Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018
dr inż. Sebastian Korczak
Politechnika Warszawska
Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych
Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki
http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 2
Wykład 4
Analityczna metoda wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów płaskich.
Mechanizmy krzywkowe.
Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 3
Metody wyznaczania prędkości i przyspieszeń mechanizmów
Metody wykreślne Metoda analityczna - metoda rzutów prędkości,
- metoda chwilowego środka obrotu,
- metoda chwilowego środka przyspieszeń, - metoda prędkości obróconych,
- metoda rozkładu prędkości,
- metoda rozkładu przyspieszeń, - metoda planu prędkości,
- metoda planu przyspieszeń.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 4
Ograniczenie metody analitycznej
Ma zastosowanie do łańcuchów kinematycznych zamkniętych
(zarówno prostych jak i złożonych).
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 5
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 6
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O xy .
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 7
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O
xy.
2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie
ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 8
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O
xy.
2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.
3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często
występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 9
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O
xy.
2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.
3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.
4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich
orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że
będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych
a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 10
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich
orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że
będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych
a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 11
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
1. Wprowadzić kartezjański układ współrzędnych O
xy.
2. Człony mechanizmu zastąpić układem wektorów, które mogą w czasie ruchu mechanizmu zmieniać swoją długość, położenie i orientację.
3. Wprowadzone wektory muszą tworzyć zamknięte wieloboki, często występując w obrębie grup strukturalnych mechanizmu.
4. Dla wszystkich wektorów wprowadzić jednakowo określone kąty ich orientacji względem wybranej osi (tzw. kąty skierowane). Przyjmijmy, że będą to kąty między dodatnią półosią osi x układu współrzędnych a dodatnim kierunkiem wektora, mierzone z dodatnim znakiem przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
5. Dla każdego z wieloboku wektorów zapisać wektorowe równanie ich sumy, np.:
∑ i=1 i=n
⃗l i = 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 12
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:
x: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |cos φ i = 0 y: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |sin φ i =0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 13
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:
(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)
x: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |cos φ i = 0 y: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |sin φ i = 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 14
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:
(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)
Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.
x: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |cos φ i = 0 y: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |sin φ i = 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 15
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:
(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)
Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.
W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów.
x: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |cos φ i = 0 y: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |sin φ i = 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 16
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
6. Zrzutować równania wektorowe na osie układu współrzędnych, np.:
(przyjęcie jednakowej procedury wprowadzania kątów skierowanych pozwala wykonać powyższe rzutowanie bez konieczności rozpatrywania znaków)
Na tym etapie warto oznaczyć, które długości wektorów i kąty skierowania są znane (są stałe bo wynikają z geometrii mechanizmu), a które się zmieniają i są niewiadomymi funkcjami.
W prawidłowo postawionym zadaniu na koniec tego etapu liczba niewiadomych powinna być równa liczbie równań rzutów.
7. Rozwiązać równania rzutów wyznaczając niewiadome funkcje.
Otrzymujemy na tym etapie funkcyjny opis ruchu mechanizmu.
x: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |cos φ i = 0 y: ∑
i=1 i=n
|⃗ l i |sin φ i = 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 17
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe.
Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian
długości wektorów i przyspieszeń kątowych.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 18
Procedura postępowania w metodzie analitycznej wyznaczania prędkości i przyspieszeń
punktów mechanizmów płaskich
8. Zróżniczkować wyznaczone w pkt. 7 funkcje aby uzyskać prędkości zmian długości wektorów i ich prędkości kątowe.
Dokonać kolejnego różniczkowania w celu uzyskania przyspieszeń zmian długości wektorów i przyspieszeń kątowych.
