1
Wykład 12
Wyznacznik macierzy kwadratowej i jego własności
Dla macierzy kwadratowych (n x n) i tylko dla kwadratowych można zdefiniować pewna charakterystykę liczbową (funkcję elementów macierzy), zwaną wyznacznikiem . Poniższe wzory podają efektywne
sposoby obliczenia tej wartości dla macierzy stopnia 2, 3 oraz metodę sprowadzenia problemu obliczenia wyznacznika stopnia 4 i większych do wyznacznika stopnia 3.
dla n=2
22 21
12 11
a a
a a
dla n=3
33 32 31
23 22 21
13 12 11
a a a
a a a
a a a
dla n>3 stosujemy tzw. rozwinięcie Laplace’a omówione poniżej, po wprowadzeniu niezbędnych definicji.
Definicja
Niech dana będzie macierz
A M
nmWybierzmy z niej dowolnych k wierszy i k kolumn (0<k≤min{m,n}) i utwórzmy macierz kwadratową B stopnia k złożoną z elementów leżących na przecięciu wybranych wierszy i kolumn. Wyznacznik tej macierzy nazywamy minorem stopnia k macierzy A.Definicja
Niech dana będzie
A M
nn.Wybieramy element aij macierzy A i skreślamy i-ty wiersz i j-tą kolumnę macierzy A. Otrzymany w ten sposób minor stopnia n-1 oznaczmy przez Mij. Wyrażenieij j i
ij
M
A ( 1 )
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu aijTwierdzenie 1 (wzór na rozwinięcie Laplace’a)
Niech dana będzie
A M
nn.Wówczas det(A)ai1Ai1ai2Ai2 ..ainAindla dowolnego i=1,..,n Przy czym wartość wyznacznika nie zależy od wyboru wierszaPrzykład
0 1 5 2
3 13 9 2
1 5 4 2
5
3
1
2
2 Twierdzenie
Jeżeli wiersz macierzy A składa się z samych zer, to det A=0
Twierdzenie
Jeżeli macierz A powstała z macierzy B przez przestawienie dwóch wierszy, to det A = – det B.
Twierdzenie
Jeżeli do elementów pewnego wiersza macierzy A do zostaną dodane elementy innej kolumny pomnożone przez pewną stała, to wyznacznik macierzy A pozostanie niezmieniony.
Twierdzenie
Jeśli dwa wiersze macierzy są równe, to jej wyznacznik jest równy zero.
Definicja
Niech AMnp.Macierzą transponowaną względem macierzy A nazywamy
A
T M
pn,której i-ty wiersz jest równy i-tej kolumnie macierzy A.Twierdzenie
NiechA
Mn,
wówczasdet
A det
AT WniosekKażde twierdzenie dotyczące wyznaczników pozostaje słuszne, gdy słowo wiersz zostanie zastąpione słowem kolumna
Twierdzenie Cauchy’ego.
Jeżeli
AB C i A , B M
n todet A det B det C
:
Definicja
Niech AMn.Jeżeli istnieje macierz A-1 taka, że:
AA
1 A
1A I
n, to A-1 nazywa się macierzą odwrotną do A.Definicja
Macierz nazywamy macierzą nieosobliwą, jeżeli detA≠0
3 Twierdzenie
Macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Macierz odwrotną do A otrzymujemy z wzoru:
T
nn n
n
n n
A A
A
A A
A
A A
A A A
....
....
....
...
....
....
....
det 1
2 1
2 22
21
1 12
11
1 gdzie
A
ijoznacza dopełnienie algebraiczne elementu aijPrzykład
10 1 3
4 1 1
2 2 3
A
A
4 Przykład
Rozwiąż równanie
13 1 13
6 1 3
4 5 1
4 2 3
z y x
Opracowanie: dr Elżbieta Badach na podstawie 1.Gleichgewicht B.: Algebra PWN Warszawa1983 2.Opial Z.: Algebra wyższa PWN Warszawa1974
