Staalkabels: Geometrie en levensduur

STAALKABELS

GEOMETRIE EN

LEVENSDUUR

L. WIEK

~\

^Y)

STAALKABELS

GEOMETRIE EN

LEVENSDUUR

STAALKABELS

GEOMETRIE EN LEVENSDUUR

PROEFSCHRIFT

ter verkrijging van de graad van doctor in de

technische wetenschappen aan de Technische

Universiteit Delft, op gezag van de Rector Magnificus,

prof.dr. J . M . Dirken, in het openbaar te verdedigen

ten overstaan van het College van Dekanen op

7 oktober 1986 te 16.00 uur

door

Lourus Wiek

Werktuigbouwkundig ingenieur

geboren te 'sGravenhage

TR diss^

1499

Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor prof.ir. G.C. Meeuse

INHOUD.

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

b i z .

5 6 7 10 10 11 12 12 13 14 SUMMARY. b i z . HOOFDSTUK I .

STAALKABELS GEOMETRIE EN EIGENSCHAPPEN. 1. Inleiding.

2. De ontwikkeling van kabels met ronde strengen. 3. Historische ontwikkeling van de staalkabeltheorie. 4. Staalkabels. Materiaal en constructie anno 1986. 4.1 Het draadmateriaal.

4.2 Veel voorkomende staalkabelconstructies. 4.2.1 De kern van de kabel.

4.2.2 De strengen in een staalkabel. 4.2.3 De staalkabel.

5. Gewicht, sterkte en stijfheid van staalkabels.

HOOFDSTUK II.

DE GEOMETRIE VAN DE GEBOGEN SCHROEFLIJN.

1. Inleiding. blz. 17 2. De staalkabel als systeem. blz. 18 3. Het geometrische model en het kabelsysteem. blz. 19 4. Algemene beschrijving van het kabelsysteem. blz. 21 4.1 Het model van de rechte schroeflijn. blz. 22 4.2 De cirkelvormig gebogen kabel. blz. 24 4.3 Het gebruik van krommingen uit het kabelsysteem. blz. 32 5. De streng als subsysteem. blz. 36 5-1 Het systeem "streng" in de rechte kabel. blz. 36 5.2 De streng in de gebogen kabel. blz. 39 5.3 Het gebruik van de berekende draadkrommingen. blz. 45 6. Evaluatie van de ontwikkelde buigtheorie. blz. 51

HOOFDSTUK III.

DE OPBOUW VAN STRENGEN C.Q. STAALKABELS.

1. Inleiding. blz. 53 2. De grenswaarde van de buigstraal. blz. 5^ 3. De raakproblematiek. blz. 5^ 4. De vorm van de draaddoorsnijding. blz. 56 5. De mathematische uitwerking van de draadddoorsnijding. blz. 58 6. De oplossing voor het eerste raakprobleem. blz. 64 7. De oplossing voor het tweede raakprobleem. blz. 67 8. De strengopbouw. blz. 78 9. Het rekenproces voor Seale-constructies blz. 82 10. Het rekenproces voor Seale-vuldraadconstructies. blz. 85 11. Het rekenproces voor de Warrington-Seale-construictie. blz. 88 12 Discussie over het spelingspercentage. blz. 90 13- Voorbeelden van het ontwerpproces. blz. 92 13.1 Voorbeeld van een draadsubstitutie. blz. 93 13.2 Voorbeeld van slaghoekwijzigingen. blz. 96 13-3 Voorbeeld van onderzoek naar invloeden van de

draadtoleranties. blz. 99

14. Evaluatie. blz.102 14.1 De speling voor het buigen. blz.102

14.3 De spelingsverandering t.g.v. in- en uitdraaien. 14.4 De speling van het functioneren van de kabel. 14.5 Conclusies.

HOOFDSTUK IV.

EXPERIMENTEEL ONDERZOEK NAAR SPANNINGEN IN DRADEN VAN STAALKABELS.

blz.104 blz.105 blz.105

1. Inleiding.

2. Indeling van het onderzoek.

3. Gemeten spanningen in draden van staalkabels. 3.1. De trekspanningsmetingen. 3.2. De buigspanningsmetingen. 3.2.1. De meetopstelling. 3.2.2. Het spanningsbeeld. 3.2.3- De zuiverebuigspanning. 3.2.4. De piekspanning 3.2.5. De secundaire buigspanning. 3.3. De wringspanning. 3.3.L Het wringspanningsverloop. 3.3.2. De zuivere wringspanning. 3.3.3. De pieken.

4. De verdeling van de trekkracht bij kabels. 4.1 De verdeling over draden in de zelfde laag. 4.2 De verdeling over verschillende strenglagen. 5. De "herstellengte" van gebroken draden.

5.1 Draadbreuken en de sterkte van kabels in kruisslag. 5.2 De herstellengte van een gebroken draad bij

kabels in Lang-slag.

6. De correlatie tussen gemeten trekspanningen en levensduur. 7. Conclusies uit de spanningsmetingen.

HOOFDSTUK V.

DE CONTACTKRACHTEN TUSSEN KABEL EN SCHIJF.

1. 2. 3. 4. 5-6. 7-7. 7-8. Inleiding.

De contactdruk berekend met de formule van Hertz. De invloed van de contactdruk volgens Pantucek.

Het meten van contactkrachten tussen kabel en schijf. Het verloop van de contactkrachten tijdens een

schijfpassage.

De verdeling van de contactkracht over de contactpunten. Het berekenen van de contactkrachtverdeling.

De invloed van het groefprofiel op de contactkracht­ verdeling.

De consequenties van plastische vervormingen in de groef. De invloed van de vervorming van de kabeldoorsnede.

De meetgegevens en de berekening van de contactkracht­ verdeling.

De relatie van de contactkracht met de specifieke vlaktedruk. blz.107 blz.108 blz.109 blz.110 blz.113 blz.115 blz.118 blz.122 blz.125 blz.129 blz.130 blz.134 blz.135 blz.135 blz.136 blz.136 blz.141 blz.143 blz.144 blz.146 blz.147 blz.148 blz.151 blz.151 blz.152 blz.154 blz.156 blz.157 blz.158 blz.159 blz.162 blz.165 blz.168 blz.170 HOOFDSTUK VI. DE STAALKABELLEVENSDUUR. 1. 2. 2. Inleiding.

De oorzaken voor de beperkte levensduur. De vernieling.

blz.171 blz.172 blz.172

-2, 2. 2. 2, 3. 4, 4, 4, 4,

4.4

4. 4. 5. 5. 5< 5. 5. 5. 5. 6, De slijtage. De corrosie. De vermoeiing.

Samenvatting van de oorzaken. De kabelinspectie.

Overzicht van het onderzoek naar de kabellevensduur De periode Albert tot Benoit.

Het stelselmatige levensduur onderzoek aan staalkabels. Internationale samenwerking bij het kabellevensduur-onderzoek.

Het op internationaal niveau vergelijken van de beproevingen.

Het ideaal van een standaard-beproevingsmachine. De wet op de cumulatieve schade.

Het verwerken van de beproevingsresultaten. De methode Drücker en Tachau.

De methode Shitkow. De methode Giovannozzi.

De methode Rossetti en de daar aan verwante formules. De formule van Clement.

De methode Feyrer.

Het levensduuronderzoek in de naaste toekomst.

blz.172 blz.173 blz.173 blz.173 blz.173 blz.174 blz.175 blz.175 blz.177 blz.177 blz.179 blz.180 blz.180 blz.180 blz.181 blz.182 blz.183 blz.184 blz.186 blz.187 HOOFDSTUK VII. ALGEMENE CONCLUSIES. VIII.LITERATUURVERWIJZINGEN. BIJLAGEN.

Hoofdstuk II. Bijlage 1. De afgeleiden van de parameter­ vergelijkingen van de gebogen schroeflijn.

Hoofdstuk II. Bijlage 2. Voorbeeld van een buigspanningsberekening.

Hoofdstuk IV. Hoofdstuk IV. Hoofdstuk IV. Hoofdstuk IV. Hoofdstuk IV. Hoofdstuk V. Hoofdstuk V. Hoofdstuk V. Hoofdstuk V. Bijlage 1. Bijlage 2. Bijlage 3-Bijlage 4. Bijlage 5. Bijlage 1 Bijlage 2 Bijlage 3 Bijlage 4 Hoofdstuk V. Bijlage 5

LIJST VAN SYMBOLEN

De toegepaste rekstrookjes. De gebruikte meetapparatuur. De invloed van de draadkromming op de k-factor. Berekeningsmethoden voor de trekspanning. Variantie-analyse op gemeten trekspanningen. De kabelverplaatsing.

Het vervormen van de kabel tot een pseudo ellips.

Programma voor het berekenen van contactkrachtverdelingen.

Voorbeelden van berekende contactkracht verdelingen, die bij enkele kabeltypen onder diverse omstandigheden optreden. Het verband van het aantal contactpunten en de contactkracht F blz.189 blz.191 blz.197 blz.198 blz.200 blz.200 blz.200 blz.201 blz.202 blz.203 blz.205 blz.206 blz.210 blz.212 blz.213

STEEL WIRE ROPES.

GEOMETRY AND ENDURANCE.

SUMMARY.

In an introductory chapter a survey is given of the development, the geome­ try and the most important properties of steel wire ropes and steel wires. A second chapter deals with the development of a model to calculate the changes in curvature of strands and wires in steel wire ropes, which are caused by bending of a rope over a sheave. The changes are important, be­ cause these explain a part of the rope behaviour due to forced bending, while a part of the material stresses can be calculated from changes in wire curvatures. From this model of the bent helix it follows that, during the construction of strands and ropes, the small changes of the rope geometry due to bending must be taken into the account.

