rü m m u n g e rreichen, e in e n k le in e re n G ra d ie n te n des B rech u n g sve rm ö g e n s, u n d die Zone des g rö ß te n G ra d ie n te n d u rch se tze n sie n ic h t p a ra lle l, so ndern m it e in e r gewissen N e ig u n g z u r S ch ich tu n g , so daß d e r W e rt des G ra d ie n te n n ic h t v o ll z u r W ir k u n g ge la ng t, w e il j a n u r seine zum S tra h l s e n k re c h t stehende K o m p o n e n te in B e tra c h t k o m m t. D ie D ic h te v e rte ilu n g w ir d sich d a h e r h ä u fig so g e sta lte n , daß d ie e inzelnen T e ile des S tra h le n b ü n d e ls sich k re u z e n (F ig. 8 u n d 5 b), so daß in d e r T a t u m g e k e h rte B ild e r e n ts te h e n w ie b e i e in e m Spiegel. D aß m a n b e i d e r F a ta M o rg a n a d ie spiegelnde F lä c h e eines Sees zu sehen g la u b t, s p ric h t keinesw egs f ü r eine w ir k lic h e S piegelung so n d e rn d e r E in d r u c k k o m m t eben d a d u rc h
zustande, daß m a n in e in e r R ic h tu n g Gegen
s tä n d e w a h rn im m t (H im m e ls lic h t, P a lm e n usw.), v o n denen fe s ts te h t, daß sie sich n ic h t d o r t b e fin d e n . E in e S piegelfläche als solche is t ü b e rh a u p t n ie zu sehen.
G anz e ig e n a rtig e V e rh ä ltn is s e müssen s ic h ergeben, w e n n d ie S ch ich te n gle ich e r D ic h te k u g e lfö rm ig sind, w ie m a n das b e i d e r A tm o s p h ä re d e r P la n e te n , d e r Sonne,
a n n e h m e n m uß . Es w ir d d a n n in e in e r b e s tim m te n S c h ic h t d e r F a ll e in tre te n , daß die K rü m m u n g d e r w a g re c h te n S tra h le n gerade g le ic h d e r K rü m m u n g d e r b e tre ffe n den S c h ic h t is t; de r L ic h ts tr a h l w ird d a n n d e n b e tre ffe n d e n H im m e ls k ö rp e r u m kre ise n , u n d d e r B e o b a c h te r k ö n n te sich selbst v o n h in te n besehen. K u m m e r 3) t e i l t die H im m e ls k ö rp e r nach ih r e r S tra h le n b re c h u n g in zw e i K la sse n ein, H im m e ls k ö rp e r d er e rs te n A r t, w o die K rü m m u n g d e r S tra h le n ü b e ra ll k le in e r, u n d d e r z w e ite n A r t, w o sie g rö ß e r is t als d ie d e r O b e rflä ch e des H im m e ls k ö rp e rs selbst. A u f d e m P la n e te n J u p ite r z. B . w ir d in b e s tim m te r H ö h e eine solche k ritis c h e Zone v o rh a n d e n sein, w o w a g re ch te S tra h le n den ganzen P la n e te n u m la u fe n . T ie fe r u n te n w ü rd e dagegen je d e r w ag re ch te S tra h l den B o d e n tre ffe n , u n d m a n m ü ß te a u f d e r O berfläche sogar d e n B lic k e tw a 3 G ra d 48 M in u te n erheben, w e n n m a n ü b e rh a u p t n ach außen sehen w o llte . D e r ganze P la n e t erschiene d e m n a ch e in e m B e w o h n e r w ie eine große Schale, in dessen M itte lp u n k t e r selber s te h t, u n d a m H o riz o n t w ü rd e m a n d ie ganze O b e r
fläche a u s g e b re ite t sehen u n d in je d e r R ic h tu n g a m ganzen H o riz o n t sich selbst in e in e r E n tfe rn u n g e rb lic k e n , d ie g le ic h dem J u p ite ru m fa n g w äre. A u s diesem A u g e n schein d ie K u g e lg e s ta lt des P la n e te n zu erschließen, w äre je d e n fa lls eine sehr an e rke n n e n sw e rte L e is tu n g e tw a ig e r B e w o h n e r. I n dieses G ebiet gehören a uch die h ö c h s t in te re s s a n te n E rs c h e in u n g e n d e r S tra h le n b re c h u n g in d e r S o nne4), v o n de r w ir w a h rs c h e in lic h einen e rh e b lic h e n T e il d e r a b g e w a n d te n Seite sehen kön n e n , u n d d e re n sch a rfe r R a n d , v o n uns s ta rk v e rg rö ß e rt gesehen, v ie lle ic h t m it d e r k ritis c h e n Z o n e id e n tis c h is t, in w e lc h e r d ie w a g re ch te n L ic h ts tra h le n den „ K e r n “ gerade in e in e m K re is e u m la u fe n .
N a c h w o r t . N a c h A b sch lu ß d e r A r b e it w u rd e ic h d u rc h d ie S c h riftle itu n g a u f ein e n A u fs a tz „ Ü b e r L u fts p ie g e lu n g “ v o n D r. W . V o l k m a n n in J a h rg . 1915, H e ft 5 d ie se r Z e its c h r. a u fm e rk s a m g em acht, w elche m ir bei d e r g e rin g e n F ü h lu n g m it den w isse n sch a ftlich e n N e u e rsch e in u n g e n v o n der- F r o n t aus u n b e k a n n t g e b lie b e n w a r.
3) E. K u m m e r , Sitzungsber. d. Akad. d. Wiss. z. Berlin, 1860, S. 405 bis 420.
