Teoria maszyn i podstawy automatykisemestr zimowy 2017/2018

(1)

Teoria maszyn i podstawy automatyki semestr zimowy 2017/2018

dr inż. Sebastian Korczak

Politechnika Warszawska

Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych

Instytut Podstaw Budowy Maszyn Zakład Mechaniki

http://www.ipbm.simr.pw.edu.pl/

(2)

Wykład 6

Dynamika maszyn.

Redukcja mas i sił.

Równanie ruchu maszyny.

Licencja: tylko do edukacyjnego użytku studentów Politechniki Warszawskiej.

(3)

Etapy pracy maszyny

Dynamika maszyn

czas

prędkość kątowa

rozruch ruch ustalony wybieg

(4)

Idea redukcji

Redukcja mas i sił

¨x₁(t )=F₁(x₁, x₂, ... , t)

¨x₂(t )=F₂(x₁, x₂,... , t) ...

¨x_n(t )=F_n(x₁, x₂,... ,t ) +wiązania

+ ograniczenia

(5)

Idea redukcji

układ o wielu stopniach

swobody

lub

m_r(t)

F_r(t ) x_r(t)

I_r(t) M_r(t)

φ_r(t)

układ o jednym stopniu swobody

(6)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

Całkowita energia kinetyczna układu

E_k(m_i, I_i, v_i, ω_i)

(7)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

m_r(t)

F_r(t ) x_r(t)

E_k = 1

2 m_r v_r²

masa

zredukowana v_r=dx_r(t ) dt

E_k(m_i, I_i , v_i, ω_i)

(8)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

m_r(t)

F_r(t ) x_r(t)

M_r(t)

E 1

I ² E_k = 1

2 m_r v_r²

masa zredukowana

lub

v_r=dx_r(t ) dt

E_k(m_i, I_i , v_i, ω_i)

(9)

Moc układu

Redukcja sił

Całkowita moc układu

P(F_i, M_i,ω_i, v_i,...)

(10)

Moc układu

Redukcja sił

P(F_i, M_i,ω_i, v_i,...)

P=F_rv_r

siła

zredukowana

m_r(t)

F_r(t )

x_r(t)

v_r= dx_r(t ) dt

(11)

Moc układu

Redukcja sił

P=M_rω_r

moment zredukowany

P(F_i, M_i,ω_i, v_i,...)

P=F_rv_r

siła

zredukowana

lub

m_r(t)

F_r(t ) x_r(t)

I_r(t) M_r(t)

φ_r(t)

v_r= dx_r(t ) dt

ω_r=d φ_r(t) dt

(12)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

n-elementów w ruchu postępowym k-elementów w ruchu obrotowym

(13)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

1

2 m_r v_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

(14)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

1

2 m_r v_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

m_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

v_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j v_r²

(15)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

1

2 m_r v_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

m_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

v_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j v_r²

1

2 I_rω_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_iv_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _j ω²_j

(16)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

1

2 m_r v_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

m_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

v_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j v_r²

1

2 I_rω_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_iv_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _j ω²_j

I_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

ω_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j ω_r²

(17)

Energia kinetyczna

Redukcja mas

E_k=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

1

2 m_r v_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_i v_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _jω²_j

m_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

v_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j v_r²

1

2 I_rω_r²=

∑

i=1

n 1

2 m_iv_i²+

∑

j=1

k 1

2 I _j ω²_j

I_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

ω_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j ω_r²

– dowolnie wybrane

v_r, ω_r

(18)

Praca sił i momentów

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

(19)

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r ds_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

(20)

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r ds_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r=

∑

i=1 n

P_i ds_i

ds_r cos α_i+

∑

j=1 k

M _j d φ_j ds_r

(21)

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r ds_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r=

∑

i=1 n

P_i ds_i

ds_r cos α_i+

∑

j=1 k

M _j d φ_j ds_r P_r=

∑

i=1 n

P_i v_i dt

v_rdt cos α_i+

∑

j=1 k

M _j ω_jdt v_r dt

(22)