In a third chapter two parameter equations of the wire cross section in a strand are derived. With these equations the various points of contact be­ tween the wires in a strand can be calculated and so computerized designing of rope constructions in equal lay can be achieved. To verify, if the wires have sufficient play to change their geometry in the bent rope, these designing programms also give the opportunity to calculate the play between

the wires and to investigate the influence of the wire tolerances on it. One chapter is dedicated to the results of the experimental research on the normal stresses and the torsional stresses in the wires of ropes.

The measurement of the contact forces between the rope and the sheave are described in a separate chapter. Especially the distribution of the contact forces over the available points of contact is raised. Also some calculation methods are proposed to approximate the contact forces.

The importance of the investigated stress components finds expression in the considerations on the rope endurance research. In the case of forced bend­ ing, the rope endurance can not be derived from the fatigue strength of the wires, but it only can be described on the base of endurance tests on wire ropes. If the endurance is expressed in such a way, that each of the impor­ tant stress components the tensile, the bending and the contact pressure -have each their own term in the endurance expression, the wire rope applica­ tions can be better compared with existent experimental endurance data.

HOOFDSTUK I

STAALKABELS. GEOMETRIE EN EIGENSCHAPPEN.

1. I n l e i d i n g .

Anderhalve eeuw ervaring met staalkabels heeft tot een respectabele hoeveel­ heid vakliteratuur geleid. Bij nadere beschouwing blijkt echter, dat deze allerminst het aaneengesloten beeld geeft van de eigenschappen, de verschij­ ningsvormen, de toepassingen en de theorie m.b.t. de sterkte en de stijfheid van kabels, die nodig is om er de bestaande kabelproblemen mee aan te pakken.

Hoewel basis eigenschappen zoals de grote weerstand tegen trek, de grote weerstand tegen dwarsbelasting en de kleine weerstand tegen buiging steeds min of meer aanwezig zijn, is de onderlinge verhouding van die eigenschappen bij de te onderscheiden typen zeer verschillend.

Al naar gelang de toepassing kunnen kabelconstructies zulke grote verschillen vertonen, dat niet geheel ten onrechte aan de herkomst kan worden getwijfeld. Voor de herkomst van de kabelconstructie zou tot zeer ver in de historie kun­ nen worden terug gegaan. Het gaat hier echter om de oorsprong van het huidige gebruik, zodat de eerste industrieële toepassing van de staalkabel als uit­ gangspunt kan worden gekozen.

De eenvoudige kabel, die Albert in 183^ toepaste als ophaalkabel in het mijnbedrijf, was reeds een kabel opgebouwd uit drie strengen, welke vooraf uit afzonderlijke draden waren samengesteld.

Hoewel in Philadelphia reeds in l8l6 m.b.v. staaldraad een hangbrug werd gebouwd, dateert het eerste kabelpatent in Amerika uit 1839- Die kabel was bedoeld om als roerkabel bij rivierschepen te worden toegepast.

In Frankrijk was tussen 1822 en I83O door mannen als Navier, Vicat, Leblanc en Dufourt een techniek ontwikkeld om bundels van parallel lopende draden .te maken voor het bouwen van hangbruggen.

Ellet bracht die techniek naar Amerika en kwam daar in contact met Roebling, die ook in het gebruik van staaldraad was geïnteresseerd. Ellet ging later weer zijn eigen weg en bouwde hangbruggen over de Niagara en de Ohio, terwijl Roebling kabels ontwikkelde voor de Allegheny Portage Railroad (1847).

Ook andere toepassingsgebieden zoals goederen- en personenliften (1857). kabels voor olie-boortorens (1859) en kabelgetrokken trambanen (1867), waar van ove- rigens in Londen al in 1840 een exemplaar bestond, geven de snelle ontwikkeling van het aantal toepassingen weer.

De eisen, die veel van de genoemde toepassingen aan de kabels stelden, liepen meestal zo ver uit een, dat in veel van die gebieden specifieke constructies zijn ontstaan. Voorbeelden van die ontwikkeling zijn:

De bundels rechte draden voor bruggen en voor het tuien van hoge masten. Enkel-strengskabels voor o.a. spandraden in betonconstructies. Gesloten kabels voor het gebruik in mijnschachten en voor kabelbanen.

, Maar ook bij kabels t.b.v. het algemene gebruik, waaronder de kabeltoepassin­ gen in transportwerktuigen worden gerekend, zijn er een aantal bijzondere vormen van kabels ontstaan. Zo zijn naast de, van de Albert-kabel afgeleide zes- en acht-strengs kabels met ronde strengdoorsnede, nog kabels met ovale-of driehoekige strengen bekend.

Er zijn zelfs kabels met ronde strengen, die vóór het samen slaan door trek­ 's tenen -dies- worden nagetrokken en daarom dieform-kabels worden genoemd. Maar

er zijn ook kabels met 18 of meer strengen, die in lagen om een kern zijn geslagen. Die lagen hebben dan veelal aan elkaar tegengestelde slagrichtingen, waarmee het uitdraaien van de kabel onder belasting wordt tegen gegaan.

Verder zijn er kabels, die weer uit meerstrengskabels worden geslagen en die met kabelslag-kabels worden aangeduid. Deze vinden tegenwoordig toepassing als stroppen in de off-shore industrie.

Het zal duidelijk zijn, dat bij zoveel verschijningsvormen en toepassingen

beperking noodzakelijk is. Bij het voorliggende onderzoek zal als toepas­

singsgebied een beperking tot het algemene gebruik worden aangehouden. Daarmee

ligt de beperking tot bepaalde verschijningsvormen nog niet scherp vast.

Daarom zullen de beschouwingen zich in het algemeen beperken tot kabels met

ronde strengdoorsneden, die niet zijn nagetrokken. Er zijn echter aanwijzin­

gen, dat van de behandelde eigenschappen een deel ook toepasbaar zijn op

andere constructies. Dankzij de beperkingen is het nu mogelijk een beknopt

overzicht te geven van de ontwikkeling, die de strengenkabels hebben doorge­

maakt.

2. De ontwikkeling van kabels met ronde strengen.

Bij kabels voor algemeen gebruik, welke doorgaans over meerdere schijven wor­

den gebogen, is een geringe buigstijfheid van zeer groot belang. Er is dan oók

sinds Albert een duidelijk streven naar sterkere kabels, die in relatieve zin

geen grotere buigweerstand hebben. Die ontwikkeling heeft wel een sterk em­

pirisch karakter gehad.

In de beginfase van de ontwikkeling werd op de vraag naar sterkere kabels o.a.

gereageerd met het toepassen van sterker draadmateriaal. Het oorspronkelijke

materiaal was ijzerdraad met een sterkte van ca. 520 N/mm2. Tussen 185^ en

1890 werd het ijzerdraad langzamerhand verdrongen door het staaldraad en wel

voornamelijk omdat het staaldraad twee maal zo sterk was als het ijzerdraad.

Na die omschakeling op het staaldraad is ook van dat materiaal de sterkte

steeds verder opgevoerd. In plaats van de 1200 N/mm2 in 1900 is de grootste

treksterkte nu 2200 tot 2400 N/mm2. De treksterkteklasse 1770 (N/mm2), welke

in i960 nog als uitzonderlijk hoog werd beschouwd, is nu de standaard

kwaliteit.

-.

Parallel aan de ontwikkeling m.b.t de materiaalsterkte hebben zich ook in de

fabricagemethoden van strengen en kabels verbeteringen voorgedaan. De eerste

staalkabels werden met de hand in elkaar gedraaid, maar al in 18^7 zijn er

machines ontwikkeld voor het machinaal slaan van strengen en kabels. Door het

mechaniseren van de kabelproductie werd in ieder geval bereikt, dat de kabel

homogener van samenstelling werd , zodat er minder snel zwakke plaatsen konden

ontstaan. Uiteraard maakten ook de kableermachines een snelle ontwikkeling

door en zo werden er kabelconstructies mogelijk, met veel meer draden per

streng en veel meer strengen per kabel. Het voordeel daarvan was, dat het

grote aantal draden voor een grote sterkte zorgde, terwijl de draad middellijn

gelijk bleef of soms zelfs kleiner werd. Die kleine draadmiddellijn zorgde

daarbij toch voor een kleine buigstijfheid.

Een belangrijke stap voorwaarts in de richting van grote sterkte en lage

buigstijfheid was de uitvinding van de z.g. parallelslag. Door de slaglengte

van de draden uit verschillende lagen gelijk te maken, liepen de draden in een

streng allemaal evenwijdig en waren zo met elkaar in lijncontact. Bij de

oorspronkelijke strengopbouw was dat niet het geval, daar werd laag na laag

aangebracht met de zelfde slaghoek, waar door de draden elkaar kruisten (zie

fig.1.1). Die draadkruisingen veroorzaakten extra buiging en grote plaatselij­

ke dwarsbelasting.

Een andere verbetering in de sfeer van de kabelfabricage is de invoering van

het voorvormproces. Door de strengen voor het samenslaan alvast de vorm te

geven, die deze in de kabel moeten hebben, veren de strengen en de draden niet

meer terug als de kabel wordt ontlast. Dit komt door de sterke vervormingen

die bij het voorvormen optreden. Door het beperken van de terugvering zal de

spanning in de uiterste vezels bij een voorgevormde kabel geringer zijn, wat

ook in de levensduur van de kabel is terug te vinden.