4) A. S c h m id t, Die Strahlenbrechung auf der Sonne, ein geometrischer Beitrag zur Sonnen
physik, S. 326, Stuttgart 1891. Vgl. dagegen auch: R. E. E m d e , Gaskugeln, Leipzig 1907, S. 388ff. und K . S c h w a r z s c h ild , Gotting. Nachr. math.-phys. Klasse, 1906, S. 41— 53.
280 J. Ktjhn, St r o m k r e is e. Zeitschrift fü r den physikalischen _____ Dreißigster Jahrgang.__
A u c h e r g e la n g t b e i d e r B e h a n d lu n g d e r F ra g e z u r selben E rk lä ru n g d e r u m g e k e h rte n S p ie g e lb ild e r aus e in e r Ü b e rk re u z u n g d e r verschiedenen S tra h le n w ie die v o rlie g e n d e m a th e m a tisch e B e h a n d lu n g d e r S tra h le n k rü m m u n g . D o r t is t auch d a ra u f hingew iesen, w ie d ie L ic h ts tra h le n , d ie in fo lg e v e rsch ie d e n s ta rk e r K rü m m u n g m it v e rg rö ß e rte r o d e r v e rk le in e rte r D iv e rg e n z in das A u g e des B e o b a ch te rs tre te n , diesem den G egen
s ta n d v e rg rö ß e rt (genähert) o d e r v e rk le in e r t (e n tfe rn te r) erscheinen lassen. Z u m S chluß is t eine V e rsu c h s a n o rd n u n g z u r H e rs te llu n g g e k rü m m te r L ic h ts tra h le n in F lü s s ig k e ite n beschrieben, die sich im w e se n tlich e n — w e n n a uch ohne die M ö g lic h k e it d e r H e rs te llu n g sehr s c h a rfe r G renzen — m it d e r A n o rd n u n g d e r F ig . 2 d e c k t a b e r z u r A u s g e s ta ltu n g d e r s u b je k tiv e n B e o b a c h tu n g einzelne w e rtv o lle W in k e g ib t.
Graphische Behandlung einiger elektrischer Stromkreise.
' Von
Dr. techn. Josef Kuhn in Bielitz (Österr.-Schlesien).
D ie graphische B e h a n d lu n g p h y s ik a lis c h e r A u fg a b e n b e le b t d e n U n te rr ic h t, f ü h r t m e is t ra sch e r z u m Z ie le als d ie R e c h n u n g u n d b r in g t sie dem V e rstä n d n isse d e r S ch ü le r n ä h e r als die R e c h n u n g a lle in , besonders dann, w e n n sie sich dem p h y s i
k a lis c h e n V o rg ä n g e m ö g lic h s t ung e zw u n g e n a n p a ß t. D ie s is t in h o h e m Maße b e i d e n A u fg a b e n ü b e r die e le k tris c h e n S tro m k re is e d e r F a ll, w e n n w ir das A u ftre te n eines e le k tris c h e n S tro m e s in A n le h n u n g an die H y d r a u lik a u f d ie W ir k u n g eines e le k tris c h e n G efälles (S p a n n u n g ) z u rü c k fü h re n , das b e i d e r Ü b e rw in d u n g des e le k tris c h e n W id e rsta n d e s, den d e r L e ite r dem S tro m e d a rb ie te t, p ro p o rtio n a l diesem W id e rs ta n d e v e rb ra u c h t w ird . S te lle n w ir d ie S p a n n u n g als F u n k tio n des W id e r standes dar, so e rh a lte n w ir eine G erade ( S t r o m l in i e ) , d e re n N e ig u n g uns e in a u g e n fä llig e s M aß f ü r d ie S tro m s tä rk e a b g ib t, das uns h in s ic h tlic h d e r flie ß e n d e n Gewässer g e lä u fig ist.
A u f dieser D a rs te llu n g s w e is e fu ß e n d , s o lle n h ie r die f ü r d ie S chule w ic h tig e n S tro m k re is e ze ich n erisch b e h a n d e lt u n d die f ü r sie g e lte n d e n B e zie h u n g e n u n d F o rm e ln e n tw ic k e lt w e rd e n .
E in stände « r
+K i -K
,— r - F ig . l .
1. D e r e i n f a c h e S t r o m k r e i s .
E le m e n t v o n d e r k o n s ta n te n E .M .K . E u n d dem (ko n s ta n te n ) in n e re n W id e r sei d u rc h e in e n äußeren W id e rs ta n d wa geschlossen, in dem d e r N u tz w id e rs ta n d r in b e g riffe n is t; es so lle n a lle V e rh ä ltn is s e dieses Strom kre ise s (F ig . 1) ze ich n erisch k la rg e le g t w erden.
Z e ich n e n w ir e in re c h tw in k lig e s D re ie c k A B C (Fig. la ) , dessen w agerechte K a th e te den G e s a m tw id e rs ta n d W = wi -¡- iva in O hm u n d die .a n d e re K a th e te d ie E .M .K . E in V o lt d a rs te llt, so lie fe r t uns die T a n g e n te des W in k e ls a, w elchen die H y p o te n u s e m it d e r W a g e re c h te n e in s c h lie ß t, d ie im ganzen S tro m k re is e k o n s ta n te S tro m s tä rk e J in A m pere. E s is t
A C E
tg a = ^ g = y y = J (Ohmsches Gesetz) . . . . l )
M a ch e n w ir A D = wi u n d e rric h te n in D die S enkre ch te D L , so s te llt D D d ie K le m m e n s p a n n u n g ek u n d L F — CG den S p a n n u n g s v e rlu s t ev im E le m e n te dar. F ü r diese G rößen lie fe r t F ig . 1 a d ie B e z ie h n u n g e n :
ev — CG = G F t g K = w{ J , ...2) ek = D F = B D t g a = iva J ... 3) u n d ek = A C — CG = E — ■wi J ... 4)
und chemischen Unterricht.
