Analiza Matematyczna Wykład 2
Ci¸agi
Ci¸agi monotoniczne i ściśle monotoniczne, ci¸agi ograniczone
Ci¸ag (an) nazywamy niemalej¸acym (rosn¸acym) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego numeru n zachodzi nierówność an ≤ an+1 (an < an+1). Podobnie ci¸ag nierosn¸acy (ma- lej¸acy) to taki, że dla ka ˙dego numeru n zachodzi nierówność an ≥ an+1 (an > an+1).
Ci¸agi niemalej¸ace i nierosn¸ace maj¸a wsóln¸a nazw¸e: ci¸agi monotoniczne. Ci¸agi rosn¸ace i malej¸ace nazywamy ci¸agami ściśle monotonicznymi.
W niektórych podr¸ecznikach stosowana jest nieco inna terminologia: ci¸agi niemalej¸ace zwane s¸a tam rosn¸acymi a rosn¸ace - ściśle rosn¸acymi. Jest oboj¸etne, która z tych dwóch koncepcji jest stosowana, jeśli jest to tylko robione konsekwetnie.
Można też, dla unikni¸ecia nieporozumień mówić o ci¸agach niemalej¸acych i ściśle rosn¸acych.
Ci¸ag geometryczny zaczynaj¸acy si¸e od wyrazu a1 = q jest monotoniczny w przypadku q ≥ 0 : dla q = 0 oraz q = 1 ci¸ag geometryczny jest stały, wi¸ec niemalej¸acy i jednocześnie nierosn¸acy.
Ci¸ag arytmetyczny jest rosn¸acy, gdy jego różnica r > 0, malej¸acy gdy r < 0, stały, gdy r = 0.
Ci¸agi ograniczone
Ci¸ag (an) nazywamy ograniczonym z dołu, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczy- wista m taka, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi nierówność an≥ m. Analogicznie ci¸ag (an) nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba rzeczy- wista M, taka, że dla każdego n zachodzi nierówność an ≤ M. Ci¸ag ograniczony z dołu i z góry nazywamy ograniczonym. Ci¸agiem nieograniczonym nazywamy każdy ci¸ag, który nie jest ograniczony.
Ci¸ag (n) jest ograniczony z dołu jest ograniczony z dołu np. przez −15 lub 0, ale nie jest ograniczony z góry, jest wi¸ec nieograniczony.
Ci¸ag (−1)n jest ograniczony z góry np. przez 1 lub przez √
1000 oraz z dołu, np. przez
−1, ale również przez −15.
Ci¸ag (an) nazywamy ograniczony, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba nieujemna M, taka, że |an| ≤ M dla kazżdego n.
Oczywisty wniosek z definicji ci¸agu ograniczonego: M musi być tak duże, by liczba −M była ograniczeniem dolnym ci¸agu (an) i jednocześnie liczba M była jego ograniczeniem górnym.
Ci¸ag (1 + xn)n
Wypiszmy przybliżenia dziesi¸eciu pierwszych wyrazów ci¸agu.
w przypadku x = 1 w przypadku x = −4 1 + 111
= 2 1 + −41 1
= −3 1 + 122
= 94 = 2, 25 1 + −42 2
= −3 1 + 133
= 6427 ≈ 2, 37 1 + −43 3
= −127 ≈ 0, 37 1 + 144
= 625256 ≈ 2, 44 1 + −44 4
= 0 1 + 155
= 77763125 ≈ 2, 49 1 + −45 5
= 31251 ≈ 0, 00032 1 + 166
= 11764946656 ≈ 2, 52 1 + −46 6
= 7291 ≈ 0, 0014 1 + 177
= 2097152823543 ≈ 2, 55 1 + −47 7
= 8235432187 ≈ 0, 0027 1 + 188
= 4304672116777216 ≈ 2, 56 1 + −48 8
= 2561 ≈ 0, 0039 1 + 199
= 1000000000387420489 ≈ 2, 58 1 + −49 9
= 3874204891953125 ≈ 0, 0050 1 + 10110
= 25937424601
1000000000 ≈ 2, 59 1 + −41010
= 976562559049 ≈ 0, 0060
Jak widać ci¸ag o wyrazie an = (1 + xn)n nie jest ani geometryczny , ani arytmetyczny z wyj¸atkiem jednego przypadku : x = 0. Wykażemy że jeśli n > −x 6= 0, to an+1 > an, czyli ci¸ag jest rosn¸acy od pewnego momentu. W przypadku x > 0 jest rosn¸acy, to może si¸e zdarzyć, że pocz¸atkowe wyrazy zmieniaj¸a znak , a wi¸ec o monotoniczności nie może być mowy.Jeżeli wszystkie wyrazy ci¸agu s¸a dodatnie to jest niemalej¸acy.
