Rachunek prawdopodobieństwa
1. Wektory losowe – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 1.1 Rozkład wektora (X, Y ) dany jest tabelką:
Y ↓, X → 1 2 3 4
2 0, 125 0, 25 0 0
4 0, 125 0 0, 125 0, 25
6 0 0 0, 125 0
1. Znajdź rozkłady zmiennych X i Y .
2. Czy X i Y są niezależne? Czy są nieskorelowane?
3. Wyznacz P (X = Y ).
4. Wyznacz wartość oczekiwaną i macierz kowariancji wektora (X, Y ).
5. Wyznacz rozkład zmiennej Z = X + Y .
Zad. 1.2 Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład dany wzorem
P ((X, Y ) = (m, n)) = e−λ (λ − 1)m
λm−n+1· n!, λ > 1.
Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych X i Y . Czy X i Y są niezależne?
Zad. 1.3 Dana jest funkcja
f (x, y) =
( 1
8(x2− y2)e−x, |y| ¬ x,
0, w p.w.
Pokaż, że tak określona funkcja jest gęstością wektora (X, Y ). Wyznacz gęstości roz- kładów brzegowych zmiennych X i Y .
Zad. 1.4 Funkcja
f (x, y) =
1 2
√
x3y3, 1 ¬ x < ∞, x ¬ y < ∞,
0, w p.w.
określa rozkład wektora (X, Y ). Znaleźć dystrybuantę wektora (X, Y ) oraz gęstości brzegowe zmiennych X i Y .
Zad. 1.5 Dana jest funkcja
f (x, y) =
( Cxy, 1 ¬ x ¬ 2, 2 ¬ y ¬ 4, 0, w p.w.
Wyznaczyć stałą C tak, aby funkcja ta określała rozkład. Podać rozkłady brzegowe i dystrybuantę.
1
Zad. 1.6 Zmienne X i Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie U (0, 1). Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej exp |X − Y |.
Zad. 1.7 Zmienne X i Y są niezależnymi zmiennymi o rozkładzie U (0, 2). Oblicz P (X ¬ Y2).
Zad. 1.8 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że pierwiastki równania x2+ 2P x + Q = 0
są rzeczywiste, przy założeniu, że P i Q są niezależnymi zmiennymi losowymi o roz- kładach, odpowiednio, U (−a, a) i U (−b, b).
Zad. 1.9 S i T są niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym S ma rozkład jednostajny na przedziale (−2, 4), zaś T ma rozkład następujący
P (T = 1) = 1
2, P (T = 2) = 1
3, P (T = 3) = 1 6.
Oblicz prawdopodobieństwo, że parabola y = (x − S)2− 2 i prosta y = 2x − T2 mają przynajmniej jeden punkt wspólny.
Zad. 1.10 Zmienne R i H są niezależne. R ma rozkład geometryczny z parametrem p, P (H = 2) = P (H = 1) = 12. Oblicz prawdopodobieństwo, że objętość walca o pro- mieniu R i wysokości H jest parzystą wielokrotnością π.
Zad. 1.11 Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o gęstości
f (x, y) = 1
27(x2+ y2)1A(x, y),
gdzie A jest trójkątem o wierzchołkach (0, 0), (3, 0), (3, 3). Oblicz P (X + 2Y > 3).
Zad. 1.12 (K. B. D. K. W., Zad. 5.51 str. 215) Dwuwymiarowy wektor losowy ma rozkład normalny o gęstości
f (x, y) = c exp
−2 3
x2− 1
2xy + 1 4y2
.
Wyznacz c.
Zad. 1.13 (K. B. D. K. W., Zad. 5.53 str. 216) Wektor (X, Y ) ma dwuwymiarowy rozkład normalny o parametrach: a1 = 2, a2 = 1, σ1 = 1, 5, σ2 = 0, 8, ρ = 0, 6. Zapisz gęstość tego rozkładu dwoma sposobami.
2