H eft V I. November 1917. J. Ku h n, St r o m k r e is e. 281
W ä h re n d E u n d wi als u n v e rä n d e rlic h e G rößen anzusehen sind, k a n n d e r äußere W id e rs ta n d a lle W e rte v o n 0 b is oo d u rc h la u fe n , w o b e i d e r P u n k t B a u f d e r W id e r
standsgeraden A B v o n D nach re c h ts in s U n e n d lic h e w a n d e rt und F die; S tre cke D L , d u rc h m iß t.
F ü r wa — 0 h e iß t das E le m e n t „ k u r z g e s c h lo s s e n “ . H ie r fü r is t , / = tg « 0 A G __ e “
— w. u n d e, -
A D 0. F ü r das „ o f f e n e “ E le m e n t is t wa - oo u n d die S tro m lin ie d ie d u rc h C zu A B P a ra lle lle C L ; d a n n is t J = tg 0° = 0 u n d elc = E .
Z w ischen diesen e x tre m e n W e rte n ä n d e rn sich J u n d ek m it wa na ch den O rd in a te n e in e r a u f ih re A s y m p to te n bezogenen g le ic h se itig e n H y p e rb e l. D ie F o rm e l
E _ E _ W w a + wi
u n d d ie G e sta lt
J = y ’ -j~ «
J w a -\- J w i — E = 0 w elche fü r
wa = x ’ -|~ m
x y E - -
a~
2 5')
a n n im m t, w o b e i m = — wv n V 2 E ist.
I n ä h n lic h e r W eise e rh a lte n w ir aus d e r F o rm e l
= 0 u n d a, d ie H albachse d e r g le ich se itig e n H y p e rb e l,
- w J - .E
wa - f - wi die G le ich u ng e n
J w a - E w a - \ - J w i = 0 . u n d
6)
x " ( - y " ) = ivi E . . 6')
L e tz te re is t d ie G le ic h u n g e in e r a u f ih re A s y m p to te n bezogenen g le ic h s e itig e n H y p e rb e l m it d e r H a lbachse a = V ‘2 E w i , w elche d u rc h den U rs p ru n g des d e r G le ic h u n g 5) zu g ru n d e lie g e n d e n A chsenkreuzes g e h t u n d in bezug a u f dieses d ie M itte lp u n k ts k o o rd in a te n m = — wi u n d n = E b e sitzt.
D ie A u fz e ic h n u n g d e r S tro m - u n d S p a n n u n g s h y p e rb e l z e ig t F ig . 2.
F ä lle n w ir v o n A (Fig. l a ) a u f die S tro m lin ie H C d ie N o rm a le A H , so schneidet sie a u f C L die im S tro m k re is e v e rb ra u c h te G e sa m tle istu n g L in W a tt a b ; es is t
C H = A C tg a — E J = L ... 7)
U m d ie im äußeren W id e rs ta n d e v e rb ra u c h te N u tz le is tu n g L n zu fin d e n , ziehen w ir d u rc h E d ie W a g erechte /' .!/. E s is t d a n n
F M = F D tg « = ek J = L n ... 7')
-282 Zeitschrift fü r den physikalischen _____ Dreißigster Jahrgang.
J. Ku h n, St r o m k r e is e.
Z ie h e n w ir no ch F K p a ra lle l z u r L e i s t u n g s l i n i e B H . so s te llt uns C H — H K = C K
den L e is tu n g s v e rlu s t L v = L — L n im In n e r n des E le m e n te s dar. M achen w ir B P = r, d a n n is t, w ie ohne w e ite re s e rs ic h tlic h , P N d e r S p a n n u n g sve rlu st u n d N Q d e r L e is tu n g s v e rb ra u c h im N u tz w id e rs ta n d e .
2. D ie P a r a l l e l s c h a l t u n g v o n W id e r s t ä n d e n .
B e i dieser S c h a ltu n g (F ig . 3) lie g e n a llg e m e in n — h ie r n u r d re i — W id e rs tä n d e an derselben S p a n n u n g e, d ie w ir als b e k a n n t voraussetzen w o lle n . W ir s te lle n uns d ie A u fg a b e , die Z w e ig s trö m e u n d den E rs a tz w id e rs ta n d
d e r S c h a ltu n g z e ich n erisch zu e rm itte ln .
U m d ie S tro m s tä rk e i ± im W id e rs ta n d e w1 zu e rh a lte n , zeichnen w ir in F ig . 3 a das re c h tw in k lig e D re ie c k O A M so, j daß OA = w1 u n d O M = e ist. B ezeichnen w ir den W in k e l, w elchen die H y p o te n u s e m it d e r W id e rs ta n d s k a th e te e in
s c h lie ß t, m it ax , d a n n is t F ig . 3.