-Met de beste productiemachines, het beste draadmateriaal,een grote ervaring en met veel know how, kan de kabel fabrikant van vandaag een hoogwaardig eindpro­ duct leveren. Zijn kabels kunnen soms jaren mee, maar een gecompliceerde interactie van slijtage corrosie en vermoeiing zullen toch een eind maken aan het veilige gebruik ervan.

In de meeste gevallen komt dat einde vele malen eerder, dan het verstrijken van de gebruiksduur van het betreffende werktuig. Er is dan ook een niet te verwaarlozen levensduur probleem. Daarbij komt nog, dat de functie van veel staalkabels voor algemeen gebruik grote risico's met zich mee kunnen brengen. Het breken van een hijsdraad of een tuidraad kan immers tot zeer ernstige on­ gevallen leiden. Het vaststellen van het tijdstip, waarop een kabel uit bedrijf moet worden genomen,is veel meer dan het voorkomen van oponthoud in een productieproces.

014

CÉ2

h

a

h4

h2

2TT*w2 2TT*w4

C o n v e n t i o n Q e l

2TT*w2 2.TT*w4

P a r a l l e l s l a g

Fig. 1.1 Traditionele slagwijze versus parallelslag.

Ondanks alle verbeteringen bij de fabricage van draad en kabel heeft de be­ schikbare sterkte van de staalkabel geen gelijke tred kunnen houden met de vraag naar grotere en sterkere kabels. De steeds sterker toenemende vraag heeft de laatste decennia geleid tot schaalvergroting van de kabelafmetingen en van de kabel snelheden. Daarbij hebben zich problemen aangediend, waar van het oplossen steeds meer inzicht vraagt in het m e c h a n i s m e van de staalkabel .Dat inzicht en ook de behoefte om optredende spanningen zowel als vervormingen te berekenen i.v.m. het onderzoeken van het levensduurprobleem, vergen theoretische grondslagen.

Zoals reeds bij de inleiding werd opgemerkt, geeft de literatuur echter niet veel meer dan fragmenten van theorie, welke bovendien voor wat de uitgangspun­ ten betreft nog slecht op elkaar aansluiten. Oorzaken voor de onvolkomenheden in de kabeltheorie zijn voor een deel het gevolg van de historische ontwikke­ ling.

3- Historische ontwikkeling van de staalkabeltheorie.

Het grote verschil in weerstand tegen trek en weerstand tegen buiging waaraan staalkabels hun veelzijdige toepassing danken, maakte het mogelijk om voor het bepalen van hoofdafmetingen de kabel te vereenvoudigen tot een volkomen slap koord. Dat koord met een materiaaldoorsnede A en een buigstijfheid nul werd daartoe slechts op trekkracht berekend. Voor het berekenen van de trekspanning werd meestal volstaan met het delen van de kabelkracht door het gezamenlijke oppervlak van de ronde draaddoorsneden A.

Bij de benadering door het slappe koord mocht de ontwerpspanning slechts een fractie van de materiaalsterkte bedragen. Afhankelijk van het toepassings­ gebied kon die fractie variëren van 0,12 tot 0,25.

Het verschil tussen de toelaatbare kabelkracht en de werkelijke breekkracht van de kabel was nodig om het hoofd te bieden aan:

- De invloed van de constructiewijze.

- De invloed van de onvermijdelijke slijtage en corrosie.

In het verleden zijn er verschillende modellen voorgesteld, voor het berekenen van de bijkomende spanningen in draden van staalkabels. De oudere modellen zijn vooral op het berekenen van buigspanning afgestemd, omdat door de grote schijfmiddellijnen de contactdrukken nog beperkt waren, zodat de optredende draadbreuken aan buigingsvermoeiing werden toegeschreven.

Ook voor Reuleaux in l86l zijn bekende buigmodel van de bos parallel met de schijf lopende draden lanceerde, was er al over de vervorming geschreven, die in staalkabels moest ontstaan bij het passeren1'van een schijf. Toch kan de

formule van Reuleaux wel als de eerste theoretische verhandeling over staal­ kabels worden beschouwd.

In l88l stelde von Bach daar zijn buigingsformule tegenover. Ten opzichte van Reuleaux liet hij de invloed van de schroeflijnvorm tot zijn recht komen m.b.v. een coefficient -3/8-.

De discussie over de juistheid van beide theoriën heeft tientalle jaren geduurd en een echte oplossing van de controverse is er niet gekomen, ook niet nadat anderen zich over de kwestie hadden uitgesproken. Dat er geen keuze kon worden gemaakt, is niet zo verwonderlijk. Een verificatie van de theoriën m.b.v. een direkte meting was niet mogelijk. De theoriën konden slechts met levensduurproeven worden getest en zeker in die tijd moet de spreiding in de resultaten voor een dergelijk onderzoek te groot zijn geweest.

Of de voortdurende discussie van Reuleaux en Bach de verdere ontwikkelling van de theorie heeft belemmerd, danwei de geringe interesse van fabrikanten en gebruikers voor de theorie als oorzaak moet worden genoemd, valt niet meer na te gaan. Wel is bekend, dat veel later door Benoit, Schmidt en Leider de span­ ningsinvloed t.g.v. de wrijving tussen op elkaar liggende draden in rekening werd gebracht. Die invloed is door genoemde auteurs als aanvulling gegeven op de buigspanning van Reuleaux.

De toenemende kabelkrachten en de afnemende schijfmiddellijnen hebben de in­ vloed van de contactkrachten steeds meer doen toenemen. Zo zelfs, dat in de laatste veertig jaar de contactkrachten als de belangrijkste oorzaak voor het ontstaan van draadbreuken worden beschouwd.

Voor het berekenen van de drukspanning t.g.v. de contactkrachten heeft Wijss voorgesteld, om de formule van Hertz toe te passen. De daarmee berekende waar­ den waren echter zo hoog, dat er twijfels over de toepasbaarheid voor staalkabels zijn gerezen. Ook in dit geval ontbrak een goede methode om de berekeningen te verifiëren. Pas in de zeventiger jaren zou Pantucek een alter­ natief voor de berekeningen van Wijss ontwikkelen.

Voor het omzijlen van deze lastige klip is ook vaak gebruik gemaakt van de z.g. specifieke vlaktedruk. Deze heeft echter meer het karakter van een kental dan van een echte spanning en werd ook alleen gebruikt als richtwaarde om ex­ cessieve drukkrachten tussen kabel en schijf te voorkomen.

Naast de genoemde modellen voor het buigen van kabels over schijven heeft Isaachsen nog een theorie ontwikkeld voor het buigen van een kabel over een rol, waarbij de kabel niet de kromming van de rol aan kan nemen. Deze theorie was hoofdzakelijk bedoeld voor de buiging, welke bij kabelbanen en kabelkranen optreedt. Verder zijn er ook nog modellen ontwikkeld, om''de wringende momenten in de kabel bij het belasten op trekkracht en de daaruit voortvloeiende tor­ siespanningen te berekenen.

De soms ingenieus opgezette kabelmodellen hebben t.a.v. de kabelgeometrie veelal sterk uiteenlopende en vereenvoudigde uitgangspunten. Bij het kiezen van de geometrische modelvoorwaarden is maar ten dele gebruik gemaakt van de mogelijkheden, die de analytische geometrie op dit stuk heeft te bieden. De literatuur, die zich op de kabelgeometrie richt, is merendeels beperkt gebleven tot kwalitatieve aspecten zoals:

-- De voor-- en nadelen van de z.g."parallelslag" t.o.v. de "traditionele slagwijze". (Zie figuur 1.1.)

- De compromissen aan de verschillende gebruiksomstandigheden, die bij stren­ gen in parallelslag mogelijk zijn. (Zie figuur 1.2.)

- De voor- en nadelen van Lang-slag t.o.v. kruisslag bij kabels uit meerdere strengen. (Zie figuur 1.3.)

Aan genoemde aspecten van de kabelgeometrie zal hier weinig aandacht worden besteed.

SEALE

_{SEALE-VULDRAAD}

_{WARRINGTON_SEALE}

Fig. 1.2 Grondvormen van constructies in parallelslag.

Theoretisch en experimenteel onderzoek naar de invloed van de kabelgeometrie, welke sedert 1970 in het Laboratorium voor Transporttechniek van de Technische Hogeschool Delft heeft plaatsgevonden, toonde steeds weer aan, dat een deel van de spanningsveranderingen t.g.v. het buigen over schijven met succes kun­ nen worden voorspeld uit de berekende krommingsveranderingen van draden. Het kennen van die krommingsveranderingen heeft daardoor een grotere betekenis gekregen.

Laatst genoemde constatering en het gemis aan enige mate van consistentie in de uitgangspunten van de tot nog toe gehanteerde kabelmodellen hebben tot de voorliggende studie van de staalkabelgeömetrie geleid.

4. Staalkabels. Materiaal en constructie anno 1986.

Bij een studie, welke pretendeert om meer dan in het verleden de geometrie van de kabel bij het berekenen van de spanningen te betrekken, kan een korte uiteenzetting over het materiaal en de belangrijkste vormen van kabels in deze tijd niet ontbreken.

4.1 Het draadmateriaal.

Staaldraad voor de staalkabelfabricage, is gemaakt van ongelegeerd staal. De slechts bij uitzondering voorkomende kabels, die van roestvrijstaal of van ari-timagnetisch materiaal zijn gemaakt, blijven in deze studie buiten beschou­ wing.

Om aan de nu vereiste treksterkte te voldoen, moet het uitgangsmateriaal door koud vervormen worden verstevigd. Daarvoor is een koolstof percentage nodig, dat tussen de 0,35 en de 0,85 % ligt. Het mangaan percentage (0,5 tot 1 %) en

het silicium percentage (0,2 tot 0,3 %) ondersteunen daarbij de functie van de

koolstof.

