Rachunek prawdopodobieństwa 1. Zmienne i wektory losowe – zadania do samodzielnego rozwiązania

(1)

Rachunek prawdopodobieństwa

1. Zmienne i wektory losowe – zadania do samodzielnego rozwiązania

Zad. 1.1 Dana jest funkcja

f (x) =







√ c

1−x² dla |x| < 1, 0 dla |x| 1,

gdzie c jest nieznaną stałą. Wiedząc, że f jest gęstością rozkładu pewnej zmiennej losowej X, wyznacz wartość c, podaj wzór na dystrybuantę zmiennej X oraz oblicz EX.

Zad. 1.2 Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych losowych S = 2X + 1, T = X², U = −X²+ 2, jeżeli EX = 2, V ar X = 1, EX⁴ = 34.

Zad. 1.3 Sporządź w tym samym układzie współrzędnych wykresy gęstości zmiennych losowych o rozkładach normalnych: N (0, 1), N (0, 4), N (0, 9). Oblicz

1.P (|X| > 3), jeśli X ∼ N (1, 4), 2. P (0 < X < 6), jeśli X ∼ N (4, 4).

Zad. 1.4 Niech X ∼ N (−1, 4). Oblicz P (0 < X < 3), P (|X| > 1).

Zad. 1.5 Wektor (X, Y ) ma rozkład łączny zadany wzorem

P ((X, Y ) = (m, n)) = 1

2ⁿ3^m+1, n, m 0.

Wyznacz dystrybuantę tego rozkładu oraz wyznacz rozkłady brzegowe. Ponadto wy- znacz rozkład zmiennej X + Y .

Zad. 1.6 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U (0, 1). Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej exp |X − Y |.

Zad. 1.7 X i Y są niezależne i mają rozkład U (0, 2). Oblicz P (X ¬ Y²).

Zad. 1.8 Niech S i T będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że T ma rozkład wykładniczy z parametrem 1, a P (S = 2) = P (S = 3) = 0, 5. Oblicz

P (2^S²^{−5T S+6T}² > 1).

Zad. 1.9 S i T są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym S ma rozkład jedno- stajny na przedziale (−2, 4), zaś T ma rozkład zadany następująco: P (T = 1) = ¹₂, P (T = 2) = ¹₃, P (T = 3) = ¹₆. Oblicz prawdopodobieństwo, że parabola y = (x − S)²− 2 i prosta y = 2x − T² mają przynajmniej jeden punkt wspólny.

(2)

Zad. 1.10 Niech R i S będą niezależnymi zmiennymi losowymi, R ∼ E(1), S ∼ E(2). Ob- licz prawdopodobieństwo, że pole koła o promieniu R jest mniejsze od pola prostokąta o bokach πS oraz R + 2S.

Zad. 1.11 Niech X ma rozkład G(1/2). Znajdź rozkład, wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y = sin(^π₂X).

Zad. 1.12 Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej Y = 3X − 5, jeśli X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ.

Zad. 1.13 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Wyznacz dystry- buantę zmiennych Y = min(X, X²) i Z = max(1, X).

Zad. 1.14 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Znajdź gęstość zmiennej losowej Y = _X¹.

Zad. 1.15 Znając rozkład zmiennej X wyznacz rozkład (dla rozkładów absolutnie cią- głych gęstość) zmiennej Y .

1. X ∼ E(λ), Y = e^X,

2. X ∼ U (0, 1), Y = max(X, 1 − X), 3. X ∼ G(p), Y = max(2 + (−1)^X, 2).

Zad. 1.16 Wykaż, że jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym ma (0, 1), to zmienna losowa Y = − ln X ma rozkład wykładniczy.

Zad. 1.17 Znajdź gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y, wyrażającej obję- tość sześcianu, jeżeli długość X krawędzi sześcianu jest zmienną losową o gęstości f (x) = ¹_a1_[0,a](x). Następnie oblicz prawdopodobieństwo p = P (a < Y < 2a).

Zad. 1.18 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym X ∼ E(λ), a Y ∼ U (0, 1).

Znajdź gęstość zmiennej X + Y.

Zad. 1.19 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X²+ Y².

Zad. 1.20 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Y ∼ U (0, 1), P (X = −1) = P (X = 1) = ¹₂. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = X + Y . Zad. 1.21 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach X ∼ E(1),

Y ∼ U (0, 2). Znajdź gęstość zmiennej losowej Z = ^2X_Y .

Zad. 1.22 Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = ln(X +Y ), gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach X ∼ U (0, 1), Y ∼ E(1).