t g 'h =
°M_
O Ä 8)
Z ie h e n w ir d ie Gerade N M ' im b e lie b ig e n A b s ta n d e O N = x p a ra lle ll zu O M u n d b e s tim m e n ih re n S c h n ittp u n k t A ' m it d e r S tro m lin ie A M , so s te llt uns d ie S trecke A 'M ' = M M ' tg ux = x i x die S tro m s tä rk e i, in einem d u rc h x b e s tim m te n M aßstabe d a r. W e n d e n w ir diesen V o rg a n g a u f die ü b rig e n Zw eige an, so w ir d B 'M ' = x i 2 u n d C 'M ' = x i s . B ild e n w ir (am e in fa ch ste n m it dem S p itz z irk e l) d ie S treckensum m e
D 'M ' = A 'M ' - f B 'M ' - f C 'M ' = x (i± + i 2 + is) = x J ,
o d e r
D O :e = x : x J , w o ra u s D 0 = — = löe
i/
fo lg t.
n
S chreiben w ir d ie B e zie h u n g J = S i in F ig . 3a.
so m iß t uns diese d ie S tro m s tä rk e J in d e r u n v e rz w e ig te n L e itu n g . U m den E rs a tz w id e rs ta n d lü d e r P a ra lle l
s c h a ltu n g 1) zu fin d e n , d. h. den W id e rs ta n d , in dem d ie S p a n n u n g e die S tro m s tä rk e J h e rv o r b rin g t, b e s tim m e n w ir den S c h n ittp u n k t D d e r G eraden D 'M m it O A ; d a n n is t O D = tö. W e gen d e r Ä h n lic h k e it d e r D re i
ecke D O M u n d M M 'D ’ b e ste h t die P ro p o rtio n
D O : M O = M M ' : D 'M '
de r F o rm •
i) j . K u h n , Graphische Erm ittlung des Kombinationswiderstandes. Elektrotechnik und Maschinenbau (E. u. M.) — Wien 1909, H eft 23.
und chemischen U nterricht.
H eft V I. November 1917. J. Ku h n, St r o m k r e is e. 283
2
— . so w ir d w" 1
i h
1D ie s e r A u s d ru c k is t v o n e u n a b h ä n g ig ; h a n d e lt es sich also n u r u m die B e s tim m u n g des E rsa tz w id e rs ta n d e s , so k a n n O M ebenso w ie O N b e lie b ig groß g e w ä h lt w erden. D ie F ig . 3 a lä ß t auch erkennen, daß d e r E rs a tz w id e rs ta n d k le in e r is t als je d e r d e r Z w e ig w id e rs tä n d e . M achen w ir in F ig . 3 a x = e,
d a n n is t A 'M ' = x i 1 = ei1 die im W id e rs ta n d e w1 u n d D 'M ' d ie in a lle n p a ra lle le n Z w e ig e n v e rb ra u c h te L e is tu n g . W ä h le n w ir O N = O M — l , so ste lle n uns d ie A b s c h n itte A 'M ', B 'M ' u n d C 'M ' d ie L e itfä h ig k e ite n d e r W id e rs tä n d e w1, iv., u n d w3 d a r , w ä h re n d die S tre cke D 'M ' de r G e s a m tle itfä h ig k e it —
e n ts p ric h t.
S in d J u n d die Z w e ig w id e rs tä n d e gegeben u n d sollen die K le m m e n s p a n n u n g u n d die Z w e ig s trö m e b e s tim m t w erd e n , so e r m itte ln w ir zu n ä ch st den E rs a tz w id e rs ta n d ft), d a n n an H a n d d e r F ig . 3 d ie K le m m e n s p a n n u n g e - ~ J - ft), w o b e i w ir 0 N = x passend w ä h le n u n d M 'D ' = x J m achen, w o ra u f w ir w ie frü h e r v e rfa h re n . S ollen n u r die Z w e ig s trö m e b e s tim m t w e rd e n , so f ü h r t d ie A u fg a b e a u f die geom etrische D a rs te llu n g d e r aus
2 = J to = i 1w1 = i„w 2 = ... = i nwn sich ergebenden fo rtla u fe n d e n P ro p o rtio n e n J : i 1: i 2 : . . . : i n = wn : . . . : w 2 :w 1 : \ o ...10)
F ü r d ie E r m itt lu n g des E rs a tz w id e rs ta n d e s n u r zw e ie r W id e rs tä n d e w1 u n d w., (N e b e n sch lu ß sch a ltu n g ) e rh a lte n w ir aus dem a llg e m e in e n V e rfa h re n eine v e re in fa c h te K o n s tr u k t io n . Z e ic h n e n w ir in F ig . 4 ein re c h tw in k lig e s D re ie c k m it den K a th e te n 3 / p — w - j- u\, u n d P D ' = w.,, so is t d ie im A b sta n d e P O = w2 zu P D ' P a ra lle le O D b e re its der E rsa tz w id e rs ta n d .
A u s d e r P ro p o rtio n
O D : P D ' — O M : P M
o d e r 0 D : w „ = w 1 : (w , + w2)
fo lg t u n m itte lb a r
0 D - wx
v1 - \-tv 2
J - 4 - — W
W, Wo
■ 11)
E rg ä n ze n w ir F ig . 4 d u rc h die s tric h lie rte n L in ie n , so e rg ib t sich,, daß d e r E rs a tz w id e rs ta n d au ch m itte ls des L in ie n zu g e s O K D 'M O g e fu n d e n w e rd e n ka n n . F ü r 0 ‘N = J w ird D N = i y u n d 0 D = i 2.
3. P a r a l l e l s c h a l t u n g v o n W i d e r s t ä n d e n u n d e l e k t r o m o t o r i s c h e n K r ä f t e n . W ir b e s c h rä n k e n 2) uns h ie r a u f d e n w ic h tig e n S o n d e rfa ll, daß zw e i K le m m e n A u n d B (F ig . 5) d u rc h d re i W id e rs tä n d e w1, iv2 u n d w3 m it e in a n d e r v e rb u n d e n sind,
2) J K u h n , Allgemeine Lösung des Problems der Parallelschaltung Ohmscher Widerstände und konstanter elektromotorischer Kräfte. E. u. M. 1910, H eft 32. — J. K u h n , Zur Theorie der Parallelschaltung. Diese Zeitschrift, X X V . Jahrg. (1912),, 5. Heft.
284 J. Ku h n, St r o m k r e is e, Zeitschrift fü r den physikalischen _____ Dreißigster Jahrgang.
v o n denen d ie b e id en e rsteren die e le k tro m o to ris c h e n K r ä ft e (E. M. K .) E ± u n d E>
e n th a lte n , die gleiche o d e r verschiedene V o rz e ic h e n besitzen. D iese S c h a ltu n g fin d e t als P a ra lle ls c h a ltu n g v o n D yn a m o m a s c h in e u n d A k k u m u la to r u n d als K o m p e n s a tio n s s c h a ltu n g z u r B e s tim m u n g v o n E . M. K . V e rw e n d u n g . B e z ü g lic h des V o rze ich en s d e r E . M. K . setzen w ir fe st, daß eine E . M . K . p o s itiv is t, w e n n sie f ü r sich a lle in in ih re m W id e rs ta n d s z w e ig e ein e n v o n A nach B g e ric h te te n — p o s itiv e n — S tro m erzeugen w ü rd e .
Z u n ä ch st s te lle n w ir uns d ie A u fg a b e , d ie S tro m s tä rk e n
i x , i „ u n d i s in den d re i Z w eigen u n d den W id e rs ta n d des A u s g le ic h s le ite rs zu b e s tim m e n , w e n n die b e id en a n deren W id e r s tä n d e , d ie g e g e n e in a n d e r g e s c h a lt e t e n E . M. K . u n d d e r zw ischen d e n K n o te n p u n k te n A u n d B bestehende S pannungs
u n te rs c h ie d e — • die K le m m e n s p a n n u n g — gegeben sind.
T ra g e n w ir in F ig . 5 a d ie W id e rs tä n d e w1 = O A u n d w., = O B als Abszissen u n d die in ih n e n w irk e n d e n (k o n s ta n te n ) E . M. K . E 1 — A A X u n d E 2 = B B X als zu- gehörige O rd in a te n a u f u n d m achen O N = e , so e rh a lte n w ir in den G eraden A , N u n d B 1 N . w elche m it d e r x -A c h s e d ie W in k e l a± u n d a3 b ild e n , d ie S tro m lin ie n d e r Z w e ig s trö m e i } u n d i , . Z ie h e n w ir d u rc h N die z u r x-A ch se P a ra lle le N I L so is t
F ig . 5.
t g « i
. _ _ A XH A A t — A E E t — e
. . 12)
' l N f f OA W1
u n d t g « 2 B . K
= l * = N K =
B B X — B K O B
E % — e
w2 . . 13)
Es is t d a n n
B e s tim m e n w ir die S c h n ittp u n k te A x u n d B x d e r S tro m lin ie n m it d e r im b e lie b ig e n A b s ta n d e x = N N ' z u r V -A chse p a ra lle l gelegten Ge
ra d e n N 'A x , so w ir d
N ' A / - ^ N N 't g a1 = x i 1 u n d
N ' B / = N N ’ tg = x i2 . B ild e n w ir die S treckensum m e
N '[C 1' ] = N , A 1'A r N 'B i ’
— x (ix - f - i„) == x i t u n d tra g e n sie, da i s n e g a tiv is t, v o n N ' aus nach a b w ä rts bis C / a u f, so sch n e ide t d ie V e rb in d u n g s gerade N C t'. w elche m it d e r Ar- Achse den W in k e l as einschließt, a u f dieser b e re its den gesuchten W id e rs ta n d w„ = 0 0 — N L ab.
tg « s
N ’ C / N N '
x i s
X
e __O N
ws 0 G ■ 14)
u n d d a h e r 0G = wz.
V e rlä n g e rn w ir die S tro m lin ie n A XN u n d B 1N b is zu m S c h n itt m it d e r X -A ch se , so schneiden sie a u f ih r d ie W id e rs tä n d e O P = r x u n d 0 Q = r o ab, in denen d ie
and chemischen U nterricht.
H eft V I. November 1917. J. Ku h n, St b o m k r e is e. 2 85'
S p a n n u n g e die S tro m s tä rk e n u n d h e rv o rb rin g e n w ü rd e . F ü h re n w ir diese geda ch te n W id e rs tä n d e in die aus N ' 0 / = N ' Aß N ' B ß fo lg e n d e B eziehung
e in , so w ir d
o d e r
tg « 3 = t g ßi + t 8 K2 O N __O N ^ O N OC ~ O P r OQ
D e r A u s g l e i c h s l e i t e r ws i s t a l s o d e r E r s a t z w i d e r s t a n d f ü r d i e W i d e r s t ä n d e r 1 u n d r 2. ( Z u diesem E rgebnisse g elangen w ir auch u n m itte lb a r d u rc h V e rg le ic h d e r F ig . 5 a u n d 3a.)
S in d , w ie. dies g e w ö h n lic h d e r F a ll sein w ird , die d re i W id e rs tä n d e u n d die b e id e n E . M. K . gegeben, so b e s tim m e n w ir zu e rs t e u n d v e rfa h re n d a n n w ie frü h e r.