Deze voor staalsoorten niet zo bijzondere chemische samenstelling, mag echter niet met meer dan 0,04 % fosfor of zwavel zijn verontreinigd, terwijl ook

sporen koper, chroom, nikkel en tin zoveel mogelijk moeten worden vermeden. Die verontreinigingen geven aanleiding tot ongewenste segregaties en insluit-sels. Door uit te gaan van het oxistaalproces, waar bij relatief weinig schroot wordt toegevoegd, kunnen de verontreinigingen binnen acceptabele gren­ zen worden gehouden.

Het materiaal, dat als walsdraad aan de trekkerij wordt afgeleverd, heeft een perlitische structuur en moet eerst aan een warmtebehandeling worden onderwor­ pen, voor dat het geschikt is voor de sterke koudvervorming. Die behandeling -het patenteren - bestaat uit -het isoterm veredelen bij 400 a 450 graden Celsius.

Het tot boven de austenitische temperatuur verhitte draad wordt snel afgekoeld op de transformatietemperatuur, die daarna een bepaalde tijd constant wordt gehouden. De afkoeling kan plaatsvinden door het omspoelen met warme lucht of door het onderdompelen in vloeibaar lood. Tijdens het constanthouden van de temperatuur treedt er een structuurtransformatie op. Daarbij gaat de perliti­ sche structuur over in sorbiet, welke een zeer fijne korrelgrootte heeft. Die fijne structuur is gewenst, omdat bij het koudvervormen veel dislocaties op het grote aantal kristalgrenzen kunnen vastlopen. Verder dragen de inwendige spanningen tussen de dunne cementiet- en ferrietplaatjes bij aan de sterkte van het materiaal. Een van de belangrijkste invloedsgrootheden bij dit proces is de dikte van het walsdraad, omdat deze invloed uitoefent op de afkoelsnel-heid. Deze laatste is weer van belang voor de korrelgrootte van het sorbiet.

Na het patenteren moet de walshuid zorgvuldig door etsen of op mechanische wijze worden verwijderd, voordat het materiaal kan worden getrokken.

Het koud trekken van staaldraad is in feite een continu proces, waarbij de draad door verschillende trekstenen gaat. Elke treksteen reduceert de draad-doorsnede met 12 tot 40 %. Het aantal trekstenen en de temperatuur van de

treksteen hebben een belangrijke invloed op het resultaat van de bewerking. De totale reductie van de walsdraad kan wel meer dan 95 % bedragen. Draad met een

totale reductie groter dan 60 % heeft een sterke textuur, waarbij de kristal­

len zijn gericht en als vezels zijn uitgerekt.

Soms wordt de eerder genoemde warmtebehandeling na het passeren van een aantal trekstenen herhaald. Het aantal stenen dat na de laatste warmtebehandeling wordt gepasseerd, kan wel tot 14 oplopen. Het totale aantal trekstenen, dat

-moet worden g e p a s s e e r d hangt af van de v e r e i s t e t r e k s t e r k t e , de v e r e i s t e

eindmiddellijn, de middellijn van het walsdraad, het koolstof- en

mangaanper-c e n t a g e en h e t a a n t a l w a r m t e b e h a n d e l i n g e n . B i j d i t a l l e s moet worden

opgemerkt, d a t draadmateriaal van de zelfde t r e k s t e r k t e op verschillende wijze

kan w o r d e n v e r k r e g e n . Het i s daarom goed m o g e l i j k d a t b i j de z e l f d e

t r e k s t e r k t e andere eigenschappen v e r s c h i l l e n .

Hoe de e i g e n s c h a p p e n van het materiaal b i j het trekken veranderen b l i j k t u i t

het volgende o v e r z i c h t :

Eigenschap. Treksterkte. 0,2 % rekgrens.

°o.or

grens Breekrek Insnoering

Aantal torsies per 200x de draaddiameter

Voor het trekken. 800 - 900 N/mm2 500 - 600 N/mm2 300 - 350 N/mm2 40 - 35 % 10 % 55 - 60 Na het 1800 1150 700

-4

30 -trekken. 2200 N/mm2 1500 N/mm2 800 N/mm2 6 % 3 %

40

Na h e t trekken i s de oppervlakte hardheid van het s t a a l d r a a d 350 t o t 450 HB.

De t r e k s t e n e n , d i e van g e c i n t e r d metaal of van d i a m a n t z i j n , worden soms

gekoeld. Ze z i j n aan s l i j t a g e onderhevig en moeten voor h e t v e r k r i j g e n van de

j u i s t e d r a a d m i d d e l l i j n en de j u i s t e o p p e r v l a k t e g e s t e l d h e i d t i j d i g worden

j

vervangen. Diepe trekgroeven en a n d e r e , door de t r e k s t e e n v e r o o r z a a k t e be­

s c h a d i g i n g e n van h e t draadoppervlak z i j n nadelig voor de vermoeiingssterkte

van h e t draad.

Het g r o t e a a n t a l invloedsfactoren en de moeilijk t e c o n t r o l e r e n homogeniteit

van de draadeigenschappen over g r o t e draadlengten, maken h e t d r a a d t r e k k e n t o t

een s p e c i a l i t e i t b i j u i t s t e k .

T e n s l o t t e moet nog worden gewezen op de afwerking van h e t s t a a l d r a a d . Draad

kan namelijk "blank" of "verzinkt" worden geleverd.

Bij de v e r z i n k t e draad z i j n e r d r i e soorten: Verzinkt en nagetrokken k w a l i t e i t

B, zwaar v e r z i n k t en nagetrokken k w a l i t e i t AB en zwaar v e r z i n k t op eindmiddel­

l i j n . De l a a t s t s genoemde wijze van verzinken komt b i j kabels voor lopend werk

s l e c h t s zelden voor.

4.2 Veel voorkomende k a b e l c o n s t r u c t i e s .

Z e l f s b i j de b e p e r k i n g t o t k a b e l s voor algemeen gebruik en b i j constructies

met u i t s l u i t e n d ronde strengen opgebouwd u i t ronde d r a d e n , zou een v o l l e d i g

o v e r z i c h t van de d a a r b i j voorkomende k a b e l c o n s t r u c t i e s t e ver voeren. Daar

* voor wordt verwezen naar de Nederlandse norm NEN 3575 [ ! ] •

Elke s t a a l k a b e l i s opgebouwd u i t een kern, waar omheen een mantel van draden

of strengen i s geslagen. Bestaat de mantel u i t d r a d e n , dan i s e r s p r a k e van

een e n k e l s t r e n g s k a b e l . Die s i t u a t i e doet,zich b i j "lopend werk", d.w.z. b i j

kabels die over schijven heen en weer bewegen, zelden voor. Bestaat de mantel

u i t s t r e n g e n , d i e s c h r o e f l i j n v o r m i g om de kern z i j n geslagen, dan r e s t de

vraag, of e r a l t i j d reden i s voor v e r s c h i l i n c o n s t r u c t i e van de k e r n en de

omliggende s t r e n g e n . Het antwoord daar op i s p o s i t i e f , omdat de functie van de

kern een heel andere i s dan van de s t r e n g .

4.2.1. De kern van de kabel.

Welk materiaal ook voor de kern wordt gebruikt, het zal aan de volgende eisen moeten voldoen:

- Voldoende steun geven aan de strengen, zodat deze onder trekbelasting en bij het buigen over schijven zo veel mogelijk op hun plaats blijven en daar door elk een evenredig deel van de trekbelasting kunnen dragen.

- Zo lang mogelijk zorg dragen voor een kleine speling tussen de strengen in een laag, zodat de strengen elkaar ook bij het lopen over schijven zo weinig mogelijk beschadigen.

- Voldoende weerstand bieden tegen dwarsbelasting, die bij het passeren van schijven moet worden doorgevoerd.

- Mogelijkheden bieden voor het opslaan van vet of olie, welke als conser­ veringsmiddel en als smeermiddel voor de kabel dient.

- Het leveren van een bijdrage aan de sterkte van de kabel,die echter in de meeste gevallen van bijkomstige aard is.

In het verleden werd voor de kern van een kabel meestal touw gebruikt, dat voor een soepele inbedding van de strengen zorgde en bovendien als opslag­ plaats voor het smeermiddel diende. Het fabriceren van touwkernen met een massa, die goed over de lengte is verdeeld, heeft echter steeds meer problemen opgeleverd. Daarom is het touw nu voor een deel vervangen door synthetische vezels. Een veel voorkomende kunststofkern is de polipropyleenkern, al geeft ook daarbij het beheersen van de massa verdeling over de lengte soms nog problemen.

Bij kabels met wat grotere middellijnen worden de krachten op natuurvezels of kunststofvezels te groot. Hoewel er geen duidelijke grens is vast te stellen, zullen kabels met een middellijn van meer dan 25 mm steeds meer van staalker-nen zijn voorzien. Die staalkerstaalker-nen hebben dan tot nadeel, dat het contact met de strengen veel minder gelijkmatig verloopt. Het doorvoeren van de, met de middellijn toenemende, contactkrachten is echter veel beter.

Een staalkern kan uit een enkele streng worden opgebouwd, zoals b.v. bij de 7x7-constructie, waar de kern uit een enkele streng van zeven draden bestaat, waar om zes strengen van zeven draden zijn geslagen. Voor een juiste vervul­ ling van zijn functies zal die kernstreng echter net iets dikker zijn dan de zes omliggende strengen.

