DYNAMIKA MASZYNY SYNCHRONICZNEJ
Równania wyjściowe stojana (3-fazowe) i wirnika są identyczne jak w maszynie cylindrycznej:
dt d [ ] [i]
[R]
[u]
dt i d
R
u
f f f
f
Jeśli uwzględnimy istnienie klatki rozruchowo-tłumiącej (lub chcemy uwzględnić działanie tłumiące nieblachowanego rdzenia wirnika) to do powyższych równań należy dopisać równania klatki jako sprowadzone do dwufazowego uzwojenie umieszczone w osiach d i q, przy czym są to uzwojenia zwarte (napięcie zasilające jest równe 0) Umiejscowienie osi dq w maszynie jawnobiegunowej jest wyznaczone w sposób naturalny poprzez wymuszenie strumienia magnesującego (wytworzonego przez prąd wzbudzenia) w osi podłużnej d, pod kątem prostym do tej osi występuje oś poprzeczna q:
dt i d
R
D D
D0
dt
i d
R
Q Q
Q
0
Poszczególne strumienie sprowadza się zwykle do iloczynu indukcyjności własnych obwodu oraz indukcyjności wzajemnych i odpowiadających im składników prądów istniejących w modelu.
Strumień skojarzony z uzwojeniem stojana ma takie same składniki jak w maszynie cylindrycznej. Z uwagi na fakt, iż grubość szczeliny powietrznej o osi d jest mniejsza niż w osi q należy zaznaczyć, że indukcyjność własna każdego z uzwojeń stojana jest zależna od kąta obrotu wirnika. Przy ustawieniu wirnika tak, aby oś d pokrywała się z uzwojeniem A indukcyjność własna tego uzwojenia jest wówczas maksymalna. Jeśli pokrywają się oś q i oś fazy A – indukcyjność tego obwodu jest najmniejsza.
Zależność indukcyjności własnej można przedstawić w postaci szeregu:
...
4 cos 2
cos
42
0
L
m m m L
APrzy czym z dużą dokładnością można ograniczyć się do:
m 0 m 2 cos 2 L
L A s
Podobnie wygląda przebieg zależności indukcyjności wzajemnych w obrębie stojana:
) 30 (
2
2
cos
0
m m
M
ABPrzy czym możemy rozdzielić indukcyjności własne na część związaną ze strumieniem rozproszenia i część związaną ze strumieniem w szczelinie powietrznej, wówczas możemy
oznaczyć podobnie jak w maszynie cylindrycznej:
([ L ] [ M ss ]) i [ M sf ] i f [ M sD ] i D [ M sQ ] i Q
:
Macierz indukcyjności związanych ze strumieniem rozproszenia uzwojeń stojana jest diagonalna:
1 0 0
0 1 0
0 0 1 ]
[ L
sL
s
Indukcyjności własne wzajemne pomiędzy uzwojeniami stojana są maszynie jawnobiegunowej funkcjami kąta :
) 120 2
( 2
2 cos )
240 2
2 cos(
2 2 cos
) 240 2
cos(
) 120 2
2 cos(
) 240 2
2 cos(
) 120 2
2 cos(
2 cos ]
[
2 0 2
0 2
0
2 0 2
0 2
0
2 0 2
0 2
0
m m m m
m m
m m m
m m m
m m m m
m m Mss
Indukcyjności wzajemne stojan-wirnik są także funkcjami kąta :
) 240
cos(
) 120
cos(
cos ]
[
f
sf
L
M
) 240
cos(
) 120
cos(
cos ]
[
D
sD
L
M
) 240
sin(
) 120
sin(
sin ]
[
Q
sQ
L
M
W przypadku maszyn synchronicznych, szczególnie jawnobiegunowej, warto dokonywać transformacji od razu z układu trójfazowego do układu dwufazowego wirującego z prędkością
wirowania wirnika. Jest to równoznaczne z zastosowaniem transformacji w postaci:
2 1 2
1 2
1 2
3 2
0 3
2 1 2
1 1
1 0
0
0 cos
sin
0 sin
cos 3
2
P
2 1 2
1 2
1
) 240 sin(
) 120 sin(
sin
) 240 cos(
) 120 cos(
cos 3
2
P
Po przekształceniu tych macierzy do układu współrzędnych dq otrzymamy:
s q
d
L L
L M
0 0
0 0
0 0
] [
gdzie:
) 2 (
3
2
0
m
m l
L
d
s
) 2 (
3
2
0
m
m l
L
q
s
Komplet równań dla maszyny jawnobiegunowej z uwzględnieniem uzwojeń rozruchowo- tłumiących przyjmie zatem postać następującą:
q d
d
d
j
dt Ri d
u
d q
q
q
j
dt Ri d
u
dt Ri d
u
0 o
0
dt i d
R D D D
0
dt
i d
R Q Q Q
0
D lD f
lf d
d
d L i M i M i
Q lQ q
q
q L i M i
i
oL
00
d lf D
fD f
f
f L i M i M i
2
3
d lD f
fD D
D
D L i M i M i
2
3
q lQ Q
Q
Q L i M i
2
3
Dla stanie ustalonym, gdy prędkość obrotowa wirnika jest równa prędkości wirowania pola magnetycznego (wypadkowego) w uzwojeniu rozruchowo-tłumiącym nie płyną prądy, wartości prądów i napięć w osiach d i q przyjmują wartości stałe, składowa zerowa przyjmuje wartość zerową, stąd:
f lf d
d
d L i M i
q q q L i
q q f
lf d
d d
d
j L i
dt M di
dt L di Ri
u
f lf d
d q
q q
q
j L i j M i
dt L di Ri
u
W układzie dq prądy w stanie ustalonym mają wartości stałe, stąd:
q q d
d
Ri j L i
u
f lf d
d q
q
Ri j L i j M i
u
q q d
d
Ri j L i
u
f lf d
d q
q q
d q
d
ju R i ji j L i L i M i
u ( ) e
i L i
L j i R
u
q q
d d
Po wymnożeniu obu stron przez:
1
e
jOtrzymamy równanie opisujące maszynę jawnobiegunową w układzie stacjonarnym.
Przyjmując, że napięcie na zaciskach maszyny, prąd oraz siła elektromotoryczna są przebiegami sinusoidalnymi otrzymamy równanie stanu ustalonego w postaci:
E I
jX I
jX I
R
U
q q
d d
E I
X X
j I
jX I
R
U
q (
d
q)
d
Maszyny synchroniczne zwykle pracują jako generatory, stąd wygodniej jest analizować maszynę synchroniczną podstawiając:
I I
t
Otrzymamy:
U I
X X
j I
jX I
R
E
t
q t (
d
q)
dt
Równania maszyny cylindrycznej otrzymamy przyjmując równomierną szczelinę powietrzną, tzn. Xq=Xd:
