Rachunek prawdopodobieństwa
1. Zmienne i wektory losowe – powtórzenie
Ćw. 1.1 Wybieramy jedną kartę z 32 (od siódemki do asa). Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartość karty zgodnie z zasadami w brydżu (A=4, K=3, D=2, V=1, pozostałe=0). Wyznacz rozkład zmiennej X, a następnie wyznacz i narysuj dystrybuantę tej zmiennej. Oblicz P (X ¬ 2), EX i V arX.
Ćw. 1.2 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (t) =
0, t /∈ [−1, 1], λ(1 − t2), t ∈ [−1, 1].
Wyznacz λ i narysuj wykres f oraz wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres. Ponadto oblicz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5), EX i V arX.
Ćw. 1.3 Udowodnij regułę trzech sigm: Jeżeli zmienna losowa ma rozkład normalny, to wartość bezwzględna odchylenia tej zmiennej od wartości oczekiwanej nie przekracza potrojonego odchylenia standardowego.
Ćw. 1.4 Niech X ma rozkład N (1, 4). Oblicz P (X < 0); P (X < 1); P (X > −1).
Ćw. 1.5 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y ↓, X → 1 0
1 0,5 0,125
-1 0,375 0
1. Znajdź rozkłady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną i macierz kowariancji wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = X + Y . Ćw. 1.6 Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości
g(x, y) = 5
21I(0,2x](y)1I(0,∞)(x)e−x−2y. Znajdź gęstości zmiennych X i Y i sprawdź, czy są niezależne.
Ćw. 1.7 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład normalny N (0, 1). Czy zmien- ne losowe 2X + Y i X + 2Y są niezależne?
Ćw. 1.8 Niech (X, Y ) będzie zmienną losową o gęstości f (x, y) = 1
27(x2+ y2)1IA(x, y),
gdzie A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3). Oblicz P (X + 2Y > 3).
Ćw. 1.9 Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p. Jaki rozkład ma zmienna Y = (−1)X?
Ćw. 1.10 Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznacz rozkład zmiennej Y = [X].
Ćw. 1.11 Znajdź gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej będącej polem kwadratu, którego długość boku jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, a).
Ćw. 1.12 Zmienna losowa X ma rozkład N (0, 1). Wyznacz gęstość zmiennych Y = eX i Y = X2.
Ćw. 1.13 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, X ∼ E(1), P (Y = 1) = 0, 25 = 1 − P (Y = −1).
Wyznacz gęstość zmiennej losowej U = XY.
Ćw. 1.14 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie wykładniczym E(1). Znajdź rozkład zmiennej losowej [X + Y ].
Ćw. 1.15 X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na (0, 1).
Znajdź gęstość zmiennej X/Y .
Ćw. 1.16 Zmienne losowe X1, X2 są niezależne i mają jednakowy rozkład E(1). Niech Y = X1+ X2, Z = X1/(X1+ X2). Znajdź gęstość zmiennych losowych Y i Z. Czy Y i Z są niezależne?