Bij staalkabels met een middellijn groter dan 13 mm zal als staalkern een kabel uit meerdere strengen worden toegepast. Die kernkabel is in veel geval­ len een 7x7~constructie.

4.2.2 De strengen in een staalkabel.

Voor lopende kabels kan de functie van de streng als tweeledig worden be­ schouwd:

- De voornaamste functie is het doorleiden van trekkracht, zonder dat de buig­ ing daaraan al te grote beperkingen oplegt.

- Het weerstand bieden aan de contactkrachten met de te passeren schijven.

De eerste eis vraagt om een zo groot mogelijke vullingsgraad van de streng. Daar aan kan het beste worden voldaan met veel dunne draden. Dunne draden zijn echter wel gevoelig voor grote dwarsbelasting, slijtage en corrosie. Voor het laag houden van de buigstijfheid zijn dunne draden bijzonder gunstig, zoals uit het hoofdstuk II zal blijken.

Bij moderne kabels zijn de strengen in parallelslag geslagen. Die slagwijze vraagt niet alleen machines, die de streng in èèn bewerking kunnen maken, maar de draadmiddellijnen in een streng moeten ook goed op elkaar zijn afgestemd. Het is bij parallelconstructies onmogelijk om een streng op te bouwen uit draden met de zelfde middellijn. Is de verhouding van de draadmiddellijnen niet correct, dan is er kans, dat de draadlagen elkaar niet goed kunnen

-ondersteunen. De oorzaak i s een t e k o r t aan r u i m t e t u s s e n de draden i n een

l a a g . De voorwaarden waaraan het samenstel van draden moet voldoen om derge­

l i j k e problemen t e vermijden, worden in het hoofdstuk I I I aan de orde g e s t e l d .

B i j s t r e n g e n i n p a r a l l e l s l a g z i j n e r d r i e h o o f d c o n s t r u c t i e s , (zie f i g . 1 . 2 )

welke ieder min of meer een eigen toepassingsgebied hebben.

De meest r o b u s t e s t r e n g c o n s t r u c t i e i s de S e a l e - c o n s t r u c t i e . Daarbij liggen

acht of meer dunne draden om een strengkern. Daarop s t e u n t een laag van even­

veel draden, d i e veel dikker z i j n . De dikke buitendraden geven e x t r a weerstand

b i j s t e r k e uitwendige s l i j t a g e , of c o r r o s i e . B i j h e t t o e p a s s e n van k l e i n e

s c h i j f m i d d e l l i j n e n kan deze c o n s t r u c t i e n a d e l i g z i j n i.v.m. de wat hogere

buigspanning.

Een c o n s t r u c t i e met wat dunnere b u i t e n d r a d e n , d i e b e t e r bestand i s tegen

s t e r k e buigingen, i s de z . g . vuldraadcons t r u c t i e . Om de s t r e n g k e r n l i g t een

l a a g met v i j f of meer d r a d e n . Daarop s t e u n t een l a a g met twee maal zo veel

draden. De ruimten, die tussen de twee lagen over b l i j v e n , wordt door dunne

d r a d e n o p g e v u l d . Afgezien van de vuldraden i s e r v e e l minder v e r s c h i l in

draadmiddellijnen dan b i j de S e a l e - c o n s t r u c t i e . Een n a d e e l , d a t v o o r a l b i j

dunne k a b e l s een r o l s p e e l t , i s de soms extreem dunne vuldraden. Deze bezwij­

ken soms door de grote dwarsbelastingen of door c o r r o s i e , waar b i j de r e s ­

t e r e n d e s p l i n t e r s het buigmechanisme gaan verstoren. De combinatie van kleine

buitendraden en toch s l e c h t s twee draadlagen i s b i j het b u i g e n een v o o r d e e l .

D i t t y p e wordt daarom v e e l t o e g e p a s t , waar kabels nog moeten worden gehan­

t e e r d .

De d e r d e p a r a l l e l s l a g c o n s t r u c t i e i s de W a r r i n g t o n - S e a l e c o n s t r u c t i e . Ook

d a a r b i j z i j n v i j f of meer draden om een s t r e n g k e r n g e s l a g e n . Op d i e e e r s t e

l a a g s t e u n t een z . g . Warringtonlaag met twee maal zo v e e l draden, die afwis­

selend dik en dun z i j n .

Een d e r d e laag met evenveel draden als i n de vorige l a a g , dekt het geheel af.

De b u i t e n s t e l a a g i s net a l s b i j de S e a l e c o n s t r u c t i e van draden met g e l i j k e

d r a a d m i d d e l l i j n . Deze c o n s t r u c t i e i s een compromis tussen beide voorgaande

c o n s t r u c t i e s en heeft a l s enig nadeel d r i e draadlagen, waardoor de inwendige

wrijving i e t s g r o t e r kan z i j n .

4 . 2 . 3 . De s t a a l k a b e l .

Een s t a a l k a b e l i s opgebouwd u i t een of meer strenglagen, die schroeflijnvormig

om de kern z i j n geslagen. Dit samenslaan kan op twee wijzen gebeuren. De slag­

r i c h t i n g van de strengen kan tegengesteld z i j n aan de s l a g r i c h t i n g van de dra­

den i n de strengen. Dan i s er sprake van kabels in k r u i s s l a g (Zie f i g . 1 . 3 )

-De s l a g r i c h t i n g van de strengen kan ook g e l i j k z i j n aan de s l a g r i c h t i n g van de

draden. Deze slagwijze heet Lang-slag, a l zou A l b e r t - s l a g een passender bena­

ming z i j n , omdat l a a t s t genoemde deze s l a g w i j z e voor h e t e e r s t h e e f t

t o e g e p a s t . Beide s l a g l e n g t e n hebben i e d e r hun v o o r - en n a d e l e n . Zo i s de

k r u i s s l a g k a b e l vormvaster dan de Lang-slagkabel. De l a a t s t e l i c h t echter wat

langer aan i n de groef van de s c h i j f en ondervindt aan de b u i t e n z i j d e van de

k a b e l een n i e t t e verwaarlozen compensatie van de buigspanning, zoals in het

hoofdstuk IV z a l worden aangetoond.

I s e r s p r a k e van meer dan èèn l a a g strengen, dan z i j n d a a r b i j weer twee moge­

l i j k h e d e n . Beide s t r e n g l a g e n kunnen de z e l f d e s l a g r i c h t i n g hebben, of de

s l a g r i c h t i n g van beide lagen kan tegengesteld z i j n .

In h e t e e r s t e geval, d.w.z. b i j g e l i j k e s l a g r i c h t i n g van de s t r e n g e n , wordt

soms een p a r a l l e l s l a g van de strengen nagestreefd. Een voorbeeld daarvan i s de

z . g . Diepa-kabel. Secundaire buiging door het kruisen van strengen t r e e d t dan

n i e t meer op.

Bij tegengestelde s l a g r i c h t i n g van de strenglagen s p r e e k t men wel van d r a a i

-arme of d r a a i v r i j e c o n s t r u c t i e s . De tegengestelde s l a g r i c h t i n g heeft dan een

s p e c i a a l d o e l . Het i s d a a r b i j mogelijk om de torsiemomenten i n de k a b e l , die

uit de trekkracht op de kabel voortvloeien, beter met elkaar in evenwicht te krijgen. De kabel draait dan bij het belasten minder uit. Ook aan dit type kabels zal in hoofdstuk IV aandacht worden besteed.

Naast de verschillen in strengconstructies, aantal strenglagen en slagwij ze., zijn er ook nog verschillen in aantal strengen. Gezien de beperking tot kabels voor algemeen gebruik, valt de enkelstrengskabel buiten dit bestek. Kabels mét drie strengen, zoals ook Albert toepaste, worden tegenwoordig wel gebruikt als alternatief voor draaivrije constructies met de twee tegengesteld geslagen strenglagen.

Ook kabels met vier strengen vertonen, mits de slaglengten goed zijn gekozen, onder belasting weinig neiging tot uitdraaien. De beide typen hebben als nadeel, dat ze minder fraai op trommels of haspels lopen. Verder is het aantal contactpunten met de schijf nog al beperkt. Zoals in hoofdstuk V uiteen wordt gezet, kan daardoor de contactkracht aan de hoge kant zijn.

De meest voorkomende kabelconstructies hebben zes strengen om de kern. Omdat bij een toenemend aantal strengen het aantal contactpunten groter is, komen echter steeds meer achtstrengskabels voor. Tegenover het voordeel van het grotere aantal contactpunten staat echter het nadeel, dat de kans op verschil­ len in voorvorming wat groter is.

Kabels met negen strengen in èèn laag komen nog maar weinig voor. Bij grotere kabelmiddellijnen kan het grotere aantal strengen echter nodig zijn, om bij die middellijn een iets grotere kabellengte te kunnen vervaardigen. Door de dunnere streng kan er dan wat meer lengte op de spoelen in de machine.

Kabels met twaalf strengen in de buitenlaag komen veel voor als draaivrije kabels met twee strenglagen. Om de kern is dan eerst een laag van zes strengen geslagen en daar omheen komen dan twaalf strengen met tegengestelde slagrich­ ting.

5- Gewicht, sterkte en stijfheid van staalkabels.

Voorheen had elke kabelconstructie zijn eigen reductiefactor (c), waarmee de breekkracht (F») kon worden berekend met de formule:

A'Ro^r

F

°

=

--ÏÖ5Ö"

kN

' ^-D

als de minimum staaldoorsnede A in mm2 en de minimum treksterkte R0 in N/mm2 bekend waren.

