Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

(1)

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

dr inż. Sebastian Korczak

(2)

Wykład 11

Analiza transmitancji – przykład.

Algebra schematów blokowych.

Regulator dwustanowy i proporcjonalny.

(3)

20.12.2019 TMiPA, Wykład 11, Sebastian Korczak, tylko do użytku edukacyjnego 3

Przykład

Obliczyć i naszkicować odpowiedź na wymuszenie skokowe oraz charakterystykę Bodego dla układu o transmitancji G(s) = 3s.

(4)

Przykład

(5)

Przykład

L(ω) [dB]

ω [rad/s]

(6)

Przykład

ω [rad/s]

φ(ω) [rad]

(7)

Algebra schematów blokowych

(8)

Algebra schematów blokowych transmitancja

X(s) Y(s)

G(s)

(9)

Algebra schematów blokowych węzeł informacyjny

X(s)

X(s) X(s)

X(s)

Jedno wejście, wiele wyjść

(10)

Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny

A(s) ₊

B(s)

+

(11)

Algebra schematów blokowych węzeł sumacyjny

A(s) ₊

B(s)

+

A(s)+B(s)-C(s)

–

C(s)

Wiele wejść, jedno wyjście

(12)

Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

(13)

Algebra schematów blokowych połączenie szeregowe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

G_R(s)=G₁(s) G₂(s)

(14)

Algebra schematów blokowych połączenie równoległe

G₁(s)

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₂(s)

G_R(s)= - G₁(s) + G₂(s) + G₃(s) -

+ G₃(s)

+

(15)

Algebra schematów blokowych połączenie ze sprzężeniem zwrotnym

G₂(s) +

–

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

(16)

G₂(s) +

+

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

G_R= G₁

1−G₁G₂

(17)

G₂(s) –

+

x(s) y(s) x(s) y(s)

G_R(s) G₁(s)

G_R= −G₁ 1−G₁G₂

(18)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G (s)

+ –

x(s) y(s)

(19)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(20)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G (s)

+ –

x(s) y(s)

G_A

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(21)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

x(s) y(s)

G_A G_B=G _A⋅G₄

G_A= G₂ 1+G₂G₃

(22)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G (s)

+ –

x(s) y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

(23)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G₃(s)

+ –

X(s) Y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

G_R= Y ( s)

X (s)= G₁

1+G₁⋅G_B

(24)

Przykład 1

G₁(s)

G₄(s) +

–

G₂(s)

G (s)

+ –

X(s) Y(s)

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

G_R= Y ( s)

X (s)= G₁

1+G₁⋅G_B

G_A= G₂ 1+G₂G₃ G_B=G_A⋅G₄

(25)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(26)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

problem krzyżujących się linii (ale nie połączonych)

(27)

zmiana kolejności węzłów informacyjnych

X(s)

(28)

zmiana kolejności węzłów informacyjnych

X(s) X(s)

(29)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(30)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

(31)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A=G₂G₃

(32)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A(s)

G_A=G₂G₃

(33)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A(s)

G_A=G₂G₃

G_B= G₁ 1−G₁G_A

(34)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃

G_B(s)

G_B= G₁ 1−G₁G_A

(35)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

G_A=G₂G₃ G_B= G₁

1−G₁G_A

G_B

G_B(s)

(36)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

1−G₁G_A

G_B

G_B(s) 1

(37)

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

1−G₁G_A

G_B

G_C=−G₄+1

G_B(s) 1

(38)

1

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+

x(s) – y(s)

G_A

1−G₁G_A

G_B G_C(s)

G_C=−G₄+1

G_B(s)

(39)

Przykład 2

1−G₁G_A G_C=−G₄+1

G_C(s) G_B(s)

x(s) y(s)

G_R= Y ( s)

X (s)=G_BG_C

(40)

1

Przykład 2

G₁(s) G₄(s)

+ +

G₂(s) G₃(s)

+ –

G_A

1−G₁G_A

G_B

G_C=−G₄+1

G_C

G_R= Y (s)

X ( s)=G_BG_C

x(s) y(s)

(41)

G(s) + +

X(s) Y(s)

A(s)

G(s)

+ G(s)

+

X(s) Y(s)

A(s)

przeniesienie węzła sumacyjnego za blok transmitancji

Y=(X+A)G Y=XG+AG

(42)

+ + A(s)

B(s) C(s)

- +

zmiana kolejności węzłów sumacyjnych

+ - A(s)

C(s) B(s)

+ + Przykład 1

(43)

- + A(s)

B(s) C(s)

+ -

A(s) C(s) B(s)

Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI!

