Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an): (a) an= (2n)!4n (b) an=√ n2+ n − n 6

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 14 grudnia 2017

Zadania przygotowuj¡ce do kolokwium nr 1

1. W oparciu o zasad¦ indukcji matematycznej wykaza¢, »e:

(a)

n

P

k=1

5^−k = ¹⁻⁵₄⁻ⁿ;

(b) liczba 4ⁿ+ 15n − 1 jest podzielna na 9 dla ka»dej liczby naturalnej n.

2. Niech b¦dzie dany zbiór A =n

n²+1

2n² : n ∈ No

.Wyka», »e ¹₂ jest kresem dolnym zbioru A.

3. Wyka», »e zbiór A = {(−1)ⁿn² : n ∈ N} jest nieograniczony.

4. Zbadaj czy zbiór A = 2 + ₃¹ⁿ : n ∈ N

jest ograniczony. Czy posiada element najmniejszy, najwi¦kszy?

5. Zbadaj monotoniczno±¢ ci¡gów (an):

(a) a_n= _(2n)!⁴ⁿ (b) a_n=√

n²+ n − n 6. Zbadaj ograniczono±¢ ci¡gów (an):

(a) a_n= ₄n⁴ⁿ+3 (b) a_n=√

n + 3 −√ n + 1

7. Korzystaj¡c z twierdzenia o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym wyka» zbie»no±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym an= ⁿ_n²2⁺¹−3.

8. Oblicz granice poni»szych ci¡gów(korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów lub twier- dzenia o trzech ci¡gach lub twierdzenia o dwóch ci¡gach):

(a) a_n=√

3n²+ 2n − 5 − n√

3 (b) a_n= √ⁿ

10ⁿ+ 9ⁿ+ 8ⁿ

(c) a_n = ²³ⁿ⁻²₄2n+3^−53n+32n+1 (d) a_n= _1·3¹ + _3·5¹ + . . . + (2n−1)·(2n+1)¹

(e) an= √ⁿ

4 · 3ⁿ+ 5 · 7ⁿ (f ) an= _n2¹+1 +_n2¹+2 + · · · + _n2¹+n

(g) a_n= _4n²ⁿ2−3 cos n^{2+sin n2} (h) a_n= ⁿ q 2

3

n

+ ³₄
n

(i) a_n= (5n + (−1)ⁿ· n) (j) a_n=

3n²+2 3n²+1

n²−3

(k) a_n =

n²+2 3n²+1

n²−3

(l) a_n= log¹

2

n²−2 8n²

(m) a_n = _n2−n cos(2n^{−2n3+7 2}).

9. Korzystaj¡c z kryterium d'Alemberta wyka», »e

n→∞lim 2ⁿ· n!

nⁿ = 0.

10. Wykaza¢, »e ci¡g (an) o wzorze ogólnym an = 1 +_n+1ⁿ cos^nπ₂ nie ma granicy.

11. W oparciu o denicj¦ Heine'go granic funkcji wykaza¢, »e:

(a) lim

x→∞

x²+x−6

x²−4 = ⁵₄ (b) lim

x→∞

√x²+ 4x −√

x²− 4x
= 4 12. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego granicy funkcji wykaza¢, »e:

(a) lim

x→−∞(3^x+ 4) = 4 (b) lim

x→3(x² − 1) = 8 (c) lim

x→^π₃ cos x = ¹₂

1

dr Krzysztof ›yjewski Analiza matematyczna 1; MatematykaS-I⁰.lic. 14 grudnia 2017

13. Oblicz granice funkcji (lub wyka» nieistnienie granicy):

(a) lim

x→2

x³−2x²+x−2

x³−x²−4x+4 (b) lim

x→−4

x³+x²−12x

x³+64 (c) lim

x→−∞

√4−x

√2−3x

(d) lim

x→−∞ 2x +√

4x²+ 3x − 1

(e) lim

x→0

√ x²+1−√

x+1 1−√

x+1 (f ) lim

x→0

√3

1+x−1 x

(d) lim

x→0

log₃(1+sin 5x)

e^3x−1 (e) lim

x→0 sin 5x

arcsin 3x (f ) lim

x→∞

x²+3x+5 x²+2

3x²

(g) lim

x→1

|x−1|³

x³−x² (h) lim

x→32^|x−3|x−3 (i) lim

x→0

arctan 4x sin 5x

(j) lim

x→0 6^x−3^x

2x (k) lim

x→0 4^x−1

arcsin 2x (l) lim

x→0(cos x)^x21 . 14. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech granicach wyka»:

(a) lim

x→0⁺

√x cos _x¹3 = 0 (b) lim

x→−∞e^{x+sin 3x} = 0 (c) lim

x→∞

[x+1]

2x−1 = ¹₂ 15. Korzystaj¡c z twierdzenia o dwóch granicach wyka»:

(a) lim

x→+∞(sin x − e^x) = −∞ (b) lim

x→π

_2x

π ctg²x = +∞

16. W oparciu o denicj¦ Heine'go ci¡gªo±ci funkcji wykaza¢ ci¡gªo±¢ poni»szych funkcji we wska- zanych punktach:

a) f(x) = ^5x+2_x+1; x₀ ∈ R, b) f(x) = −¹₂x²; dla x ≤ 2

x; dla x > 2 x₀ = 2, 17. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji wykaza¢ ci¡gªo±¢ poni»szych funkcji we wska-

zanych punktach:

(a) f (x) = 3x²− 2x + 1 w punkcie x0 = −1 (b) f (x) = sin(sin x) w punkcie x0 = 0.

18. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w dziedzinie, w punktach nieci¡gªo±ci okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci:

a) f(x) =







√x+1−1

x dla x < 0

4 dla x = 0

|x|+x

4x dla x > 0

b) f(x) =







e^−x1 dla x < 0

0 dla x = 0

x²cos¹_x dla x < 0 c)f(x) =  cos^πx₂ dla |x| ≤ 1

|x − 1| dla |x| > 1. d)f(x) =

 _{1−cos x}

x² dla x 6= 0

1

2 dla x = 0.

19. Dobra¢ parametry tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =







−√

x + 1 arctg ¹_x dla x < 0

a dla x = 0

√x + 1 arctg ¹_x dla x > 0

(b) g(x) =







2b + e^1x dla x < 0

4 dla x = 0

sin(ax)

3x dla x > 0.

20. Wyka», »e funkcja f(x) = sin^πx₂ + 2x³ − ¹₃ posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale (−1, 1).

21. Poka» jednostajn¡ ci¡gªo±¢ funkcji f(x) = cos²x na zbiorze [0, +∞).

22. Poka», »e funkcja f(x) = ¹_x nie jest jednostajnie ci¡gªa na (0, 1].

2