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r ds_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r=

∑

i=1 n

P_i ds_i

ds_r cos α_i+

∑

j=1 k

∑

n

P_i v_i dt

v dt cos α_i+

∑

k

M _j ω_jdt v dt

(23)

Redukcja sił

dW =

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r ds_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j M_rd φ_r=

∑

i=1 n

P_ids_icos α_i+

∑

j=1 k

M _jd φ_j

P_r=

∑

i=1 n

P_i ds_i

ds_r cos α_i+

∑

j=1 k

∑

i=1 n

P_i v_i dt

v_rdt cos α_i+

∑

j=1 k

M _j ω_jdt v_r dt

P_r=

∑

n

P_i v_i

v cos α_i+

∑

k

M _j ω_j v

M_r=

∑

i=1 n

P_i ds_i

d φ_r cos α_i+

∑

j=1 k

M _j d φ_j d φ_r M_r=

∑

i=1 n

P_i v_idt

ω_rdt cos α_i+

∑

j=1 k

M _j ω_jdt ω_rdt

M_r=

∑

n

P_i v_i

ω_r cos α_i+

∑

k

M _j ω_j ω_r

(24)

Redukcja sił i momentów sił

P_r=

∑

n

P_i v_i

v cos α_i+

∑

k

M _j ω_j

v M_r=

∑

n

P_i v_i

ω cos α_i+

∑

k

M _j ω_j ω

Redukcja mas i momentów bezwładności

m_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

v_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j

v_r² I_r=

∑

i=1 n

m_i v_i²

ω_r²+

∑

j=1 k

I _j ω²_j ω_r²

(25)

dla ruchu postępowego

Równanie ruchu maszyny

m(t) ^{F (t)} v (t)

(26)

dla ruchu postępowego

dE_k=dW

d

(

¹2 m(t) v (t)²

)

⁼^{F (t)dx}

1

2 dm(t)v (t)²+m(t)v (t)dv (t)=F (t)dx 1

2 dm(t)v (t)²+m(t )dx (t )

dt dv (t )=F (t )dx dm(t) v (t)²

+m dv (t)

=F (t ) m(t) ^{F (t)}

v (t)

(27)

dla ruchu obrotowego

dE_k=dW

d

(

^I ^ω(²^t)²

)

⁼^{M (t)d φ}

...

dI (t) d φ

ω (t)²

2 +I (t) d ω(t )

dt =M (t ) dI (t)

dt

ω(t)

2 +I (t)d ω (t)

dt =M (t) if I=const . ⇒ I d ω(t)

dt =M (t ) o r I ¨φ(t)=M (t ) I (t)

M (t)

φ (t)

(28)

Koło toczące się bez poślizgu

Dane: m – masa koła,

I_O – moment bezwładności względem punktu O, r – promień koła,

M – moment napędzający.

O

M

r

(29)

M(t) – moment napędzający.

O ^v

M

r

v(t) – prędkość liniowa środka koła, ω(t) – prędkość kątowa koła.

ω

(30)

M(t) – moment napędzający.

O ^v

T =1

2 m v²+1

2 I_Oω² ale v=ω r T =1

2 m v²+1

2 I_O v²

r² =1

2

(

^m+ ^I_r^O²

)

^v²⁼¹2 m_r v² M

r

P=M ω P=M v

r = M

r v=F_rv

v(t) – prędkość liniowa środka koła, ω(t) – prędkość kątowa koła.