(44)

- + A(s)

B(s) C(s)

+ -

+ + A(s)

C(s) B(s)

- + Przykład 2 - UWAGA NA ZNAKI!

(45)

G(s) G(s)

G(s)

zmiana kolejności bloku transmitancji i węzła informacyjnego

(46)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

(47)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

(48)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

(49)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

(50)

Przykład 3

1 / (s+1)

5k +

+ +

x(s) – y(s)

1 / (s+1)

1 1

(51)

Przykład 4

3s

10

2/(s+1)

x(s) y(s)

+ –

+ + –+ +

(52)

Przykład 4

3s

10

2/(s+1)

x(s) y(s)

+ –

+ + –+ +

(53)

Przykład 4

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+ +

(54)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ – +

+

(55)

Przykład 4

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ – +

+

(56)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+

+ 10

(57)

Przykład 4

10− 2

s+1+3 s−1

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+ –+

+ 10

(58)

Przykład 4

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+

– + +

10

10− 2

s+1+3 s−1

(59)

Przykład 4

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) + y(s)

+

– + +

10

10− 2

s+1 +3 s−1

(60)

Przykład 4

10

2/(s+1)

y(s)

+

+ – +

10

10− 2

s+1 +3 s−1 10+10− 2

s+1+3 s−1

x(s)

(61)

Przykład 4

3s-1

10

2/(s+1)

x(s) ⁺ y(s)

+

– + + 10

10− 2

s+1 +3 s−1 3 s²+22 s+17

s+1

(62)

Sterowanie w zamkniętej pętli

OBIEKT

u(t)=x(t) y(t)

REGULATOR

y_d(t )

pożądane wyjście

obiektu sygnał

sterujący

wyjście obiektu wejście

obiektu

+ -

e (t)

błąd sterowania

(63)

Podstawowe regulatory

● dwustanowy

● trójstanowy

● Proporcjonalny (P)

● Całkujący (I)

● Różniczkujący (D)

● Proporcjonalno-całkująco-różniczkujący (PID)

REGULATOR u(t)

sygnał sterujący

e(t)

błąd sterowania

(64)

Regulator dwustanowy

wejście wyjście

(65)

wejście wyjście

rzeczywisty (z histerezą)

(66)

u(t)

sygnał sterujący

e(t)

błąd sterowania

u(t)

e(t)

u(t)=

{

^u^max , jeżeli e>e₀

u , jeżeli e<−e

}

u_max

u_min e₀

−e₀

(67)

Przekaźnik mechaniczny

źródło: https://www.components.omron.com/relay-basics/basic

źródło: https://www.sparkfun.com/products/15093

Element elektroniczny (optoizolator, MOSFET)

(68)

Regulator trójstanowy

wejście wyjście

(69)

e(t) u(t)

Regulator proporcjonalny (P)

wejście wyjście

u(t)=k _P⋅e(t) G(s)=U (s)

E (s) =k_P

(70)

Sterowanie prędkością

(cruise control, autocruise, tempomat)

f (t ) v (t )

REG.

v_d(t )

prędkość zadana

+ -

e(t)

prędkość zmierzona siła napędowa

(71)

Adaptacyjne sterowanie prędkością (adaptive cruise control)

d(t ) v (t )

Regulator

v_d(t )

prędkość

zadana prędkość

zmierzona siła napędowa

siła hamująca

b(t )

odległość do

poprzedzającego pojazdu

(72)

Sterowanie temperaturą silnika

Silnik

pompa termostat

Chłodnica Przelew (bypass) Nagrzewnica

temperatura cieczy

Termo-włącznik wentylatora

(73)

