21DRAP - Rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane

(1)

21DRAP - Rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane

Definicja. 1. Niech (X, Y ) będzie dyskretnym wektorem losowym o zbiorze atomów S i rozkładzie brzegowym Y o zbiorze atomów SY.

Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y (y ∈ SY) nazywamy rozkład prawdopodobieństwa dany wzorem

P(X = x|Y = y) = P(X = x, Y = y) P(Y = y) dla x takcih, że (x, y) ∈ S.

Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y (y ∈ SY) nazywamy wartości E(X|Y = y) =

X

(x,y)∈S

xP(X = x|Y = y).

Warunkowa wartość oczekiwana E(X|Y ) zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y to zmienna losowa, która przyjmuje wartości E(X|Y = y) gdy Y = y dla każdego y ∈ S^Y. Oznaczmy h(y) = E(X|Y = y), wtedy E(X|Y ) = h(Y ) jest zmienną losową, funkcją zmiennej losowej Y .

Definicja. 2. Niech (X, Y ) będzie wektorem losowym o rozkładzie ciągłym z gęstością łączną f (x, y) oraz rozkładem brzegowym zmiennej losowej Y z gęstością fY(y).

Gęstością rozkładu warunkowego zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y (dla fY(y) > 0) nazywamy funkcję określoną dla x ∈ R wzorem

f_{(X|Y )}(x|y) = f (x, y) f_Y(y).

Warunkową wartością oczekiwaną zmiennej losowej X pod warunkiem Y = y (dla fY(y) > 0)nazywamy wartość

E(X|Y = y) = Z ∞

−∞

x · f_{(X|Y )}(x|y) dx.

Warunkowa wartość oczekiwana E(X|Y ) zmiennej losowej X względem zmiennej losowej Y to zmienna losowa, która przyjmuje wartości E(X|Y = y), gdy Y = y. Oznaczmy funkcję h(y) = E(X|Y = y). Wtedy E(X|Y ) = h(Y ) jest funkcją zmiennej losowej Y .

Twierdzenie. 1. E(E(Y |X)) = EY .

Twierdzenie. 2. Własności warunkowej wartości oczekiwanej:

a. jeśli X 0 to E(X|Z) 0;

b.

E(X|Z)

¬ E |X|

Z;

c. E (aX + bY )

Z = aE(X|Z) + bE(Y |Z);

d. dla dowolnego zdarzenia A zachodzi E(I^A|Z = z) = P(A|Z = z), gdzie IA jest zmienną losową indykatorową zd. A;

e. jeśli X i Y są niezależne, wówczas E(Y |X) = EY ; f. jeśli h(X) jest ograniczoną zmienną losową, to E h(X)Y

X = h(X) E(Y |X).

A Zadania na ćwiczenia

Zadanie A.1. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład określony w tabelce

Y \ X −1 0 1 2

−3 0.1 0.2 0.3 0

3 0 0.2 0.1 0.1

a. Wyznacz rozkład warunkowy X względem Y = j oraz warunkową wartość oczekiwaną E(X|Y = j) dla j = ±3.

b. Wyznacz rozkład zmiennej losowej Z = E(X|Y ), a następnie korzystając z tego rozkładu oblicz EZ. Porównaj otrzymaną wartość z EX.

Zadanie A.2. Rzucamy dwiema trójściennymi kostkami do gry (na ściankach takiej kostki napisane są liczby 1, 2 i 3). Niech X i Y oznaczają, odpowiednio, najmniejszą i największą otrzymaną liczbę oczek. Przedstaw tabelkę, która pokazuje zmienne losowe X oraz Y jako funkcje na odpowiedniej przestrzeni probabilistycznej. Znajdź rozkład warunkowy Y względem X = i dla i ∈ {1, 2, 3}. W tabelce tej przedstaw również warunkową wartość oczekiwaną E(Y |X) jako funkcję na przestrzeni probabilistycznej. Oblicz EY oraz E(E(Y |X)).

(2)

Zadanie A.3. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład ciągły o gęstości danej wzorem

f (x, y) = ( ₄

x²y² dla 1 ¬ x ¬ 2, 1 ¬ y ¬ 2, 0, w przeciwnym przypadku.

.

a. Wyznacz gęstość warunkową fX|Y(x|y) oraz E(X|Y = y).

b. Wyznacz gęstość warunkową f_{Y |X}(y|x) oraz E(Y |X = x).

c. Czy zmienne losowe X i Y są niezależne?

Zadanie A.4. Łączna gęstość X i Y dana jest wzorem f (x, y) = 21x²y³dla 0 < x < y < 1. Wyznacz EX i E(X|Y = y).

Znajdź rozkład zmiennej losowej Z = E(X|Y ) i na jego podstawie oblicz EZ. Wynik porównaj z EX.

Zadanie A.5. Niech f_X|Y(x|y) = 2xy⁻², 0 < x < y, 0 < y < 1. Oblicz P(¹4 < X < ¹₂|Y = ⁵₈).

Zadanie A.6. Łączna gęstość X i Y dana jest wzorem f (x, y) = xe^−x(y+1) dla x, y > 0. Znajdź gęstość warunkową Y względem X.