D a «8 = = t l T |— ist, so b e s te h t die G le ich u ng
d ie sich a u f d ie F o rm
b rin g e n lä ß t. B e a c h te n w ir, daß d e r K la m m e ra u s d ru c k den re z ip ro k e n W e rt des E rs a tz w id e rs ta n d e s ln d a rs te llt, so w ir d
(E . , e = tn 1 - f -
\w 1 Iß
w„ W -J lö )
vobei J - E . . E ,
die S tro m s tä rk e d a rs te llt, w e lch e d ie S p a n n u n g e im E rs a tz w id e rs ta n d e W h e rv o rb rin g e n w ü rd e ; w ir n e n n e n .7 d a h e r d ie E r s a t z s t r o m s t ä r k e . I s t e gefunden, so lassen sich die S tro m s tä rk e n , deren ü b lic h e B e s tim m u n g u n te r A n w e n d u n g d e r K i r c h h o f f s e h e n Gesetze a u f eine lin e a re G le ic h u n g m it d re i U n b e k a n n te n fü h r t, ohne w e ite re s angeben. U n te r B e n ü tz u n g d er F o rm e ln 12), 13) u n d 14) w ird
E, e 1 ,
= (E. — J in) wx
= 1- \ E
E E
2 t _|_
\ ~ ■ 1 w,
u n d
E„
w„
— + —
w„ w3
E 1 (w2 - j - wß) — E 3ws W 1 W 2 4 ^ WX WS 4 “ W 2 W S ’
E „ {wt H - w3) — E i W3 Wx w2 - j- WJ w3 -f- w.2 wa
Iß —j— E 2 w2 Vi W-2 4 - wi wt ~\~ W2 WS '
Z u r zeichnerischen B e s tim m u n g v o n e setzen w ir —1 = tg ß ,E, w1
^ e ß x + ^ ß ^ - ^ ß , also
e = to tg ß .
E„
16)
17)
18)
tg ß 2 u n d
286 J. Ku h n, St r o m k r e is e. Zeitschrift fü r den physikalisch en _____ Dreißigster Jahrgang.
D ie D u rc h fü h ru n g derselben b r in g t F ig . 6, in w e lc h e r die B eze ich n u n g e n d e r F ig . 5 a m ö g lic h s t b e ib e h a lte n sind. Z u n ä c h s t b e s tim m e n w ir in b e k a n n te r W eise den E rs a tz w id e rs ta n d d e r d re i W id e rs tä n d e (G A = iox, O B = w<i u n d OC = wa) h) = O D . E r m itte ln w ir d ie S c h n ittp u n k te A " u n d B " d e r S tra h le n O A1 u n d O B 1 m it e iner e t w a d u rc h C z u r Y-Achse p a ra lle l gelegten Geraden, so is t A 1" C = O C t g ß 1 u n d B " C = 0 G tg ß.,. M achen w ir d a n n
C F = A 1" C - \ - B 1"C u n d bezeichnen den W in k e l F O C m it ß, so w ir d
C F = 0 G tg ß = 0 G (tg ßx + tg ß3) = 0 C ■ J .
Z ie h e n w ir D G || CF, so fo lg t aus den ä h n lic h e n D re ie c k e n O D G u n d O C F die P ro p o rtio n
D G : G F — O D : OG
o d e r D G : 0 C - J = W : 0-C,
aus d e r sich e rg ib t, daß D G d ie S pa n n u n g e = Jxn d a rs te llt.
D ie B e s tim m u n g d e r S tro m s tä rk e n i x, i„ u n d f3 e rfo lg t d a n n genau so, w ie in F ig . 5 a gezeigt w u rd e .
S in d , w ie b is h e r a ngenom m en w u rd e , d ie b e id en E . M. K . g e g eneinander g eschaltet, d. h. v o n g le ich e m V o rze ich e n , u n d is t E x F 2, so lä ß t sich fü r iv., ein W e rt fin d e n , f ü r den e = . i, = 0 u n d i — i 3, die E . M. K . _Z?2 also k o m p e n s i e r t is t. U m diesen W id e rs ta n d zu b e k o m m e n , ziehen w ir in F ig . 5 a d u rc h l l 1 die z u r X -A ch se P a ra lle le N t S u n d den S tra h l A x N ±, d e r m it d e r W a g e re ch te n den W in k e l ß b ild e t, bis zu m S c h n itte R m it d e r X - A chse; d a n n is t O R = ws.
Sein W e r t b e s tim m t sich aus d e r P r o p o rtio n O R :O N 1 = S N 1 :S A 1
o d e r ivo: E., = w1 '.E 1 -— F.,
m it
E ,
V' E ^ . 19)
D iese B e zie h u n g e rh a lte n w ir auch aus d e r F o rm e l 17), w enn w ir, u m i„ a u f N u ll zu b rin g e n , E x w3 = E 2 (w1 w3) setzen.
0 . . 0 N X E „
Aus tgß = h = h = ^ = ^
e rg ib t sich die f ü r d ie Messung E . M. K . w ic h tig e B e zie h u n g
E o = h wz ... 2 0 ) W ä re n d ie b e id e n E . M. K . in R e ih e geschaltet, d. h. v o n verschiedenem V o r zeichen, so m ü ß te b e i d e r zeichnerischen B e s tim m u n g d e r S tro m s tä rk e n d ie n e g a tiv e E. M. K .. e tw a E .,, in d e r F ig . 5 a v o n B nach a b w ä rts a u f getragen w e rd e n ; im ü b rig e n b lie b e d ie K o n s tr u k tio n dieselbe.
und chemischen U nterricht.
