dlax = 1 { f ( x )= x + 1 dlax ≠ 13

Wykład

Ciągłość funkcji

Uwaga! Ciągłość funkcji jest cechą, którą badamy tylko w punktach należących do jej dziedziny.

Definicja 15

Niech f : D→Y _oraz ^x0∈D

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli

∀ ε>0 ∃δ>0 ∀ x : |x −x

₀

|< δ⇒|f ( x )−g|<ε

Definicja przypomina bardzo definicję Cauchy’ego granicy. Spróbuj dokonać porównania i wyszukaj różnice. O czym one informują, jakie mają znaczenie ?

Definicja 16

Funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0, jeżeli

x → xlim₀f ( x )= f ( x₀)

Można wykazać równoważność tych definicji.

Definicja 16 jest wygodna do badania, będziemy ją wykorzystywać w praktyce.

Przykład 1

Naszkicuj wykres funkcji

f (x )= { x+1 dla x≠1 3 dla x=1

Czy funkcja jest ciągła w punkcie x=1 ? Spróbuj zastosować definicję 16, poszukując odpowiedzi na to pytanie.

Y

X 1

Iloraz f ( x )

g (x ) jest funkcją ciągłą w x0,o ile ^{g( x0)≠0} . Definicja 17

Funkcję nazywamy ciągłą w przedziale otwartym (a,b), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.

Ciągłość w przedziale domkniętym zdefiniujemy nieco później.

Twierdzenie 12

Złożenie funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

Twierdzenie 13

Funkcja odwrotna względem funkcji ciągłej i monotonicznej jest funkcją ciągłą i monotoniczną.

Ciągłość funkcji elementarnych

Na podstawie twierdzenia 1 można natychmiast uzasadnić ciągłość następujących klas funkcji elementarnych we wszystkich punktach ich naturalnych dziedzin:

 wielomianów

 funkcji wymiernych

Można także pokazać, że ciągłą jest

 funkcja wykładnicza

A zatem na podstawie twierdzenia 3 jest ciągła także

 funkcja logarytmiczna

Ciągłe są też w swoich naturalnych dziedzinach

 funkcje trygonometryczne więc w konsekwencji także

 funkcje cyklometryczne.

Ciągłość jednostronna Definicja 17

Funkcję f nazywamy lewostronnie ciągłą w punkcie x0, jeżeli

x → xlim

0−

f ( x )= f ( x₀)

Analogicznie definiujemy ciągłość prawostronną.

Wniosek

Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie x0, to jest także lewo– i prawostronnie ciągła w tym punkcie.

Definicja 18

Funkcję f nazywamy ciągłą w przedziale domkniętym <a,b>, jeżeli jest ciągła w przedziale otwartym (a, b), prawostronnie ciągła w punkcie a oraz lewostronnie ciągła w punkcie b.

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenie 14

Funkcja ciągła i dodatnia w punkcie x0 jest dodatnia w pewnym otoczeniu tego punktu.

Uwaga: Twierdzenie pozostaje prawdziwe, jeżeli słowo „dodatnia” zastąpimy słowem

„ujemna”.

Przykład 2

Zbadać ciągłość funkcji:

{

^{xx22−3 x+ 2−5 x + 4} dla x≠1 i x ≠4 1

3 dla x =1 lub x=4 1. Badamy ciągłość w punkcie x=1.

lim

x →1

x

²

−3 x +2

x

²

−5 x+ 4 = [ ^{0 0} ] ^=lim

x →1

( x−1 ) ( x−2 )

( x−1 ) ( x−4 ) ^{= lim}

x →1

( x−2 ) ( x−4 ) ⁼

1−2 1−4 = 1

3

Wartość funkcji dla x=1 odczytujemy bezpośrednio z jej przepisu, nie da się jej obliczyć z wzoru, ponieważ niemożliwe jest dzielenie przez zero.

f (1)=1 3=lim

x →1

f (x )

Zatem funkcja jest ciągła w punkcie x=1 2. Badamy ciągłość w punkcie x=4

lim

x →4

x

²

−3 x +2

x

²

−5 x+ 4 = [ ^{2 0} ]

W tej sytuacji musimy znać znak mianownika, aby określić granicę. W mianowniku jest funkcja kwadratowa, która dla x=4 przybiera wartość zero. Narysuj uproszczony wykres funkcji, która jest w mianowniku, aby zbadać jej znaki w prawym i lewym sąsiedztwie punktu 4.

lim

x → 4⁺

x

²

−3 x +2

x

²

−5 x+ 4 = [ ^{0 2}

⁺

] ^{=+ ∞}

lim

x → 4⁻

x

²

−3 x +2

x

²

−5 x+ 4 = [ ^{0 2}

⁻

] ^=−∞

Zatem granica badanej funkcji w punkcie x=4 nie istnieje, więc funkcja nie może być w tym punkcie ciągła.

Zbadana została ciągłość w dwóch , wprawdzie szczególnych, ale tylko dwóch punktach, a co z pozostałą (nieskończoną) ilością punktów?

Poza punktami x=1 i x=4 funkcja ta stanowi przykład funkcji wymiernej,

zaś zbiór

(−∞ ;1)∪(1 ;4 )∪(4 ;+∞ )

jest jej naturalną dziedziną, toteż wobec wniosku wynikającego z twierdzenia 11 funkcja jest ciągła w tym zbiorze.

Twierdzenie 5. Weierstrassa

Zatem jeżeli

f : <a , b>→Y

_ciągła,

to

∃ x

₁

, x

₂

∈¿ a , b>: f ( x

₁

)=m i f ( x

₂

)=M

i m≤ f ( x )≤ M dla x ∈¿a , b>¿

¿

Twierdzenie 6 o wartości średniej

Niech funkcja f(x) będzie określona i ciągła w pewnym przedziale χ ( domkniętym lub nie, skończonym lub nieskończonym). Jeżeli w dwóch punktach x=a i x=b (a<b) tego przedziału funkcja przyjmuje różne wartości f(a)=A i f(b)=B to dla dowolnej liczby C leżącej pomiędzy A i B, istnieje taki punkt x=c pomiędzy a i b, że f(c)=C.

Przykład 3

Wykaż, że funkcja f ( x )=x⁶+17 x⁴+3 x−5 ma miejsce zerowe w przedziale (0,1)

Wystarczy zbadać znaki wartości funkcji na brzegach przedziału, jeśli są przeciwne, to pomiędzy nimi musi się znaleźć miejsce zerowe.

f (0)=0⁶+17⋅0⁴+3⋅0−5=−5 f (1 )=1⁶+17⋅1⁴+3⋅1−5=16

Funkcja wielomianowa jest ciągła w R , zatem gdzieś pomiędzy punktami 0 i 1 musi istnieć punkt, w którym funkcja osiąga wartość 0.

opracowanie dr E. Badach na podstawie: Fichtencholz G.M. Rachunek różniczkowy i całkowyPWN Warszawa 1985