MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 1896-771X 32, str. 97-104, Gliwice 2006
MODELOWANIE WŁASNOŚCI TERMICZNYCH
W WIELOWARSTWOWYM MATERIALE KOMPOZYTOWYM
KRZYSZTOF DEMS
ELŻBIETA RADASZEWSKA
Katedra Mechaniki Technicznej, Politechnika Łódzka
Streszczenie. W pracy zaproponowano metodę obliczania zastępczych współczynników przewodności cieplnej w kierunku wzdłużnym i poprzecznym do włókien dla elementu konstrukcyjnego wykonanego z wielowarstwowego materiału kompozytowego wzmacnianego długimi włóknami o różnym kształcie przekroju poprzecznego.
1. WSTĘP
Dynamiczny rozwój nowych technologii powoduje, że współczesny inżynier-konstruktor dostaje do swej dyspozycji nowe materiały o własnościach znacznie odbiegających od własności tradycyjnych materiałów konstrukcyjnych. Do tej grupy materiałów należą m. in.
materiały kompozytowe, z których wytwarzane są najróżniejsze wyroby stosowane praktycznie we wszystkich dziedzinach techniki i życia codziennego [2,3].
Nieograniczone możliwości kształtowania budowy kompozytów sprawiają, że pewne własności tych materiałów konstrukcyjnych można uzyskać w drodze optymalnego zaprojektowania struktury, a przede wszystkim właściwego rozmieszczenia i zorientowania włókien wzmacniających w macierzy w poszczególnych warstwach. Własności cieplne tego materiału zależą od własności termicznych macierzy i włókien wzmacniających, od objętościowego udziału i kształtu przekroju włókien wzmacniających w warstwach laminatu oraz orientacji włókien w analizowanym elemencie konstrukcyjnym [4].
Rozważenie zagadnienia przepływu ciepła w materiale kompozytowym ma zatem szerokie zastosowanie praktyczne i wpływa na bezpieczeństwo użytkowników konstrukcji wykonanych z tych materiałów.
2. MODEL ZASTĘPCZY WIELOWARSTWOWEGO KOMPOZYTU
Wielowarstwowe kompozyty są materiałami konstrukcyjnymi zbudowanymi z kilku połączonych ze sobą warstw. Każda warstwa składa się z co najmniej dwóch połączonych ze sobą w specyficzny sposób materiałów wyjściowych: matrycy i włókien wzmacniających, jak pokazano na (rys.1.).
Budując model kompozytu, przyjmujemy następujące założenia:
− kompozyt jest laminatem, składa się z warstw o grubości hk, połączonych ze sobą w trwały sposób;
− zachodzi symetria materiałowa i geometryczna zewnętrznych warstw kompozytu względem warstwy środkowej;
− matryca jest jednorodna, izotropowa o współczynniku przewodzenia ciepła λm;
− włókna wzmacniające są jednorodne, izotropowe, o współczynniku przewodzenia λw
oraz równomiernie i jednokierunkowo rozłożone w każdej warstwie;
− makroskopowo kompozyt stanowi jednorodny materiał ortotropowy.
Rys.1. Budowa wielowarstwowego kompozytu wzmocnionego włóknami
W pracy przeprowadzono proces modelowania własności termicznych takich kompozytów w dwóch etapach. Najpierw poddano modelowaniu warstwy kompozytu składające się z włókna i macierzy, następnie modelowano wielowarstwowy materiał kompozytowy [1,4].
Zgodnie z przyjętymi założeniami, każda k-ta warstwa kompozytu jest modelowana jednorodnym makroskopowo, płaskim materiałem o właściwościach ortotropowych (rys.2.).
Rys.2. Modelowanie k-tej warstwy kompozytu
Budowa kompozytu sprawia, że orientacja włókien w każdej k-tej warstwie może być inna w stosunku do dowolnie przyjętego globalnego układu odniesienia (rys.3.). Na podstawie odpowiednich relacji transformacyjnych macierz zastępczych współczynników przewodności cieplnej dla ortotropowej warstwy kompozytu określona w globalnym układzie współrzędnych jest wyrażona zależnością:
( )
( )
+
−
−
= +
k k
x k k
x k k
k x k x
k k
k x k x k k
x k k
x k
y k y
k y k y
α λ
α λ
α α
λ λ
α α
λ λ α λ
α λ
λ λ
λ λ
2 2
2 2
cos sin
cos sin
cos sin
sin cos
2 1
2 1
2 1 2
1
2 21
12
1 (1)
Rys.3. Kierunki główne i dowolne k-tej warstwy kompozytu
Zgodnie z przyjętymi założeniami, wielowarstwowy kompozyt jako całość tworzy makroskopowo jednorodny materiał ortotropowy o własnościach będących wypadkową własności tworzących go warstw. Można wykazać, że cieplne współczynniki przewodności wielowarstwowego materiału kompozytowego opisują zależności:
∑
== n
k
k k y
y h
h
1
1
1 λ
λ
∑
=
= n
k
k k y
y h
h
1
12
12 λ
λ
∑
=
= n
k
k k
y
y h
h
1
2
2 λ
λ , (2)
hk
h
h
zastępczy jednorodny materiał ortotropowy rzeczywisty
materiał
y2
x2
α
y1
x1
gdzie ∑
=
= n
i
hk
h
1 oznacza grubość kompozytu, hk grubość k-tej warstwy kompozytu, zaś n liczbę warstw.
3. CIEPLNE WSPÓŁCZYNNIKI MATERIAŁU KOMPOZYTOWEGO
Własności cieplne materiałów kompozytowych charakteryzują zarówno stałe materiałowe macierzy i włókien jak i sposób ułożenia włókien w macierzy. Materiały kompozytowe zbudowane z powtarzalnych elementów zwykle traktuje się dla celów analizy jako jednorodne ciała o uśrednionych cieplnych współczynnikach wyznaczonych na podstawie bilansu cieplnego oraz podstawowego prawa Fouriera. Własności cieplne takiego zastępczego materiału zależą od własności termicznych macierzy i włókien wzmacniających oraz od objętościowego udziału i kształtu przekroju włókien wzmacniających w warstwach laminatu.
3.1 Wzdłużna przewodność cieplna
Rozpatrzmy powtarzalny element warstwy kompozytu przedstawiony na (rys.4.).
Zastępczy współczynnik przewodności cieplnej wzdłuż włókien można otrzymać z bilansu strumienia ciepła płynącego w kierunku pokrywającym się z osią włókna, dla założonego takiego samego gradientu temperatury we włóknie, macierzy i zastępczym materiale.
Uwzględniając różny przekrój poprzeczny włókien oraz udział objętościowy poszczególnych faz uzyskano zależność określającą zastępczy wzdłużny współczynniki przewodności cieplnej.
(
w m)
mw
x ρ λ λ λ
λ = − +
1 (3)
gdzie:
ρw -objętościowy udział włókna
λw , λm - współczynnik przewodności włókna, macierzy
Rys.4. Powtarzalny element warstwy kompozytowej 3.2. Poprzeczna przewodność cieplna
Przepływ ciepła w kierunku poprzecznym do włókien w elemencie przedstawionym na (rys. 4a.), zależy od kształtu poprzecznego przekroju włókna. W każdej warstwie materiału kompozytowego ciepło przepływa w jednej części warstwy szeregowo przez macierz i włókno, w drugiej tylko przez macierz, jak schematycznie pokazano na (rys.5.).
Rys.5. Proces modelowania przepływu ciepła w warstwie materiału kompozytowego
a) b)
a) powtarzalny element
b) zastępczy ortotropowy materiał
Q Q
Q
Q 2
Q 1 Q 1 Q 2 Q
Q
Q 1 2
Q
Q Q
ACx2
λ λm λx2
Q
3.2.1. Poprzeczna przewodność cieplna dla włókien prostokątnych
Jeżeli w prostokątnym przekroju poprzecznym materiału zastępczego zawarte jest włókno o również prostokątnym przekroju poprzecznym, to z uwagi na symetrie układu wystarczy rozpatrywać bilans cieplny dla ćwiartki przekroju (rys.5.). Bilans natężenia strumienia cieplnego w części warstwy składającej się z macierzy i włókna prowadzi do wyznaczenia zastępczego współczynnika przewodności cieplnej
ACx2
λ :
′ − +
=
1
1 2
2
w m m ACx
b λ λ
λ λ gdzie:
2 2
2
2 a b
b b
= +
′ (4)
Rys.6. Włókno o przekroju prostokątnym
Drugą typową częścią każdej warstwy materiału kompozytowego, przez którą płynie ciepło, jest macierz. Bilans strumienia ciepła dla obydwu równolegle połączonych części warstw prowadzi do równania zastępczego współczynnika przewodności cieplnej w kierunku osi x2 pojedynczej warstwy materiału kompozytowego
x2
λ i wyraża się następującą zależnością:
′ − +
= 1 2 1
2 3
m ACx m
x b
λ λ λ
λ gdzie:
3 3
3
3 a b
b b
= +
′ (5)
Z uwagi na podobny kształt w kierunku osi x2 i x3 zastępczy współczynnik przewodności cieplnej w kierunku x3 wyprowadza się analogicznie, zgodnie z wzorami (4) i (5) odpowiednio zamieniając w nich wskaźniki względnych wymiarów.
3.2.2. Poprzeczna przewodność cieplna dla włókien kołowych
Dla włókna o kołowym przekroju poprzecznym rozpatruje się w prostokątnym przekroju poprzecznym materiału zastępczego włókno o promieniu r (rys.7). Podobnie jak dla włókna o prostokątnym przekroju poprzecznym, strumień ciepła przepływa w jednej części szeregowo tylko przez macierz, w drugiej części zarówno przez macierz jak i włókno, przy czym względne drogi strumienia są zależne od kąta ϕ i wynoszą:
dla macierzy
( )
r a r a a
+
−
= +
′
2 2 2
cos
1 ϕ
dla włókna
r a a r
b′ = − ′ = +
2 2 2
1 cosϕ
(6)
b3 a3
L
a2 b2
x1
x2
x3
Podstawiając powyższe względne odległości do wzoru (4) współczynnik przewodności części warstwy określonej kątem ϕ wynosi:
ϕ ϕ λ
λ 1 cos
2 u1
x = + m gdzie: 1 ,
2
1
−
= ′
w m rx
u λ
λ
r a rx r
= +
′
2
2 (7)
Rys.7. Włókno o przekroju kołowym
Poszczególne części warstwy zależne od kąta ϕ są względem siebie połączone równolegle.
Bilans natężenia strumienia cieplnego przepływającego szeregowo w części warstwy, składającej się z macierzy i włókna prowadzi do wyznaczenia zastępczego współczynnika przewodności cieplnej
ACx2
λ , dla części warstwy składającej się z macierzy i włókna w postaci:
+
−
+
− +
−
−
= 2
1 2 1 1
1 1
1 4 1
2
2 u
u ArcTanh u
u
m
ACx λ π
λ (8)
Zastępczy współczynnik przewodności cieplnej warstwy materiału kompozytowego w kierunku osi x2 można przedstawić zatem w postaci zależności:
′ − +
= 1 2 1
3 2
m ACx x m
x r
λ λ λ
λ gdzie:
r a rx r
= +
′
3
3 (9)
Z uwagi na podobny kształt w kierunku osi x2 i x3 zastępczy współczynnik przewodności cieplnej w kierunku x3 wyprowadza się analogicznie, zgodnie z wzorami (6), (7) i (9), odpowiednio zamieniając w nich wskaźniki względnych wymiarów, przy czym względne drogi strumienia są zależne od kąta β.
3.2.3. Poprzeczna przewodność cieplna dla włókien o przekroju eliptycznym
Dla przekroju eliptycznego włókna rozpatruje się w prostokątnym przekroju materiału kompozytowego włókno o osiach 2a i 2b (rys.8).
x2
L
x3 x1
ϕ
r a2
a3 β
Ciepło przepływa w dwóch typowych częściach warstwy, w jednej przepływa szeregowo tylko przez macierz, a w drugiej przez macierz i włókno, przy czym względne drogi strumienia są zależne od kąta ϕ:
dla macierzy
( )
a a
r a a a
+
−
= +
′
2 2 2
cosϕ
ϕ dla włókna
( )
a a b r
= +
′
2 2
cosϕ
ϕ (10)
Rys.8. Włókno o przekroju eliptycznym
Podstawiając powyższe względne odległości do wzoru (4) współczynnik przewodności części warstwy określonej kątem ϕ wynosi:
( )
ϕλ ϕλϕ
cos
1 3
2 u
a r x m
+
= gdzie:
+ −
= 1
3 2
w m a a u a
λ
λ (11)
Korzystając z parametrycznych równań elipsy x=acosϕ, y=bsinϕ wyznaczono r
( )
ϕw postaci następującej zależności:
( )
ϕ a2cos2(ϕ) b2sin2(ϕ)r = + (12)
Poszczególne warstwy zależne od kąta ϕ są względem siebie połączone równolegle. Bilans natężenia strumienia cieplnego w części warstwy, składającej się z macierzy i włókna, prowadzi do wyznaczenia zastępczego współczynnika przewodności cieplnej
ACx2
λ :
( )
ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕ
ϕ λ ϕ
λ λ
π
ϕ a b d
b a
a
b m x b
ACx
⌡
⌠
+ +
+
= −
2 /
0
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
cos sin
cos sin
cos
cos sin
2
2 (13)
Natomiast zastępczy współczynnik przewodności cieplnej w kierunku x2 opisujący szeregowo - równoległe połączenie wszystkich części warstwy, na które podzielono zastępczy model ciała, ma postać:
− + ′
= 1 2 1
3 2
m ACx x m
x b
λ λ λ
λ gdzie:
b a bx b
= +
′
3
3 (14)
Z uwagi na podobny kształt w kierunku osi x2 i x3 zastępczy współczynnik przewodności cieplnej w kierunku x3 wyprowadza się analogicznie, zgodnie z wzorami (10), (11), (12) i (13), odpowiednio zamieniając w nich wskaźniki względnych wymiarów, przy czym względne drogi strumienia są zależne od kąta β.
x3 x1
L
x2
a a2
b a3 ϕ
β β
4. PRZYKŁAD ILUSTRACYJNY
Korzystając z obliczonych zastępczych współczynników przewodności cieplnej wyznaczono rozkłady pola temperatur dla kompozytowego kątownika pokazanego na (rys.9.), wzmacnianego włóknami o prostokątnym, kołowym i eliptycznym przekroju poprzecznym, uwzględniając różny kąt ułożenia włókien α w każdej warstwie laminatu. Zostały również wyznaczone rozkłady współczynników przewodności cieplnej w kierunku głównych osi ortotropii dla różnych przekrojów poprzecznych włókien w funkcji gęstości włókien.
Rezultaty obliczeń rozkładu temperatury przedstawiono na (rys.10.) i (rys.11.), zaś przebieg zmienności współczynników przewodności w funkcji gęstości włókien materiału kompozytowego jest przedstawiony na (rys.12.).
Obliczenia wykonano przy założeniach: występuje ustalony przepływ ciepła, kompozyt warstwowy epoksydowo-szklany: λm = 0.3 W/(mK), λw = 0.04 W/(mK), kąt ułożenia włókien α w warstwie środkowej kompozytu jest inny niż w pozostałych warstwach.
przekrój kołowy przekrój eliptyczny
warstwa zewnętrzna α=450
warstwa zewnętrzna α=450 warstwa wewnętrzna α=00
Rys.10. Rozkład temperatury w kierunku x2 dla kątownika z włóknami o prostokątnym przekroju poprzecznym 200
mm
h k
150
300 mm
100 α
T=200
T=2000 x1
y1
Rys.9. Kompozytowy kątownik
warstwa zewnętrzna α=450 warstwa zewnętrzna α=450 warstwa wewnętrzna α=900
Rys.11. Rozkłady temperatury w kierunku x2 dla kompozytowego wielowarstwowego kątownika
Rys.12. Rozkład współczynników przewodności cieplnej w kierunku głównych osi ortotropii dla różnych przekrojów poprzecznych włókien w funkcji gęstości włókien
5. WNIOSKI
W przypadku pojedynczych warstw kompozytu mogą występować duże różnice w rozkładzie temperatur w kierunku wzdłużnym i poprzecznym do włókien, wynikające z różnej przewodności cieplnej warstw kompozytowych w kierunku włókien i w kierunku poprzecznym. Aby poprawić taką niekorzystną charakterystykę własności termicznych, materiał kompozytowy buduje się z wielu warstw o różnej orientacji włókien, kształtując w ten sposób rozkład temperatur w tym materiale. Uzyskane wyniki stanowią punkt wyjścia do budowy optymalnego wielowarstwowego kompozytu, z punktu widzenia własności cieplnych wykorzystywanego jako uniwersalne tworzywo konstrukcyjne.
Praca wykonana w ramach Grantu nr 5/T07A/02325 Ministerstwa Edukacji i Nauki
LITERATURA
1. Chandrupatla T.R., Belegundu A.D.: Introduction to finite elements in engineering Prentice. Hall 1991.
2. German J.: Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych. Politechnika Krakowska 1996.
3. Klata E., Krucińska I.: Kompozyty włókniste. Techniczne Wyroby Włókiennicze 2000b.
4. Wiśniewski S., Wiśniewski T.S.: Wymiana ciepła. WNT Warszawa 2000.
MODELLING OF THERMAL PROPERTIES IN THE MULTI-LAYER COMPOSITE MATERIAL
Summary. A method of calculating of substitute heat conduction ratios in the alongside and crosswise direction to fibres for the constructional element made from the multi-layer composite material strengthened with the long, various cross- section shape fibres was proposed in the work.
This work was supported by Grant 5/T07A/02325 of Ministry of Education and Science , 2
1 y
y λ
λ
y2 λ
y1 λ
0.05 0.15 0.25 0.35 0.45
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40
0.13 0.18 0.23 0.28 0.33
0.10 0.15 0.20 0.25
0.30 przekrój kołowy
przekrój prostokątny przekrój eliptyczny
ρw