9. Jeśli w pkt. 8 nie uzyskano pożądanych informacji należy zróżniczkować
równania rzutów z pkt. 6. i wyznaczyć prędkości. Po kolejnym
różniczkowaniu można wyznaczyć przyspieszenia. Bardzo pomocnicze
może okazać się na tym etapie obrócenie układu współrzędnych o pewien
kąt, co upraszcza niektóre składniki w równaniach rzutów.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 19
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 20
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x
y
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 21
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 22
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 23
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 24
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 25
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
φ b
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 26
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
φ b
φ c
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 27
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
φ b
φ c
|⃗ a|=r
|⃗ b|=l
|⃗ c|=c(t)
φ (t)
φ b ( t )
φ c =0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 28
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
φ b
φ c
⃗ a + ⃗b =⃗ c
|⃗ a|=r
|⃗ b|=l
|⃗ c|=c(t)
φ (t)
φ b ( t )
φ c =0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 29
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
A
B
C
Dane:
|AB| = r
|BC| = l φ(t)
Szukane:
v
C, a
Cφ(t)
x y
⃗ a
⃗ c
⃗b
φ b
φ c
⃗ a + ⃗b = ⃗ c
|⃗ a|=r
|⃗ b|=l
|⃗ c|=c(t)
φ (t) φ b ( t ) φ c =0
x: r cos φ (t) +l cos φ b (t )= c(t)cos0
y: r sin φ (t )+ l sin φ b ( t)= c(t )sin 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 30
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 31
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 32
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t )
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 33
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t))
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 34
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t)) sin 2 φ b ( t)+cos 2 φ b (t )=1
cos φ b ( t )=± √ 1−sin 2 φ b ( t )
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 35
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t)) sin 2 φ b ( t)+cos 2 φ b (t )=1
cos φ b ( t )=± √ 1−sin 2 φ b ( t )
cos φ b (t )=± √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 36
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t)) sin 2 φ b ( t)+cos 2 φ b (t )=1
cos φ b ( t )=± √ 1−sin 2 φ b ( t )
cos φ b (t )=± √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
c(t)=r cos φ (t)±l √ 1−λ 2 sin 2 φ (t )
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 37
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t)) sin 2 φ b ( t)+cos 2 φ b (t )=1
cos φ b ( t )=± √ 1−sin 2 φ b ( t )
cos φ b (t )=± √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
c(t)=r cos φ (t)±l √ 1−λ 2 sin 2 φ (t ) ale dla φ (t)=0
musi być c(t )=r+l
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 38
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t )cos 0
r sin φ (t) +l sin φ b (t )= c(t)sin 0 2 niewiadome
r cos φ (t )+ l cos φ b ( t)= c(t ) r sin φ (t) +l sin φ b (t )= 0
sin φ b ( t)=− r
l sin φ (t)=−λ sin φ (t ) φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t)) sin 2 φ b ( t)+cos 2 φ b (t )=1
cos φ b ( t )=± √ 1−sin 2 φ b ( t )
cos φ b (t )=± √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
c(t)=r cos φ (t)±l √ 1−λ 2 sin 2 φ (t ) ale dla φ (t)=0
musi być c(t )=r+l
c(t)=r cos φ (t)+l √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 39
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
c(t)=r cos φ (t)+l √ 1−λ 2 sin 2 φ ( t)
v C (t )= dc(t)
dt =− r ˙φ (t )sin φ (t)− −2l λ 2 ˙φ (t)sin φ (t )cos φ (t) 2 √ 1−λ 2 sin 2 φ (t )
a C (t )= dv C ( t )
dt =...
ruch wodzika
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 40
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
obliczenia w programie wxmaxima
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 41
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
l+r
l-r
pr ze m ie sz cz en ie w od zi ka
0 π 2π 3π 4π
Kąt obrotu korby
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 42
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
c(t)
c(t)
t
t
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 43
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm korbowo-wodzikowy
ruch korbowodu
φ b (t )=−arcsin(λ sin φ (t))
ω b ( t)= d φ b ( t)
dt = −λ ˙φ (t )cos φ (t)
√ 1−λ 2 sin 2 φ ( t )
ε b ( t)= d ω b (t )
dt =
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 44
A B
E
D
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
e
f
φ(t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 45
A B
E
D
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e
f
φ(t)
⃗ a
⃗b
⃗ e
⃗f
x y
Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 46
A B
E
D
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e
f
φ(t)
⃗ a
⃗b
⃗ e
⃗f
x y
φ
Aφ e φ f
φ b Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 47
A B
E
D
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e
f
φ(t)
⃗ a
⃗b
⃗ e
⃗f
x y
φ
Aφ e φ f
φ b Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
|⃗ a|=r
|⃗ e|=e
|⃗ f |=f
φ a (t )=270 o −φ (t )
φ e =180 o
φ f =270 o
|⃗ b|=b(t)
φ b (t )
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 48
A B
E
D
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e
f
φ(t)
⃗ a
⃗b
⃗ e
⃗f
x y
φ
Aφ e φ f
φ b Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
|⃗ a|=r
|⃗ e|=e
|⃗ f |=f
φ a (t )=270 o −φ (t )
φ e =180 o