H eft V I. November 1917. J. Kü h n, St r o m k r e is e. 287'
E in e n besonders k la re n E in b lic k in die V e rh ä ltn is s e d e r in F ig . 5 d a rg e s te llte n S c h a ltu n g e rb rin g t d ie a n a ly tis c h e B e h a n d lu n g 3). B e tra c h te n w ir den W id e rs ta n d w? = wx als die u n a b h ä n g ig V e rä n d e rlic h e u n d b e s tim m e n i„ als F u n k tio n v o n wx , so e rh a lte n w ir aus de r F o rm e l 17)
. __ -E, K + ws) — E i ws = E „w x — wx (E x — E 2) 3 w1 w2 - j - w1 wa - j- w2 ws' w1w2 - f - wx {wx - j- w2) d u rc h U m b ild u n g d ie G le ich u n g
*o Wx IV„
w .
w elche fü r
u n d
die F o rm
W„ = X - m ■
E2
---W x - w „
wx w2
E 2w1
- w „
w , I
x 'y ' u \ E 2
• +
, Ex~ E 2
W1 W2
wj w2 (E x — E „
-- ko n st. = ■
a n n in n n t. D ie s is t d ie G le ic h u n g e in e r a u f ih re A s y m p to te n als A chsen ( X ' Y ') bezogenen g le ic h s e itig e n H y p e rb e l m it d e r H a lb a ch se
1
v1 - j - w2V 2 w x [ E 1 w2 - f - E 2 wx) . A u s dieser in F ig . 7 gezeichneten H y p e rb e l u n d aus d e r F o rm e l f ü r i 2 e rkennen w ir , daß d e r S tro m i„ f ü r wx — 0 (K u rz - S chluß ) den H ö c h s tw e rt OA E.
E„
—2 b e s itz t, fü r IV.-,
21),
21'!
= O B — ', N u ll w ir d u n d f ü r wx ^ > O B seine R ic h tu n g ä n d e rt.
1 E 1 — E „
W ü rd e es sich h ie rb e i u m den P a ra lle lb e trie b v o n e in e r D y n a m o m a s c h in e (E^j u n d e in e r A k k u m u la to re n b a tte rie (E 2) h a n d e ln , so w ü rd e diese zunächst geladen, fü r w = 0 B k o m p e n s ie rt u n d fü r wx ^ > O B e n tla d e n w erden. D ie B a tte rie k a n n also d u rc h Ä n d e ru n g des W id e rs ta n d e s des äußeren S tro m kre ise s a lle in aus dem Z u sta n d e d e r L a d u n g in den d e r E n tla d u n g ü b e rfü h rt w erden.
4. D ie W h e a t s t o n e s c h e B r ü c k e 4).
D iese in d e r M e ß te c h n ik v ie lfa c h v e rw e n d e te S tro m v e rz w e ig u n g (F ig . 8) b e s te h t aus den v ie r A u ß e n w id e rs tä n d e n wt b is wi u n d dem B rü c k e n le ite r C D = w0. B e sitze n d ie P u n k te C u n d D den gle ich e n S pannungszustand, so is t die B rü c k e s tro m los (i = 0); d ie S c h a ltu n g e n ts p ric h t d a n n e in e r aus den W id e rs tä n d e n A C B = tc1 - j - « 2 u n d A D B = iv3 - j- bestehenden P a ra lle ls c h a ltu n g , d ie d ie S trö m e i t u n d i, fü h re n u n d an d er gem einsam en S p a n n u n g e liegen.
3) J. K u h n , Spezielle Fälle der Parallelschaltung in analytischer Behandlung. E. u. M.
1912, H e ft 5.
4) j . K u h n , Die Wheatstonesche Brücke als Parallelschaltung und ihr Ersatzwiderstand.
E. u. M. 1916, Heft 32. Dieser Aufsatz befaßt sich m it der graphischen Behandlung der nicht abgeglichenen Brücke.
288 J. Kü h n, St r o m k r e is e. Zeitschrift für den physikalischen Dreißigster Jahrgang. _
D ie V e rh ä ltn is s e dieser a b g e g l i c h e n e n B rü c k e v e ra n s c h a u lic h t F ig . 8 a . D ie zw ischen d e n im A b s ta n d e e p a ra lle l gezogenen G eraden A A ' u n d B 'B liegenden S tro m lin ie n A B u n d A 'B ' schneiden sich im P u n k te G, dessen O rd in a te CC' die den A n s c h lu ß s te lle n des B rü c k e n d ra h te s gem einsam e S p a n n u n g m iß t. E s b e s te h t d a n n d ie P ro p o rtio n
A C : B C = A 'C : B 'C
o d e r W j: j ...22),
in d e r w ir d ie b e k a n n te G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g f ü r d ie abgeglichene W h e a ts to n e - sche B rü c k e erkennen.
F ü r die b e id en S tro m s tä rk e n g e lte n , w e n n w ir h ie r n o ch d ie G erade A M || A 'B ’ legen, die B ezie h u n g e n
. ______e , _ A ' M
1 ws .} B ' ()' ^ 1 A A '
u n d
A O
B O = *g «o A 'N A A n
aus denen fo lg t, daß A ’M = A A ' . i 1 u n d A ' N = A A '. i i ist. M achen w ir A ' B - A ’M -f- A !N — A A ’ (i1 - ) - i2) = A A '- J u n d ziehen den S tra h l AP, so s ch n e ide t dieser, w ie le ic h t nachzuw eisen, a u f O B den E rs a tz w id e rs ta n d d e r abgeglichenen B rü c k e tu — O B ab.