Przykład 1

m dv (t )

dt = f (t )−d (t ) G ( s)=V (s)

F (s)= 1 ms+c

Sterowanie prędkością (tempomat)

pojazd na płaskim podłożu m – masa pojazdu,

f(t) – siła napędowa,

d(t)=c*v(t) – opór powietrza, v(t) – prędkość pojazdu

(74)

Przykład 1

m dv (t )

dt = f (t )−d (t ) G ( s)=V (s)

F (s)= 1 ms+c

POJAZD

f (t ) v (t )

REGULATOR

v_d(t )

Prędkość zadana

+ -

e(t)

Prędkość zmierzona Siła

napędowa

pojazd na płaskim podłożu m – masa pojazdu,

f(t) – siła napędowa,

d(t)=c*v(t) – opór powietrza, v(t) – prędkość pojazdu

Błąd prędkości

(75)

Przykład 1

POJAZD

G(s) = 1/(ms+c)

F (s) V (s)

REGULATOR “P”

G_P(s) = k

V _d(s)

+ -

E (s)

zadana

prędkość zmierzona

prędkość siła

napędowa

(76)

Przykład 1

G_Z(s)= G_P(s)G(s) 1+G_P(s)G(s)

POJAZD

G(s) = 1/(ms+c)

F (s) V (s)

REGULATOR “P”

G_P(s) = k

V _d(s)

+ -

E (s)

zadana

prędkość siła

napędowa

(77)

Przykład 1

V (s) V _d(s)

zadana prędkość

G_R(s)= k

m s+c+k

wejście: v_d(t )=v₀1(t) Transformata wejścia: V _d(s)=v₀ 1 s

(78)

Przykład 1

V (s) V _d(s)

zadana prędkość

G_R(s)= k

m s+c+k

wejście: v_d(t )=v₀1(t) Transformata wejścia: V _d(s)=v₀ 1 s

V (s)=V _d (s )G_Z (s)= v₀ k

s ⁽m s+c+k ⁾ = v₀ k c+k

c+k m

s

(

^s+ ^c+k_m

)

wyjście:

(79)

Przykład 1

v ⁽t ⁾=v₀ k

c+k

(

^1−exp

⁽

⁻^c+k_m ^t

⁾ )

t

v_d ⁽t ⁾

T = m

c+k

[

Ns/m^kg =s

]

T v₀ k

c+k v₀

v ⁽t ⁾

(80)

Przykład 1

v₀

dla k₂>k₁ dla k₁

v ⁽t ⁾=v₀ k

c+k

(

^1−exp

⁽

⁻^c+k_m ^t

⁾ )

(81)

Przykład 1

t

v₀

dla k₃≫k₂

teoretyczna

v ⁽t ⁾=v₀ k

c+k

(

^1−exp

⁽

⁻^c+k_m ^t

⁾ )

(82)

Przykład 1

v₀

rzeczywista – dla ograniczenia maksymalnej siły napędowej

dla k₃≫k₂

teoretyczna

v ⁽t ⁾=v₀ k

c+k

(

^1−exp

⁽

⁻^c+k_m ^t

⁾ )

(83)

Przykład 1

t

siła napędowa

f (t )

(84)

Przykład 1

dla k₂>k₁ dla k

dla k₃≫k₂

teoretyczna siła

napędowa

f (t )

(85)

Przykład 1

t

f _max

dla k₃≫k₂

teoretyczna siła

napędowa

rzeczywista

f (t )

(86)

Przykład 1

UWAGA!

ograniczenia wartości sygnałów

=

układ nieliniowy

=

model liniowy (opis z użyciem transmitancji) nie jest prawdziwy,

ale można go stosować z ograniczeniami

(87)

Ograniczenie wartości sygnałów (saturacja)

wejście wyjście

(88)

wejście wyjście

Strefa nieczułości

(89)

Przykład 1

G_Z(s)= k

m s+c+k , G_Z( j ω)= k

mj ω+c+k P (ω)= k (c+k )

m²ω²+(c+k )² , Q (ω)= −k mω

m² ω²+(c+k )²

P(ω) Q(ω)