Wypada to wykazać. Z nierówności n > −x wynika nierówność n + 1 > −x. Z pierw- szej z nich wnioskujemy, że 1 + xn > 0, a z drugiej, że 1 + n+1x > 0. Nierówność an < an+1 r’ownoważna jest nierówności 1 + xnn
< 1 + n+1x n+1
, a ta dzi¸eki temu, że 1 + xn > 0 - nierówności 1+ x
n+1
1+nx
n+1
> 1+1x n
= n+xn Skorzystamy teraz z nierówno- ści Bernoulli’ego, by udowodnić, że ostatnia nierówność ma miejsce dla n > −x. Mamy
1+ x
n+1
1+nx
n+1
=
1 − (n+x)(n+1)x n+1
≥ 1 − (n + 1)(n+x)(n+1)x = 1 − n+xx = n+xn . Dla jasno- ści należy zauważyć, że liczba (n+x)(n+1)−x pełni¸aca rol¸e a w nierówności Bernolli’ego jest wi¸eksza od -1 - jest to oczywiste w przypadku x ≤ 0, bo w tym przypadku jest ona nie- ujemna, zaś dla x > 0 jej wartość bezwzgl¸edna, czyli (n+x)(n+1)x jest mniejsza od n+11 < 1.
Wykazaliśmy wi¸ec, że od momentu, w którym wyrażenie 1 + xn staje si¸e dodatnie, ci¸ag zaczyna rosn¸ać (gdy x = 0 jest stały).Dodajmy jeszcze, że jeśli x > 0, to wyrazy ci¸agu s¸a dodatnie, jeśli zaś x < 0, to s¸a one dodatnie dla n parzystego oraz dla n nieparzystego, o ile n > −x. Pozostaje pytanie, czy przy x > 0 wzrost wyrazu ci¸agu 1 + xnn
jest nie- ograniczony, czy dla ustalonego x znaleźć można liczb¸e wi¸eksz¸a od wszystkich wyrazów tego ci¸agu.
Wykażemy, że ci¸ag 1 + xnn
jest ograniczony z góry dla dowolnej liczby rzeczywistej x.
Dla ujemnych x tak jest, bo od pewnego miejsca, jak to stwierdziliśmy wcześniej, wyrazy s¸a dodatnie i mniejsze od 1. Jeśli n > x > 0, to (1−
x2 n2)n
(1−xn)n < (1−1x
n)n. Wyrażenie (1−1x n)n
maleje wraz ze wzrostem n (gdy rozpatrujemy n > x), bo licznik nie zmienia si¸e a mia- nownik - jak to wykazaliśmy wcześniej - rośnie.
Wynika st¸ad, że je’sli n(x) jest najmniejsz¸a liczb¸a całkowit¸a wi¸eksz¸a od x, to wszystkie wyrazy ci¸agu s¸a mniejsze od niż (1− x1
n(x))n(x) = n(x)
n(x)−x
n(x)
.
Np. n(1) = 2, zatem wszystkie wyrazy ci¸agu 1 + xnn
s¸a mniejsze niż 2−12 2
= 4.
W istocie rzeczy z tego co zostało napisane wynika że dla każdej liczby naturalnej k ≥ n(x) liczba 1
(1−xk)k = k−xk k
jest ograniczeniem górnym ci¸agu 1 + xnn
. Granica ci¸agu monotonicznego
Wykażemy teraz nast¸epuj¸ace ( zapewne znane ze szkoły) Twierdzenie o istnieniu granicy ci¸agu monotonicznego Każdy ci¸ag monotoniczny ma granic¸e.