Met het tot stand komen van de laatste ISO-normen zijn de vergelijkbare con­ structies in zeven typen bij elkaar gebracht. Elk type heeft een gezamenlijke massafactor K en een gezamenlijke breekkrachtfactor K', welke in NEN 3575 zijn vastgelegd. Daarmee kan voor elk type de massa van een kabel berekend worden met: 2 m = K«d Kg/100m. (1.2) I n d i e b e t r e k k i n g i s d de n o m i n a l e k a b e l m i d d e l l i j n i n mm. De b r e e k k r a c h t v o l g t u i t de b e t r e k k i n g : F =

_K::i;Ro_ ,

o 1000 (1-i}

Over de stijfheid van staalkabels is in de normen veel minder vastgelegd dan over de sterkte en over de afmetingen. In NEN 3575 wordt slechts vermeld, dat de rek van een kabel afhankelijk is van de belasting, de constructie en de slaglengte van de kabel.

-Verder wordt o n d e r s c h e i d gemaakt tussen blijvende verlenging, e l a s t i s c h e rek

en verlenging door s l i j t a g e . Op deze beperkte i n f o r m a t i e kan a l s a a n v u l l i n g

het volgende worden gezegd:

- Een nieuwe kabel z a l na een inloopperiode een z . g . b e g i n r e k of s t r u c t u r e l e

r e k v e r t o n e n , welke h e t gevolg i s van een proces, waarbij in de kabel een

h e r v e r d e l i n g van b e l a s t i n g p l a a t s v i n d t .

Draden d i e nog n i e t de j u i s t e l i g g i n g hadden en daardoor weinig deel hadden

aan h e t doorgeven van de b e l a s t i n g op t r e k , worden g e l e i d e l i j k meer b e l a s t .

Dit komt, omdat korte s t r a k liggende draden, die te zwaar b e l a s t waren, door

k l e i n e p l a s t i s c h e vervormingen een gunstiger p o s i t i e k r e g e n . De b e g i n r e k ,

d i e 0 , 2 5 t o t 1 % kan bedragen, i s de blijvende rek, die in de beginperiode

o p t r e e d t .

- Een a n d e r e vorm van blijvende rek i s de verlenging van k a b e l s , die optreedt

a l s gevolg van de inwendige s l i j t a g e en l a t e r van de optredende draadbreuken.

Dat d e e l van de b l i j v e n d e v e r l e n g i n g i s u i t e r a a r d afhankelijk van de con­

s t r u c t i e , maar ook zeer s t e r k van het gebruik. Algemene r i c h t w a a r d e n van d a t

type blijvende rek z i j n dan ook n i e t beschikbaar.

- De e l a s t i s c h e r e k van s t a a l k a b e l s i n h e t normale werkgebied kan worden

benaderd met de betrekking:

'T'

T

(1.4)

Hierin i s E een r e k c i j f e r , dat ook wel met k a b e l - e l a s t i c i t e i t s m o d u l u s wordt

aangeduid, maar welke i n f e i t e n a u w e l i j k s h e t k a r a k t e r van een modulus

h e e f t . Het g e t a l i s u i t s l u i t e n d geschikt om er de e l a s t i s c h e verlenging van

de kabel mee t e berekenen. Voor het berekenen van spanningen i s d i e modulus

ongeschikt, omdat b i j de verlenging n i e t a l l e e n m a t e r i a a l r e k een r o l s p e e l t ,

maar ook de verandering van de geometrie. Voor enkele k a b e l s i s i n de v o l ­

gende t a b e l de k a b e l e l a s t i c i t e i t weer gegeven.

Kabeltype

7x7

6xl9S + twk. 6*19S + stk. 6*21SV + twk 6*26WS + stk 6*42WS + stk 8*26WS + stk Waarde van E, N/mm2 1,25*105 0,85*105 1,10*105 1,10*105 1,05*105 1,05*10= 0,85*105

De b i j de b l i j v e n d e r e k vermelde s l i j t a g e en d r a a d b r e u k e n t i j d e n s het

gebruik wijzen reeds op een e i n d i g e g e b r u i k s d u u r van een s t a a l k a b e l . De

b r e e k s t e r k t e van de kabel i s dan ook n i e t de grens t o t waar de kabel tijdens

h e t gebruik kan worden b e l a s t . Waar d i e g r e n s wel l i g t en welke r o l de

l e v e n s d u u r en de g e b r u i k s d u u r d a a r b i j s p e l e n z a l i n hoofdstuk VI worden

u i t e e n g e z e t .

-HOOFDSTUK II

GEOMETRIE VAN DE GEBOGEN SCHROEFLIJN.

1. Inleiding.

De kwantitatieve effecten van veranderingen in de kabelgeometrie bij het buigen over schijven, welke het doel zijn van de theoretische beschouwingen in dit hoofdstuk, vergen een mathematische beschrijving van de kabel. De eisen, die aan zulk een model moeten worden gesteld, dienen te zijn afgestemd op het gestelde doel.

Het eenvoudige model van de rechte schroeflijn, welke de grondvorm is van het kabel-fabricageproces en wellicht om die reden door vele auteurs -waaronder Wijss [2]- gebruikt is voor het berekenen van kromtestralen aan draden en strengen, blijkt van nature ongeschikt voor het bestuderen van krommingsver­ anderingen. De kromtestraal en de daarmee samenhangende kromming van de rechte schroeflijn hebben immers constante waarden.

De meer recente modellen van Stein en Bert [3]. Peatzel [4] en Karamchetty [5] hebben het nadeel, dat periodieke variaties van de slaghoeken geheel of ten-dele buiten beschouwing blijven. Mathematisch komt dit tot uiting bij het differentiëren van de parametervergelijkingen, waarbij slechts naar de rota­ tie <t> van de streng om de kabelas wordt gedifferentieerd. De rotatie <t> , van

de draad om de strengas wordt bij genoemde modellen als een constante verhou­ ding aangegeven.

De kritiek op genoemde modellen vloeit voort uit de resultaten van theoretisch en experimenteel onderzoek naar gebogen staalkabels aan de T.H.Delft, waarover voor het eerst in 1973 [6] en na verder gaande onderzoeken ook later is gepu­ bliceerd. [7], [8],[9].

Bij genoemde onderzoekingen is uit het kabelproductieproces een geometrisch model van de gebogen schroeflijn ontwikkeld. Die ontwikkeling zal hier op de voet worden gevolgd.

Het toepassen van de rechte en de gebogen schroeflijnmodellen op strengen en draden van gebogen kabels zal leiden tot het berekenen van krommingsveran­ deringen in strengen en draden.

De beschouwingen zullen niet beperkt blijven tot de z.g. "eerste krommingen", welke in eerste instantie aan buiging zijn gerelateerd. Ook de in de geometrie als "tweede krommingen" bekend staande limiet, die relaties heeft met de wringing, zal in de beschouwingen worden opgenomen.

De op bovengenoemde wijze verkregen vormveranderingen representeren slechts de invloed van de vorm van de kabelas op de strengassen en op de draadassen. Genoemde vormveranderingen zullen omkeerbaar en reproduceerbaar worden veron­ dersteld. Aan de physische hoedanigheden van de kabel, de streng en de draad zal in eerste aanleg worden voorbij gegaan; evenals aan de physische of ener­ getische overgangsverschijnselen, die zullen optreden bij het overgaan van de rechte kabel in de cirkelvormig gebogen toestand.

In hoeverre de zo berekende theoretische vervormingen kunnen worden gereali­ seerd en wat daarvan de gevolgen zijn, indien de physische eigenschappen van de draden en strengen wel in aanmerking worden genomen, zal in een afzonder­ lijke paragraaf aan de orde worden gesteld.

De hiervoor geschetste aanpak wijkt af van, wat tot op heden in de kabel­ literatuur gebruikelijk was. De informatie uit de geometrische modellen sluit echter zo goed aan bij experimenteel gevonden vervormingen, dat een dergelijke methodiek de mogelijkheden voor een minder fragmentarische theorie over staalkabels lijkt te bieden.

Een beperking tot kabels opgebouwd uit ronde draden en strengen in paral­ lelslag vindt zijn oorzaak in het parallel lopen van de draden, waardoor het schroeflijnvormige verloop niet of nauwelijks door draadkruisingen wordt verstoord. Essentieel voor het geometrische model is die beperking echter niet.

z

P1P2=A s

Fig. 2.1 De component F van de trekkracht.

2. De staalkabel als systeem.

Het afwijken van gebaande wegen bij een in geometrisch opzicht zo gecompli­ ceerd werktuigonderdeel als een staalkabel vergt extra zorgvuldigheid t.a.v. de volgorde bij het opbouwen van het model. Om die reden zal de kabel als een systeem worden beschouwd.

De strengen zijn subsystemen, die uit componenten, de draden, zijn opgebouwd. Die systematische benadering is hier vooral van betekenis, omdat daarmee de systeemhiërarchie binnen de kabel aan de orde wordt gesteld. De doelmatigheid van een dergelijke ordening kan aan de hand van de volgende overwegingen wor­ den toegelicht:

- Het onderscheiden van een kabelsysteem, waarin de strengen als subsystemen participeren en de strengen uit componenten.de draden, zijn opgebouwd, komt goed overeen met de physische werkelijkheid. De gegroepeerde draden vormen een entiteit, de streng. Dat subsysteem van de kabel wordt daadwerkelijk in stand gehouden d.m.v. de naar het hart van de streng gerichte krachtscom­ ponenten van de trekkrachten in de draden. (Zie fig. 2.1.) De strengen worden op hun beurt gegroepeerd tot een entiteit, de kabel. Ook het kabel­ systeem wordt door componenten van de strengkrachten in stand gehouden.