φ f =270 o
|⃗ b|=b(t) φ b (t )
⃗ a =⃗b + ⃗ e + ⃗f
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 49
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
|⃗ a|=r |⃗ e|=e
|⃗ f |=f
φ a ( t )=270 o −φ ( t ) φ e = 180 o φ f = 270 o
|⃗ b|=b(t) φ b (t )
x: r cos(270 o −φ ( t ))=b(t)cos φ b ( t)+ e cos180 o + f cos 270 o y: r sin(270 o −φ (t ))= b(t)sin φ b (t )+ e sin 180 o + f sin 270 o
⃗ a =⃗b + ⃗ e + ⃗f
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 50
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy Dane:
|AB| = r e, f, φ(t) Szukane:
prędkość ω
2i przyspieszenie kątowe ε
2członu ED
|⃗ a|=r |⃗ e|=e
|⃗ f |=f
φ a ( t )=270 o −φ ( t ) φ e = 180 o φ f = 270 o
|⃗ b|=b(t) φ b (t )
x: −r sin φ (t)=b(t )cos φ b ( t )−e y: −r cos φ (t)= b(t )sin φ b (t )−f
x: r cos(270 o −φ ( t ))=b(t)cos φ b ( t)+ e cos 180 o + f cos 270 o y: r sin(270 o −φ (t ))= b(t)sin φ b (t )+ e sin 180 o + f sin 270 o
⃗ a =⃗b + ⃗ e + ⃗f
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 51
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e −r sin φ (t)= b(t )cos φ b (t )
f −r cos φ (t)=b(t )sin φ b ( t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 52
Metoda analityczna – przykład:
mechanizm jarzmowy
e −r sin φ (t)= b(t )cos φ b (t )
f −r cos φ (t)=b(t )sin φ b ( t)
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 53
E A
B C
D
Metoda analityczna – przykład
f g
h
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 54
Mechanizmy krzywkowe
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 55
Mechanizmy krzywkowe
Inspiracje
źródło: psmotion.com
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 56
Mechanizmy krzywkowe
Inspiracje w sztuce
Mechanics Alive! Cabaret Mechanical Theatre Automata Exhibition
https://www.youtube.com/watch?v=kv1CpJi60xQ
The "Draughtsman-Writer" automaton by Henri Maillardet
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 57
Mechanizmy krzywkowe
Podstawowe informacje
Mechanizm krzywkowy – mechanizm składający się z krzywki i popychacza tworzących parę kinematyczną wyższą klasy IV.
Krzywka porusza się najczęściej ruchem obrotowym (czasem postępowym, a popychacz ruchem postępowo zwrotnym (czasem wahadłowym).
zalety
• prosta konstrukcja,
• łatwość wykonania,
• dowolne wymiary,
• łatwość uzyskania skomplikowanych przebiegów.
wady
• niska wytrzymałość przy dużych obciążeniach,
• brak adaptacyjności
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 58
Mechanizmy krzywkowe
Podział mechanizmów krzywkowych:
płaskie / przestrzenne
z popychaczem centralnym / z popychaczem mimośrodowym z zamknięciem kinematycznym / z zamknięciem siłowym
Podstawowe informacje
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 59
Mechanizmy krzywkowe
Przykłady popychaczy
talerzykowy rolkowy
ostrzowy
grzybkowy
źródło: T. Kołacin, „Podstawy teorii maszyn i automatyki”, OW PW
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 60
Mechanizmy krzywkowe
Przykłady
wahadłowy mimośrodowy
płaski ramkowy
źródło: T. Kołacin, „Podstawy teorii maszyn i automatyki”, OW PW
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 61
Mechanizmy krzywkowe
Przykłady
przestrzenna krzywka walcowa
przestrzenna krzywka globoidalna
krzywka o ruchu postępowym
źródło: T. Kołacin, „Podstawy teorii maszyn i automatyki”, OW PW
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 62
Analiza i synteza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego – wyznaczenie przebiegu przemieszczenia, prędkości i przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki dla zadanej konstrukcji i geometrii mechanizmu.
Synteza mechanizmu krzywkowego – zaprojektowanie geometrii
krzywki dla danej konstrukcji mechanizmu krzywkowego w celu
uzyskania pożądanego przebiegu przemieszczenia, prędkości lub
przyspieszenia popychacza w funkcji kąta obrotu krzywki. Dodatkowo
narzuca się pewne ograniczenia, np. maksymalny wznios popychacza,
maksymalną prędkość lub przyspieszenie. Należy sprawdzić również
trzecią pochodną wzniosu popychacza (udar), która powinna mieć
skończone wartości.
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 63
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego metodą wykreślną poprzez zastępowanie pary IV klasy parami V klasy.
O O
A B
AB – promień krzywizny krzywki w punkcie styku z
popychaczem
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 64
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego metodą wykreślną poprzez zastępowanie par IV klasy parami V klasy.
O
A
dla fragmentu prostoliniowego
O
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 65
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 66
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 67
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 68
...
kąt
w zn io s
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 69
...
kąt
w zn io s
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 70
...
kąt
w zn io s
...
kąt
pr ęd ko ść
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 71
...
kąt
w zn io s
...
kąt
pr ęd ko ść
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 72
...
kąt
w zn io s
...
kąt
pr ęd ko ść
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 73
...
kąt
w zn io s
...
kąt
pr ęd ko ść
...
kąt
pr zy sp ie sz en ie
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 74
...
kąt
w zn io s
...
kąt
pr ęd ko ść
...
kąt
pr zy sp ie sz en ie
Analiza mechanizmów krzywkowych
Analiza mechanizmu krzywkowego poprzez graficzne kreślenie
wzniosu popychacza i graficzne różniczkowanie
26.10.2017 TMiPA, Wykład 4, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego studentów PW 75