Dowód. Załóżmy, że ci¸ag (an) jest niemalej¸acy, tzn dla każdego n zachodzi nierów- ność an ≤ an+1. Jeżeli ci¸ag nie jest ograniczony z góry to dla każdej liczby rzeczywistej M istnieje liczba naturalna nM taka, że anM ≥ M. Wtedy dla każdej liczby naturalnej n ≥ nM zachodzi nierówność an ≥ anM ≥ M. Wobec tego limn→∞an = +∞. Załóżmy, że ci¸ag (an) jest ograniczony z góry przez liczb¸e b0. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 0 mamy wi¸ec a0 ≤ an ≤ b0. Jeśli w przedziale a0+b2 0, b0 znajduj¸a si¸e jakiekolwiek wyrazy ci¸agu (an), to przyjmujemy c1 = a0+b2 0 i b1 = b0.
Jeśli w przedziale a0+b2 0, b0
wyrazów ci¸agu (an) nie ma, to przyjmujemy c1 = a0 i b1 = a0+b2 0.W obu przypadkach otrzymujemy przedział [c1, b1) ⊆ [a0, b0]. dwa razy krót- szy od przedziału [a0, b0] zawieraj¸acy prawie wszystkie wyrazy ci¸agu (an. W taki sam sposób otrzymujemy przedział [c2, b2] ⊆ [c1, b1] dwa razy krótszy od przedziału [c1, b1], czyli cztery razy krótszy od przedziału [a0, b0] zawieraj¸acy prawie wszystkie wyrazy ci¸agu (an).Powtarzaj¸ac t¸e konstrukcj¸e wielokrotnie określamy wst¸epuj¸acy ci¸ag przedzia- łów domkni¸etych ([an, bn]) taki, że każdy przedział [an, bn] jest dwa razy krótszy od swego poprzednika i jest w nim całkowicie zawarty. Niech g b¸edzie punktem wspól- nym wszystkich przedziałów [an, bn], n = 1, 2 . . . . Cz¸eść wspólna składa si¸e tylko z jednej liczby.Jeśli g1 6= g2 to dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n zachodzi nie- równość |g1 − g2| ≥ b02−an0 = bn − cn. Wykażemy, że limn→∞an = g. Niech ε > 0. Ist- nieje liczba naturalna m taka,że bm − cm < ε. Niech an ∈ [cm, bm]. Wtedy również an, an+1,an+2,an+3,l . . . ∈ [cm, bm] i g ∈ [cm, bm]. Każde dwa punkty przedziału [cm, bm] s¸a odległe o nie wi¸ecej niż bm− cm < ε. Oznacza to, że limn→∞(an) = g. Jeśli ci¸ag (an) jest niemalej¸acy to można udowodnion¸a cz¸eść twierdzenia zastosować do ci¸agu (−an), który jest niemalej¸acy i wówczas wykazujemy, że limn→∞an = −g.
Dowód został zamieszczony po to, by studentom łatwiej było poj¸ać jak przeprowadzać rozumowania matematyczne. Nie należy uczyć si¸e go na pami¸eć , warto go zrozumieć.
Oznaczenie
exp(x) oznaczać b¸edziemy w dalszym ci¸agu granic¸e ci¸agu (1 +nx) , tzn.
exp(x) = lim
n→∞
1 + x
n
n
.
Wobec tego symbol exp oznacza funkcj¸e, która jest określona na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, jej wartości¸a w punkcie x jest liczba dodatnia limn→∞ 1 + xnn
. Obliczanie granic - podstawowe twierdzenia
Sformułujemy kilka twierdzeń, które ułatwiaj¸a obliczanie granic.Udowodnimy cz¸eść z nich. Za przedstawienie dowodów pozostałych PREMIA punktowa.
Twierdzenie o arytmetycznych własnościach granicy
• Jeśli istniej¸a granice limn→∞an, limn→∞bn i określona jest ich suma, to istnieje granica limn→∞(an+ bn) i zachodzi wzór
n→∞lim(an+ bn) = lim
n→∞an+ lim
n→∞bn.