- De draden kunnen zich binnen hun streng als individuele componenten gedra­ gen, maar zij zijn daarbij wel gebonden aan de randvoorwaarden, die hun door de vorm en de vormverandering van de streng met zijn grotere stijfheid wor­ den opgelegd. De vorm van de streng wordt op zijn beurt weer mede bepaald door de vorm van de verzameling van strengen, de kabel. Deze moet zich tenslotte weer aanpassen aan de vorm van schijven, rollen, of trommels, die als systeemgrenzen fungeren.

Anders gezegd:

Een draad wordt vanuit de kabel slechts in zijn ligging beïnvloed door, wat de streng op die draden kan overbrengen, van hetgeen hem door de vorm van de kabel is opgelegd.

-- Binnen de onderscheiden verzamelingen geldt uiteraard, dat de sommen van de inwendige krachten en van de inwendige momenten binnen een deelverzameling in evenwicht moeten zijn met de op die deelverzameling werkende uitwendige krachten en momenten. Zo worden de evenwichtsvoorwaarden en de vormveran-deringsvoorwaarden binnen de subsystemen eerst goed zichtbaar.

- Het onderscheiden van een kabelsysteem met subsystemen en componenten veron­ derstelt, dat bij het beschouwen van vervormingen binnen het systeem steeds de systeemhierarchie in acht wordt genomen. Daarmee wordt voorkomen, dat relaties worden gelegd tussen componenten uit verschillende subsystemen, dan wel tussen een component uit een subsysteem en het kabelsysteem of de sys­

teemgrenzen van de kabel, die met een grote mate van waarschijnlijkheid strijdig zijn met de mogelijkheden van de componenten binnen hun systeem.

Een voorbeeld van genegeerde systeemhiërarchie is de opvatting, dat een draad aan het oppervlak van een kruisslagkabel de kromming van de schijf zou aannemen, omdat die draad daar in de richting van de kabelas ligt. Bij die gevolgtrekking zijn de stappen van de draad naar de streng en van de streng naar de kabel overgeslagen. Daardoor is buiten beschouwing gebleven, dat de richting van veel andere draden in de streng niet met de kabelas overeenko­ men en dat de vorm en de richting van de streng daardoor de veronderstelde kromming van de betreffende draad niet zal toelaten.

3. Het geometrische model en het kabelsysteem.

Voor het bepalen van de kwantitatieve effecten van de veranderingen in de kabelgeometrie is het van belang, dat de hartlijn van de strengen in een cirkelvormig gebogen kabel en de hartlijn van een draad in een enkelvoudig gebogen streng door het zelfde type ruimtekromme kunnen worden voorgesteld. Die ruimtekromme welke in het vervolg als de "gebogen schroeflijn" wordt aan­ geduid, kan met parameter-vergelijkingen worden beschreven.

Bij het werken met een model, dat op zichzelf slechts componenten van een sys­ teemniveau beschrijft, maar dat in meerdere niveau's kan worden toegepast, is het onderkennen van de systeemhiërarchie noodzakelijk. Om het werken met het model van de gebogen schroeflijn op verschillende niveau's tot zijn recht te laten komen, wordt voorafgaand aan de gedetailleerde modelbeschrijving een schematisch overzicht van de verschillende modelsituaties gegeven in fig. 2.2. Uit het overzicht blijkt, dat voor het kabelsysteem de asvorm van de streng in het model geheel overeenkomt met de realiteit.

Toegepast op het strengsubsysteem heeft de vorm van de draadas in het model slechts lokaal overeenkomst met de realiteit. Dit is het gevolg van de enkel­ voudige kromming van de schroeflijnas in het model. De strengas heeft in werkelijkheid nog een tweede kromming of wel torsie. De mate van de torsie, die aan de streng wordt toegevoegd, kan echter met behulp van de tweede krom­ ming uit het model van het kabelsysteem worden bepaald.

Physisch kan het werken met het model op het niveau van de streng worden voor­ gesteld door het afrollen over de streng van een onronde schijf met een omtrek gelijk aan de slaglengte van de kabel en waarbij de schijf roteert om de strengas met een hoeksnelheid gelijk aan de plaatselijke tweede kromming van de streng om de strengas. De straal van de schijf krijgt daarbij de momentane waarde van de kromtestraal van de streng.

Worden de strengen en draden van gebogen kabels met behulp van het model van de gebogen schroeflijn beschreven, dan kan in tegenstelling tot de modellen van andere kabelonderzoekers aandacht worden besteed aan het effect van kleine wijzigingen van de slaghoek om zijn nominale waarde. Geometrisch gaan zulke kleine slaghoekveranderingen gepaard met veranderingen van de eerste kromming ( K ) . Uit krommingsveranderingen op een zelfde punt van de gebogen draadas kan m.b.v. de elementaire sterkteleer de dan heersende zuivere buigspanning op eenvoudige wijze worden berekend.

Figuur a, .2.. overzicht van de modelsituaties.

niveau: kabelsysteem.

Uorro van; de assen in het systeem.

Rechte kabel.

kabel-as: recht

kabel-kern: recht

streng: rechte schroeflijn

Gebogen kabel.

ei rkelboog

ei rkelboog

gebogen schroeflijn

De vorm van het manteloppervlak van:

-de kabel is een eirkelcylinder om de kabelas.

-een streng is een cirkelcylinder om de strengas \ 9 \ .

Ni veau: subsysteem-streng.

Uorm van: de assen in het subsysteem.

Rechte kabel.

Strengas: Rechte schroeflijn (constante krommingen)

Gebogen kabel.

Gebogen schroeflijn. (variabele krommingen)

draadas: Gebogen schroeflijn om constante kromtestraal van de streng.

Gebogen schroeflijn om de variabele kromtestraal, die bij het betreffende punt van de strengas hoort

De Vorm van het manteloppervlak van:

- de draden is een eirkelcylinder om d e draadas.

Correcties op de draadassen.

Rechte kabel.

De constante tweede kromming van de streng heeft invloed op de slaghoek van de draden

in de strengen na het slaan van de kabel.

Gebogen kabel.

De variabele tweede kromming van de streng heeft invloed op de ligging van de draad

in de streng na het buigen.

De correcties houden verband met de beschouwingswijze in het m o d e l , waar de kromming in één vlak ligt, terwijl in werkelijkheid steeds

twee krommingen loodrecht opelkaar werken.

-De physische interpretatie van de variaties van de slaghoek rond zijn nominale waarde leidt tot een beter inzicht in het mechanisme, dat voor een relatief lage buigstijfheid van staalkabels zorgt. Zoals in figuur 2.3 is weergegeven, neemt bij het buigen de slaghoek boven op de kabel af. Daarmee wordt tegemoet gekomen aan de grotere lengte van de omspannen boog (sb), zonder dat het materiaal door extra trekkracht in de streng behoeft te worden opgerekt. Op de bodem van de schijf groef neemt de slaghoek toe, waardoor de kleinere lengte van de omspannen boog (so) kan worden bewerkstelligd, zonder dat de trekkracht in de streng behoeft af te nemen. De bij dat proces behorende krommingsveran­ deringen veroorzaken uiteraard buigende momenten.

Fig. 2.3 Variatie van de slaghoek bij de gebogen schroeflijn.

4. Algemene beschrijving van het kabelsysteem.

Het kabelsysteem is opgebouwd uit subsystemen, waarbij onderscheid gemaakt moet worden tussen het subsysteem "kern" en de daar omheen gerangschikte strengen.

De vorm van de kern, die op zichzelf weer uit een kabel kan bestaan, wordt op dit systeemniveau gerepresenteerd door een cirkelcylinder om de kabelas. Als straal van die cylinder kan de straal van de omgeschreven cirkel om een lood­ rechte doorsnede van de kern worden genomen. Het is echter mogelijk, dat die straal wordt gecorrigeerd (d.w.z. verkleind) in verband met kleine plastische vervormingen van de draden in de kern, die bij het fabricageproces ontstaan. Op dergelijke wijze kan ook rekening worden gehouden met slijtage van de kern en met het in elkaar passen van buitendraden uit de kern en uit een streng.

Fig. 2. k Het in elkaar grijpen van draden uit de

strengen en de staalkern.

De vorm van de strengen wordt eveneens beschreven door een cirkelcylinder. De as van deze cylinder is echter schroeflijnvormig gewonden om de kabelas. De straal van de aldus voorgestelde streng kan weer gelijk genomen worden aan die van de omgeschreven cirkel van een loodrechte strengdoorsnede. Ook hier kan enige correctie of aanpassing van die straal nodig zijn. De windingsstraal van de streng kan bij kabels met een enkele laag van strengen en bij kabels in meer lagen maar zonder het parallelslag principe uiteraard door sommatie van de eerder genoemde cirkelstralen worden bepaald. Voor die gevallen waarbij het

om kabels gaat met meer strenglagen, die in parallelslag zijn geslagen {zoals

de z.g. Diepa-kabels) , dient voor het bepalen van de windingsstraal het z.g. "tweede raakprobleem" te worden opgelost.[10]

Omdat hier de physische eigenschappen van het subsysteem nog buiten beschouw­ ing blijven, zijn het voornamelijk de vorm en de vormveranderingen van de as van het subsysteem, die hier nader moeten worden onderzocht.

Uit deze beschrijving blijkt, dat strikt genomen de vorm van de kabelas bekend moet zijn. Die as dient immers als uitgangspunt voor het beschrijven van zowel de kern als van de strengen.