ω=0 ω=∞

k 2(c+k)

k c+k 0

ω=(c +k)/m

−k 2(c+k)

dla k >0

(90)

Przykład 1

L(ω)=20 log A(ω)=20 log|k|−20 log √^m²^ω²⁺⁽^{c+k )}²

A(ω)=

√

^P²⁺^Q²^=|k|/

√

^m²^ω²⁺^c+k

φ(ω)=arctan Q

P =arctan

(

⁻^c+k^{m ω}

)

φ(ω) [rad]

− π4

ω [rad/s]

c+k m

(ω) [dB]

ω [rad/s]

c+k m

−20 dB/dek

(91)

Przykład 1

PODSUMOWANIE

regulator proporcjonalny + element inercyjny I rzędu

● stały błąd w stanie ustalonym

● zwiększenie wzmocnienia regulatora = spadek błędu stanu ustalonego i spadek czasu narastania

● ograniczenie maksymalnej wartości sygnału sterującego = ograniczenie minimalnego czasu narastania

● ograniczenia sygnałów = układ jest nieliniowy

(92)

Przykład 1

PODSUMOWANIE

regulator proporcjonalny + element inercyjny I rzędu

● stały błąd w stanie ustalonym

● zwiększenie wzmocnienia regulatora = spadek błędu stanu ustalonego i spadek czasu narastania

● ograniczenie maksymalnej wartości sygnału sterującego = ograniczenie minimalnego czasu narastania

● ograniczenia sygnałów = układ jest nieliniowy

(93)

Przykład 2

Sterowanie poziomem wody

x₁(t)[m³/s] - dopły wody (sterowany)

x₂(t )[m³/s] - odpływ wody (niesterowany, nie mierzony) h(t)[m] - poziom wody w zbiorniku

A [m²] - pole powierzchni przekroju zbiornika prostopadłościennego h(t)

x₂(t) x₁(t)

v (t )[m³] - objętość wody w zbiorniku

(94)

Przykład 2

H ( s) 1

x₁(t)[m³/s] - dopły wody (sterowany)

x₂(t )[m³/s] - odpływ wody (niesterowany, nie mierzony) h(t)[m] - poziom wody w zbiorniku

dv (t )

=x (t )−x (t )

A [m²] - pole powierzchni przekroju zbiornika prostopadłościennego h(t)

x₂(t) x₁(t)

v (t )[m³] - objętość wody w zbiorniku

(95)

Przykład 2

ZBIORNIK G(s) = 1/(As)

H (s)

zmierzony poziom

wody

+-

X₁(s)

X₂(s)

dopływ wody

odpływ wody

(96)

Przykład 2

H (s)

REGULATOR

H_d(s)

zadany poziom

wody

+ -

E (s)

zmierzony poziom

wody

+-

X₁(s)

X₂(s)

dopływ wody

odpływ wody

(97)

Przykład 2

H (s)

REGULATOR

H_d(s)

zadany poziom

wody

+ -

E (s)

zmierzony poziom

wody

+-

X₁(s)

X₂(s)

dopływ wody

odpływ wody

Proponowane regulatory:

● idealny dwustanowy

● dwustanowy z histerezą

● proporcjonalny

(98)

Przykład 2

regulator idealny dwustanowy

4 6 8 10 12 14 16 18

hd(t) h(t) x1(t) x2(t)

(99)

Przykład 2

regulator dwustanowy z histerezą

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

czas

(100)

Przykład 2

regulator proporcjonalny (małe wzmocnienie k_P)

4 6 8 10 12 14 16

(101)

Przykład 2

0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0

0 2 4 6 8 10 12 14 16

czas

regulator proporcjonalny (duże wzmocnienie k_P)

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2019/2020

{

}

(

)

(

(

) )

[

]

(

(

) )

(

(

) )

(

(

) )

√

√

(

)

⁽

⁾ )

⁽

⁾ )

⁽

⁾ )

⁽

⁾ )