5. D ie T h o m s o n s c h e B r ü c k e .
Sie d ie n t z u r B e s tim m u n g sehr k le in e r, W id e rs tä n d e u n d b e s te h t aus a c h t L e ite rn , d e re n A n o rd n u n g F ig . 9 zeigt. D e r W id e rs ta n d wx e n ts p ric h t dem zu b e s tim m c a u e n W id e rs ta n d e , w.2 is t d e r v e rä n d e rlic h e M e ß w id e rsta n d . V o n den ü b rig e n festen W ic K r-
/w w
s tä n d e n s in d ws bis w6 so bemessen, daß — — —a = n is t, w o b e i n ge w ö hn lich eine
w4 wa
A n z a h l d e ka d isch e r W e rte a n n e h m e n ka n n .
I s t d ie B rü c k e d u rc h d ie W a h l v o n n u n d d ie Ä n d e ru n g v o n w2 a b g e g e b e n , d. h. i 0 = 0, so besitzen d ie P u n k te C u n d T) die gleiche S pannung, die W iders»tö ? w1 u n d w2 die gleiche S tro m s tä rk e i ±, ws u n d w t d ie S tro m s tä rk e i 2 u n d w5 u n d (!
d ie S tro m s tä rk e i l . D ie se n Z u s ta n d d e r B rü c k e b r in g t F ig . 9 a z u r D a rs te llu n g ^ D ie den W id e rs tä n d e n w2 u n d w,, zugehörigen S tro m lin ie n A E u n d B F sin d p a ra lle l, d ie den S tro m s tä rk e n i 2 u n d i i e ntsprechenden S tro m lin ie n A 'B ' u n d E F , zu denen d ie W id e rs tä n d e ws - j- wt u n d w5 -f- w6 gehören, schneiden sich im P u n k te C,
und chemischen U nterricht.
Heft V I. November 1917. Kl e in e Mi t t e il u n g e n. 289
dessen O rd in a te C C die den E n d p u n k te n des B rü c k e n d ra h te s gem einsam e S pannung m iß t u n d d e r d ie b e id e n S tro m lin ie n so te ilt, daß
A 'G _ E C _ B ' ~ G ~ Y G ~ n
is t. D a d ie V ie re cke A E C A ' u n d B F C B ' d a n n ä h n lic h u n d ih re S eiten den P ro -
/t /!'
je k tio n e n a u f die Gerade O B p ro p o rtio n a l sind, so e rg ib t sieh als G le ic h g e w ic h ts b e d in g u n g d e r abgeglichenen B rü c k e d ie B e zie h u n g
w 1 w s = w i ---- - =
IV.2 » 4
. 23)
w o ra u s w1 = nw fo lg t. I n d e r T h o m s o n s c h e n B r ü c k e h e r r s c h t a l s o G l e i c h g e w i c h t , w e n n d a s V e r h ä l t n i s d e r z u m B r ü c k e n l e i t e r (C D in F ig . 9) s y m m e t r i s c h g e l e g e n e n W i d e r s t a n d s p a a r e e i n e n f e s t e n W e r t (n) b e s i t z t .
Kleine Mitteilungen.
D ie M e s s u n g d e r Z e n t r i f u g a l k r a f t b e i P e n d e ls c h w in g u n g e n .
Von k , R ea lsch ulre kto r M. Wagner in Landsberg a. Lech.
U m d ie Z e n tr ifu g a lk r a ft zu messen, w elche b e i P e n d e lsch w in g u n g e n im tie fs te n P u n k te d e r B a h n a u f t r it t , lie ß ic h m ir vo n einem M e c h a n ik e r fo lg e n d e n A p p a ra t h e rs te lle n :
Z w e i d ü n n e p a ra lle le E ise n sta n g e n v o n 65 cm L ä n g e w e rd e n in e t wa 3 cm A b s ta n d v ie rm a l (bei A, B. C u n d D , F ig . l ) vo n d u rc h b o h rte n K a u ts c h u k trä g e rn zusam m engehalten. I n d e r M itte des oberen T rä g e rs A is t eine M essingröhre v o n e tw a 40 cm L ä n g e p a ra lle l zu den S tangen eingesetzt u n d in A b s tä n d e n v o n e tw a 1 cm v o n v o rn nach h in te n w ie d e rh o lt d u rc h lö c h e rt. A n d ie R ö h re sch lie ß t sich eine k rä ftig e Z u g fe d e r v o n etw as größ erem W in d u n g s d u rc h m e s s e r an, d eren oberes h ü lse n a rtig e s E n d e H e b e n fa lls d u rc h lö c h e rt is t, die d u rc h b o h rte M itte v o n B d u rc h lä u ft u n d m it einem S t if t b e lie b ig h och a u f d e r R ö h re b e fe s tig t w e rd e n ka n n . D as u n te re E n d e d e r F e d e r is t zu e in e m H a k e n um gebogen, w e lc h e r in das L o c h am o b e re n E n d e eines 15 cm la n g en Messingstabes v o n q u a d ra tis c h e m Q u e rs c h n itt e in g re ift. D ie se r S tab d u rc h lä u ft m it sehr g e rin g e r R e ib u n g in Ö ffn u n g e n vo n e n t
sprechendem Q u e rs c h n itt die T rä g e r C u n d D u n d fü h r t d a n n d u rc h eine flache B le ilin s e v o n e tw a 7 cm D urchm esser, d e n e ig e n tlic h e n P e n d e lk ö rp e r. A m u n te re n E n d e des F ü h ru n g ssta b e s is t no ch ein k le in e r H a k e n E ein g esch ra u b t, an w elchen e in e le ic h te Schale g e h ä n g t w e rd e n ka n n ,
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