Wordt de as van de kabel echter beschouwd als de omhullende van een verzamel­ ing kromtestralen, dan kan de kabel in een willekeurig punt worden beschouwd, te zijn gebogen over een cirkelboog met een straal gelijk aan de daar geldende kromtestraal van de kabel. De strengassen zijn op die plaats te beschouwen als gebogen schroeflijnen.

Bij kabels, die niet of nauwelijks door hun eigengewicht en/of door plaatse­ lijke dwarsbelasting doorbuigen, noch door een schijf of rol worden omgeleid, zal de kromtestraal onbepaald groot zijn. De samenvallende kern- en kabelas zijn dan recht, terwijl de strengassen rechte schroeflijnen beschrijven.

4.1 Het model van de rechte schroeflijn.

De vorm van de strengassen in een rechte kabel wordt in feite bepaald door het fabricageproces. De axiale snelheid van de kabel in het "slot" van de kableer-machine (v,k) in relatie tot de rotatiesnelheid van de kableerkableer-machine (w.k) zorgen door de constante verhouding van genoemde snelheden voor de rechte schroeflijnvorm van de strengassen. De "slaghoek", d.w.z. de hoek tussen de kabelas en de strengassen, wordt rechtstreeks bepaald door de genoemde snelheidsverhouding. In figuur 2.5 is aangegeven hoe de slaghoek op eenvoudige wijze uit een ontwikkeling van de schroeflijnas kan worden bepaald.

Fig.2.5 Het bepalen van de slaglengte en de slaghoek a.

r.

01 -P

c

ai 0

w

j—J*

2TT*W

- 22 ~

Wordt de oorsprong van een rechtsdraaiend a s s e n s t e l s e l op de r e c h t e k a b e l a s

gekozen, w a a r b i j de kabelas samenvalt met de Z-as (X = 0, Y = 0 ) , dan kan de

s t r e n g a s op de gebruikelijke wijze i n v e c t o r n o t a t i e worden b e s c h r e v e n . (Zie

figuur 2 . 6 . )

r = W*cos(<t>) •i+W*sin($)

#

j+W*<l>

,

cotg(a) *k.

(2.1)

Hierin stelt W de windingsstraal van de strengas voor, terwijl <t> de rotatie-hoek t.o.v. de X-as is.

De schroeflijn kan uiteraard pok in het volgende bekende stelsel parameter­ vergelijkingen worden uitgedrukt:

W#cos(<t>); y = W»sin(<fr); z = W,<t»*cotg(a) (2.2)

Fig. 2.6 De s t r e n g a s van een rechte kabel a l s r e c h t e s c h r o e f l i j n .

Worden de e e n h e i d s v e c t o r e n van de t a n g e n t , de hoofdnormaal en de binormaal

aangeduid met r e s p e c t i e v e l i j k t , n en b , dan l u i d e n de formules van F r e n e t

-S e r r e t a l s v o l g t :

d t ds

db

"ds" "

1 P = - T n (2.3) (2.4)

dn

'di"

= T b - -± -P

(2.5)

Met t = dr "ds" dr "d«" "ds" "d*~ en met d S

= I -3S- I

v o l

S t

u i

t (2.3)

dd>

d<D

dt "ds" | = | |*|n|, waarbij |n| = 1 2

De kromming | | is derhalve | --3— | ofwel: ü

Voor de kromtestraal p kan dan ook worden geschreven:

I I W

sin (a)

Omdat verder geldt dat: b = t x n

wordt de eenheidsbinominaalvector b: -sin(a)sin(<l>) -cos(<l>) j k sin(a)cos(<t>) cos(a) -sin(<l>) 0 (2.6)

(2.7)

+cos(a) •sin(<t>) »i -cos(a) »cos(<l>) • j +sin(a)*k

Uit de betrekkingen (2.4) en (2.8) volgt dan voor de tweede kromming:

_§ïDi

a

ll

cos

(9)

(2.8)

(2.9)

4.2 De cirkelvormig gebogen kabel.

Ligt een kabel volledig aan over een deel van een schijf, of is over een deel van de kabellengte de kromtestraal van de kabelas vrijwel constant, dan be­ schrijven de kabelas en de samenvallende kernas cirkelbogen. De strengassen beschrijven dan ruimtekrommen, die niet meer met de hiervoor genoemde mathe­ matische uitdrukkingen van de rechte schroeflijn kunnen worden beschreven. In de eerder genoemde modellen van Karamchetti e.a. worden voor de ruimtekrom­ men van dergelijke gebogen schroef lijnen parametervergelijkingen afgeleid. Daarbij wordt bij voorbaat aangenomen, dat een of meer karakteristieke eigenschappen van de rechte schroeflijn ook voor de gebogen schroeflijn gelden. Met name de slaghoeken van de strengen en/of van de draden worden ten onrechte a priori als constant aangenomen.

In deze paragraaf zal een mathematische formulering voor de vigerende ruimte­ krommen worden ontwikkeld, waarbij de slaghoeken niet constant gehouden worden. De basis voor die modelvorming wordt evenals bij de rechte kabel gevormd door de eenparige rotatiesnelheid om de schroefas co, en de eenparige axiale-snelheid v uit het kabelproductieproces.

-z

Fig. 2.7 Kinematisch analogon van de gebogen schroeflijn.

De axiale snelheid kan daarbij worden uitgedrukt als een eenparige hoeksnel-heid om de schijfas. Beide hoeksnelheden leiden naar een kinematisch analogon, dat eerder in een publicatie van Woernle [11] is genoemd, maar daar niet ver­ der is uitgewerkt.

Wordt op een cirkelvormig gebogen cylinder (fig. 2.7) met een windingsstraal R = D/2 en een cylinder-middellijn 2W een punt Q beschouwd, dat onderhevig is aan bovengenoemde rotatie-snelheden w, en tu , dan kan de snelheid van het punt

ri S worden gevonden uit de twee componenten v en v

_ w r

De component v , die afkomstig is van de rotatiesnelheid co, , heeft de

con-W K

stante waarde v = W#co, .

_w k

De component v is echter afhankelijk van de momentane afstand van het punt Q tot de schijfas OX. Wordt die afstand aangeduid met AQ, dan geldt:

AQ = R+W»sin(ü>k»t).

v = v, + W*sin{ü). 't^co .

r k v k s

Met co = 2*v,/D gaat die betrekking over in:

s K

— — — W

v = v, + v. •2«---«sin(ü) *t). r k k D

Komt de afstand AQ overeen met R, dan is co »t gelijk aan k»n (k behoort tot de verzameling van natuurlijke getallen) en zal gelden dat v = v, . Vertaald naar het kabelsysteem betekent dit, dat t.o.v. de rechte kabel de strengen op de steekcirkel van de gebogen kabel niet van richting behoeven te veranderen. De snelheid v van het punt_Q heejft uiteraard de richting van de tangent aan de baan. De hoek a' tussen v en v, is slechts op de steekcirkel van de gebogen kabel gelijk aan de constante_slaghoek a bij de £echte kabel..

Is AQ groter dan R, dan zal v toenemen. Omdat v constant blijft,zal de hoek a' afnemen tot een minimum als de hoek <t> , die gelijk is aan co, «t, de waarde n/2 heeft.

Neemt <!> toe van n/2 tot n radialen, dan groeit de hoek a' weer aan tot de slaghoek a van de rechte kabel; om bij waarden van <t> tussen n en 3/2 n toe te nemen tot het maximum van de hoek a'.

Op eenvoudige wijze kan worden aangetoond, dat bij het analogon de door Q af­ gelegde weg buiten de as van de gebogen cylinder (sbu) gelijk is aan de afgelegde weg binnen die as (sbi) . Beide lengten komen bovendien overeen met de weg (s), die over een halve schroefgang van een vergelijkbare rechte

schroeflijn wordt afgelegd. Omdat ds = vdt, geldt bij het analogon:

— — W

ds = (vw + vk»(l+2«-g-»sin(ü)k't)))dt.

terwijl voor de rechte schroeflijn geldt: ds = (v + v, )dt. w K

Bij integratie over co, »t van nul tot n en van TT tot 2n levert de term W

2*---»sin(co »t) juist nul op, zodat s = sbu = sbi. Bij het analogon past de slaghoek a' zich kennelijk aan, aan de variabele booglengte in het vlak van de gebogen cylinderas, waarbij de afgelegde weg toch gelijk blijft aan de af­ gelegde weg bij een rechte schroeflijn.

Ontwikkelt het hart van een streng zich bij het buigen van de kabel volgens de baan van het hiervoor beschreven analogon, dan zal ook daar de slaghoek variëren. De strenglengte boven op de kabel zal daarbij gelijk blijven aan de strenglengte "in de bodem van de groef". Noemenswaardige verplaatsingen van de strengen in hun axiale richting of relatieve lengteveranderingen van de stren­ gen zijn onder die omstandigheden dan ook geen noodzakelijke voorwaarden voor het buigen van staalkabels. De slaghoekveranderingen gaan echter wel gepaard met krommingsveranderingen van de strengassen. Voor een nader onderzoek van die krommingsveranderingen wordt nu eerst de bij het analogon beschreven baan in de volgende vectornotatie omgezet.De betekenis van de bij die notatie gebruikte symbolen is in figuur 2.8 weergegeven.

-F i g . 2 . 8 Symbolen voor v e c t o r n o t a t i e en

p a r a m e t e r v e r g e l i j k i n g e n van de

gebogen s c h r o e f l i j n .

F i g . 2.9 De e e r s t e kromming K van de_kab.el.

1 7 0 .

d - 26 mm h" 169 mm D / d - 2 5