• Jeśli istniej¸a granice limn→∞an, limn→∞bn i określona jest ich różnica, to istnieje granica limn→∞(an− bn) i zachodzi wzór
n→∞lim(an− bn) = lim
n→∞an− lim
n→∞bn.
• Jeśli istniej¸a granice limn→∞an, limn→∞bn i określony jest ich iloczyn, to istnieje granica limn→∞(an· bn) i zachodzi wzór
n→∞lim(an· bn) = lim
n→∞an· lim
n→∞bn.
• Jeśli istniej¸a granice limn→∞an, limn→∞bn i określony jest ich iloraz, to istnieje granica limn→∞(abn
n) i zachodzi wzór
n→∞lim
an bn
= limn→∞(an) limn→∞bn . Dowód poprzedzimy uwag¸a o zbieżności ci¸agu przeciwnego
Ci¸ag (cn) ma granic¸e wtedy i tylko wtedy, gdy ci¸ag (−cn) ma granic¸e niezależnie od tego czy granica ta jest skończona, czy nieskończona oraz zachodzi równość
n→∞lim(−cn) = − lim
n→∞(cn)
Teraz zajmiemy si¸e dowodem twierdzenia o arytmetycznych włanościach granicy ci¸agu.
Udowodnimy, że suma granic dwóch ci¸agów jest granic¸a sumy tych ci¸agów.
Załóżmy, że ga= limn→∞an i gb = limn→∞bn. Należy rozważyć trzy przypadki: ga, gb s¸a liczbami rzeczywistymi, ga jest liczb¸a rzeczywist¸a, zaś gb jest symbolem nieskończonym, ga i gb s¸a symbolami nieskończonymi tego samego znaku.
Rozpoczniemy od granic skończonych - przypadku znanego z nauki w szkole.
Niech ε b¸edzie dodatni¸a liczb¸a rzeczywist¸a i niech n0ε b¸edzie tak¸a liczb¸a naturaln¸a,że dla n > n0ε zachodzi nierówność |an− ga| < ε2. Niech n”ε b¸edzie tak¸a liczb¸a naturaln¸a, że dla n > n”ε zachodzi nierówność |bn − gb| < ε2 i niech nε oznacza wi¸eksz¸a z liczb n0ε, n”ε. Wtedy dla n > nε zachodz¸a obydwie nierówności, zatem
| an+ bn− (ga+ gb) |≤| an− ga| + | bn− gb |< ε 2+ ε
2 = ε
To znaczy, że dla dostatecznie dużych liczb nturalnych n(n > nε) różnica (an + bn − (ga− gb) ma wartość bezwzgl¸edn¸a mniejsz¸a niż ε, wi¸ec limn→∞(an+ bn) = ga+ gb. Dowód twierdzenia o granicy sumy ci¸agów w tym przypadku został zakończony.
Zajmiemy si¸e teraz nast¸epnym przypadkiem: niech liczba g b¸edzie granic¸a ci¸agu (an, czyli g = limn→∞an i niech +∞ = limn→∞bn. Wykażemy, że limn→∞(an+ bn) = +∞.
Niech M b¸edzie dowoln¸a liczb¸a rzeczywist¸a. Istnieje liczba naturalna n”M −g+1 taka, że dla n > n”M −g+1 zachodzi nierówność bn > M − g + 1. Istnieje też liczba naturalna n01 taka, że dla n > n01|an− g| < 1. Dla n > nM obie nierówności zachodz¸a, wi¸ec
an+ bn = bn+ g + (an− g) ≥ bn+ g − |an− g| > (M − g + 1) + g − 1 = M Wykazaliśmy, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych n zachodzi nierówność an+ bn.M, wi¸ec limn→∞(an+ bn) = +∞. Dowód został zakończony. Jeśli wi¸ec ci¸ag an ma gra- nic¸e skończon¸a i lim n → ∞bn= −∞, to na mocy poprzednio wykazanej cz¸eści twierdze- nia o granicy sumy ci¸ag (−an− (−bn)) ma granic¸e i zachodzi równość limn→∞(−an−bn) =
− limn→∞an + limn→∞(−bn) = +∞, co oznacza, że granica limn→∞(an+ bn) istnieje i jest równa −∞.
