Rachunek prawdopodobieństwa 1. Wektory losowe
Ćw. 1.1 (Zmienne losowe dyskretne – przypomnienie) Rozkład zmiennej losowej X dany jest tabelą:
k −2 −1 0 1 2
P (X = k) 1/12 1/6 1/2 1/6 1/12 1. Narysuj wykres dystrybuanty zmiennej X.
2. Oblicz P (X ¬ 1, 5), P (X 0) oraz P (|X| > 1/6).
3. Oblicz EX, VarX oraz wyznacz medianę i pierwszy kwartyl.
4. Wyznacz rozkład zmiennej X2 oraz oblicz EX2. 5. Oblicz E2X.
Ćw. 1.2 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y
X 1 0
1 0, 4 0, 1
−1 0, 2 0, 3 1. Znajdź rozkłady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X > Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną, macierz kowariancji i wariancję wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = XY . 6. Wyznacz dystrybuantę wektora (X, Y ).
Ćw. 1.3 Wektor (X, Y ) ma łączny rozkład zadany wzorem P(X, Y ) = (m, n)= 1
3m+12n, m, n ∈ N ∪ {0}.
1. Wyznacz rozkłady brzegowe.
2. Czy podany wektor ma składowe niezależne?
3. Wyznacz rozkład zmiennej X + Y .
Ćw. 1.4 (Zmienne losowe ciągłe – przypomnienie) Niech X będzie zmienną losową o gęstości
f (x) =
0, x /∈ [−1, 1], λ(1 − x2), x ∈ [−1, 1].
1. Wyznacz λ i narysuj wykres f .
2. Wyznacz dystrybuantę zmiennej X i narysuj jej wykres.
1
3. Wyznacz P (X > 0, 5 ∨ X < −0, 5).
4. Wyznacz medianę.
5. Oblicz EX i VarX oraz 3. moment absolutny.
6. Wyznacz rozkład zmiennej X2. Ćw. 1.5 Funkcja
f (x, y) =
( e−y, 0 ¬ x < ∞, x ¬ y < ∞, 0, w p.w.
jest gęstością rozkładu wektora (X, Y ). Znajdź dystrybuantę wektora (X, Y ) oraz gęstości brzegowe zmiennych X i Y . Sprawdź, czy X i Y są niezależne. Czy X i Y są nieskorelowane?
Oblicz P (X + Y ¬ 2).
Ćw. 1.6 Wektor (X, Y ) ma rozkład o gęstości g(x, y) = 52e−x−2y1(0,2x](y)1(0,∞)(x). Znajdź gęsto- ści brzegowe zmiennych X i Y oraz sprawdź, czy zmienne są niezależne.
Ćw. 1.7 Podaj przykład dwóch wektorów losowych o różnych rozkładach łącznych, które mają te same rozkłady brzegowe.
Ćw. 1.8 Zmienne losowe X i Y są niezależne i mają rozkład N (0, 1). Czy zmienne losowe 2X +Y , X + 2Y są niezależne?
Ćw. 1.9 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach Poissona z parame- trami odpowiednio 1 i 2. Znajdź prawdopodobieństwo tego, że układ równań
( (X − 1)a + Y b = 6
−Y a + (X + 1)b = 4 posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
Ćw. 1.10 Niech S i T będą niezależnymi zmiennymi losowymi takimi, że T ma rozkład wykład- niczy z parametrem 1, a P (S = 2) = P (S = 3) = 12. Oblicz P (2S2−5T S+6T2 > 1).
Ćw. 1.11 Niech R i S będą niezależnymi zmiennymi losowymi, R ∼ E(1), S ∼ E(2). Oblicz prawdopodobieństwo, że pole koła o promieniu R jest mniejsze od pola prostokąta o bokach πS i R + 2S.
Ćw. 1.12 Zmienne losowe X1, X2, X3 są niezależne i mają jednakowy rozkład wykładniczy z pa- rametrem λ > 0. Niech a, b > 0. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
P (max(X1, X2, X3) ¬ a + b | min(X1, X2, X3) > a).
Ćw. 1.13 (K. B. D. K. W., Zad. 5.52 str. 215) Dwuwymiarowy wektor losowy (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = 1 20πexp
−1 2
1
4x2+ 1 25y2
.
Zbadaj, czy zmienne X i Y są niezależne. Oblicz P (−1 < X < 2, 0 < Y < 3). Wyznacz DX, DY oraz Cov(X, Y ).
Ćw. 1.14 (K. B. D. K. W., Zad. 5.40 str. 213) Trójwymiarowy wektor losowy (X, Y, Z) ma rozkład normalny o macierzy kowariancji
Σ =
1 −1 1
−1 2 −1
1 −1 2
i wartościach oczekiwanych EX = EY = EZ = 0. Wyznacz gęstość tej zmiennej losowej.
2