ω

(31)

m₁ – masa całkowita

m_r1 – masa zredukowana

m₂ – masa całkowita

m_r2 – masa zredukowana

m₁ m₂ m_r1 m_r2

(32)

Przykład 1

Zbadajmy proces rozruchu wciągarki bębnowej składającej się z:

● silnika elektrycznego (EM) generującego moment będący funkcją prędkości kątowej wału silnika ω według zależności: M=A-Bω, gdzie A i B są danymi stałymi parametrami; moment bezwładności wału wyjściowego silnika

wynosi I_m;

● przekładni dwustopniowej (reduktora) o zadanych momentach bezwładności kół I₁, I₂, I₃, I₄ i momentach bezwładności wałów wynoszących I_s;

przełożenia przekładni zadane są jako i₁=ω₂/ω₁ oraz i₂=ω₄/ω₃;

● bębna o średnicy D i momencie bezwładności I_d; łożyskowanie bębna generuje stały moment oporów toczenia M_f;

● równi pochyłej o kącie α względem poziomu;

(33)

Przykład 1

M

(34)

M

Przykład 1

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

(35)

Kinematyka przekładni Przykład 1

M

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

(36)

Kinematyka przekładni Przykład 1

M

V ω₃

ω₂ ω₁

ω₂

ω₁=i₁→ω₂=ω₁i₁ ω₃

ω₂=i₂→ω₃=ω₂i₂=ω₁i₁i₂ v =D

2 ω₃= D

2 ω₁i₁i₂

(37)

Zredukowany moment bezwładności

I_r=...

Przykład 1

M

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

(38)

M

Przykład 1

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

P

Moc układu

(39)

M

Przykład 1

V ω₃

ω₃ ω₂

ω₁

N =M M P v

P

Moc układu

(40)

Przykład 1

P

G

α

(41)

Przykład 1

P

G

α

P=…

P

(42)

Przykład 1

P

G

α

P

G T N

(43)

Przykład 1

zredukowany moment napędowy (czynny)

M_r = M_D−M_P

zredukowany moment oporów (bierny) Moment zredukowany

(44)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

M_r=A−B ω₁−M_P Rozruch maszyny

(45)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

I_r ω₁= A−M_P I_r

(46)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

I_r ω₁= A−M_P I_r rozwiązanie

ogólne rozwiązanie szczególne

(47)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

ω

_{1 g}

( t)=E e

⁻

B I_r t

(48)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

ω

_{1 g}

( t)=E e

⁻

B I_r t

ω

_{1 p}

( t)=F

(49)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

ω

_{1 g}

( t)=E e

⁻

B I_r t

ω

_{1 p}

( t)=F

warunek początkowy

ω

₁

(t=0)=0

(50)

Przykład 1

I_r d ω₁

dt =M_r

I

_r

(t) M

_r

(t)

ω₁(t )

d ω₁

dt + B

ω

_{1 g}

( t)=E e

⁻

B I_r t

ω

_{1 p}

( t)=F

warunek początkowy

t=0)=0

(51)

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

₁

(t)= A−M

_P

B ( ^1−e

⁻^I^B^r ^t

)

t

ω₁(t)

(52)

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

₁

(t )= A−M

_P

B ( 1−e

⁻

B I_r t

)

ω

_max

= A−M

_P

B

t

ω₁(t )

prędkość ruchu ustalonego

(53)

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

₁

(t)= A−M

_P

B ( ^1−e

⁻^I^B^r ^t

)

0,95 ω

_max

= A−M

_P

B ( 1−e

⁻

B I_r t₉₅

)

ω

_max

= A−M

_P

B

t

ω₁(t)

czas rozruchu (95% maks.)

(54)

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

₁

(t)= A−M

_P

B ( ^1−e

⁻^I^B^r ^t

)

ω

_max

= A−M

_P

B

t

ω₁(t)

czas rozruchu (95% maks.)

0,95 ω A−M

_P

( 1−e

⁻

B I t₉₅

)

(55)

Przykład 1

Rozruch maszyny

ω

₁

(t)= A−M

_P

B ( ^1−e

⁻^I^B^r ^t

)

v(t)= D

2 ω

₁

( t)i

₁

i

₂

(56)

Przykład 2

I_s

I₁ I₂

I₃

m

M F

(57)