Dowód został zakończony.
Pozostał jeszcze jeden przypadek - obie granice s¸a równe −∞ lub obie s¸a równe +∞.
Korzystaj¸ac z uwagi o zbieżności ci¸agu przeciwnego stwierdzamy, że dowód przeprowadzić wystarczy korzaystaj¸ac, że limn→∞an = +∞ = limn→∞bn. Jeśli M jest dowoln¸a liczb¸a rzeczywist¸a, to istniej¸a liczby naturalne n0M
2
oraz n”M
2 , takie, że jeśli n > n0M 2
, to an> M2 i jeśli n > n”M
2 , to bn > M2. Przyjmijmy, że nM jest wi¸eksz¸a z liczb n > n0M 2
, n > n”M
2 . Wtedy zachodz¸a obie nierówności i wobec tego an+ bn > M2 + M2 = M, wi¸ec dla dosta- tecznie dużych liczb naturalnych n zachodzi nierówność an+ bn > M, a to oznacza,że limn→∞an+ bn= +∞. Dowód został zakoćzony.
Z uwagi o granicy ci¸agu przeciwnego i udowodnionego twierdzenia o granicy sumy wynika twierdzenie o granicy różnicy.
Prosz¸e udowodnić w podobny sposób twierdzenia o iloczynie i ilorazie dwóch ci¸agów.
Podamy teraz ważne w obliczaniu granic ci¸agów
Twierdzenie o trzech ci¸agach Jeśli an ≤ bn≤ cn dla dostatecznie dużych n i ci¸agi an oraz bn maj¸a równe granice, to ci¸ag bn też ma granic¸e i zachodzi wzór
n→∞lim an= lim
n→∞bn = lim
n→∞cn.
Dowód
Załóżmy najpierw, że granica g jest skończona. Niech ε > 0 b¸edzie dowoln¸a liczb¸a. Ist- nieje liczba naturalna nε, taka, że g − ε < an ≤ bn ≤ cn < g + ε, zatem |bn − g| < ε.
Udowodniliśmy wi¸ec, że g = limn→∞bn.
Teraz moż emy si¸e zaj¸ać przypadkiem granicy nieskończonej. Jak zwykle wystarczy si¸e zaj¸ać jedn¸a z dwóch nieskończoności, tym razem dla odmiany g = −∞. Niech M b¸edzie liczb¸a rzeczywist¸a. Ponieważ limn→∞cn = −∞, wi¸ec istnieje liczba natralna nM, taka, że dla n > nM, zachodzi nierówność bn ≤ cn < M, wi¸ec w szczególności bn < M.
Dowód został zakończony.
Uwaga
Z dowodu wynika, że w przypadku granicy nieskończonej np. równej −∞, użycie jednego z dwóch zewn¸etrznych ci¸agów w tym przypadku ci¸agu an jest zb¸edne. Prawdziwe jest wi¸ec
Twierdzenie(o dwóch ci¸agach)
Jeśli dla dostatecznie dużych n zachodzi nierówność bn ≤ cn i i ci¸ag (cn) ma granic¸e
−∞, to również ci¸ag (bn) ma granic¸e −∞. I analogicznie, jeśli dla dostatecznie dużych n zachodzi nier ´wność an ≤ bn i granic¸a ci¸agu an jest +∞, to również +∞ = limn→∞bn. Na koniec podamy definicj¸e podci¸agu.
Definicja podci¸agu
Jeśli (nk) jest rosn¸acym ci¸agiem liczb naturalnych, to ci¸ag (ank) nazywamy podci¸agiem ci¸agu (an).
Na przykład ci¸ag a2,a4,a6, . . . czyli ci¸ag (a2k)jest podci¸agiem ci¸agu (an). W tym przy- padku n = 2k.
Na ćwiczenia 1 podano list¸e zadaniow¸a Lista 1.pdf.