Zadanie A.7. Rzucamy symetryczną monetą. Gdy wypadnie orzeł, losujemy (zgodnie z rozkładem jednostajnym) punkt z odcinka [−1, 1], a gdy wypadnie reszka - z odcinka [0, 1]. Znajdź prawdopodobie?stwo zdarzenia, że wylosowany punkt będzie należał do przedziału [−¹₂,¹₂].

Zadanie A.8. Rzucamy kostką do uzykania pierwszej 6. Niech X będzie liczbą rzutów a Y liczbą wyrzuconych 1. Dla t = 1, 2, . . ., wyznacz rozkład Y pod warunkiem X = t oraz E(Y |X = t). Następnie przedstaw E(Y |X) jako funkcję zmiennej losowej X. Wykorzystaj te obliczenia do wyznaczenia EY . (WSKAZÓWKA: Y pod warunkiem X = t ma pewien

„słynny” rozkład)

Zadanie A.9. Rzucamy 2 kostki do gry. Niech X i Y oznaczają, odpowiednio, najmniejszą i największą otrzymaną liczbę oczek. Znajdź rozkłady warunkowe X względem Y = i dla i = 1, . . . , 6. Wyznacz E(X|Y ) jako funkcję zmiennej losowej Y . (Wskazówka: spróbuj znaleźć wzór ogólny na P (X = k|Y = i))

Zadanie A.10. Losujemy jednostajnie punkt X z odcinka (1, 2), a nasętpnie punkt Y z rozkładem wykładniczym z parametrem X. Znajdź łączny rozkład zmiennych losowych X i Y . Znajdź E(Y |X) oraz EY . Wskazówka: rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0 ma gęstość f (x) = λe^−λx dla x > 0, jego wartość oczekiwana wynosi 1/λ.

Zadanie A.11. Zmienne losowe X i Y są niezależne i EX = a.

a. Co to jest E(X|X) ?

b. Czy E(X + Y |Y ) jest funkcją zmiennej losowej X czy Y ? Wyznacz tę funkcję.

Zadanie A.12. Rzucamy 100 razy kostką. Niech X oznacza liczbę wyrzuconych jedynek, a Y – liczbę jedynek w pierwszych 10 rzutach. Wyznacz zmienną losową E(X|Y ).

Zadanie A.13. Zmienne losowe X, Y i Z są niezależne, ograniczone, o wartości oczekiwanej 2 i wariancji 1. Przedstaw poniższe zmienne losowe jako funkcje (tylko) zmiennej losowej Z:

E(Z(ZX − Y )|Z), E(Z(X + Y )²|Z).

B Zadania domowe

ZADANIA PODSTAWOWE

Zadanie B.1. Rzucamy 3 razy uczciwą monetą. Niech X będzie liczbą orłów w 3 rzutach a Y liczbą reszek w dwóch pierwszych rzutach.

a. Wyznacz przestrzeń probabilistyczną (Ω, F , P) z prawdopodobieństwiem klasycznym związaną z tym eksperymentem.

b. Podaj wszystkie rozkłady warunkowe z.l. X względem Y = i, i = 0, 1, 2.

c. Wyznacz warukowe wartości oczekiwane E(X|Y = i), i = 0, 1, 2.

d. Podaj E(X|Y ) jako zmienną losową określoną na przestrzeni (Ω, F, P).

Zadanie B.2. Rzucamy 100 razy kostką. Niech X będzie liczbą wyrzuconych liczb nieparzystych a Y liczbą wyrzuconych 6.

Dla t = 0, 1, . . . , 100, wyznacz rozkład Y pod warunkiem X = t oraz E(Y |X = t). Następnie przedstaw E(Y |X) jako funkcję zmiennej losowej X i wyznacz E(E(Y |X)). Porównaj uzyskany wynik z EY .

(3)

Zadanie B.3. Łączna gęstość X i Y dana jest wzorem

f (x, y) =

(2 exp{−(x + y)} dla 0 < x < y < ∞;

0 w p.p.

Znajdź E(Y |X). Korzystając z tego wyniku wyznacz E(E(Y |X)). Porównaj uzyskaną wartość oczekiwaną z EY .

Zadanie B.4. Zmienne losowe X, Y i Z są niezależne, ograniczone, o wartości oczekiwanej 1 i wariancji 2. Przedstaw poniższe zmienne losowe jako funkcje (tylko) zmiennej losowej Z:

E(Z · (X + Y )|Z), E((Z + Y )²|Z).

Zadanie B.5. Rzucamy 20 razy kostką. Niech X oznacza sumę wyrzuconych oczek, a Y – sumę oczek w ostatnich 10 rzutach. Wyznacz zmienną losową E(X|Y ) jako funkcję zmiennej losowej Y .

Zadanie B.6. Losujemy X zgodnie z rozkładem wykładniczym z parametrem λ = 3. Następnie, gdy X = x, losujemy Y w sposób jednostajny z odcinka (x, x + 2). Znajdź gęstość rozkładu łącznego wektora losowego (X, Y ). Bez liczenia całek wyznacz E(Y |X) i stąd wywnioskuj, ile wynosi EY .

ZADANIA DLA TYCH, KTÓRZY MIELI PROBLEM Z ZADANIAMI PODSTAWOWYMI

Zadanie B.7. Urna zawiera 2 białe i 8 czarnych kul. Losujemy kolejno, bez zwracania, dwie próbki: pierwsza mocy 3 i druga mocy 5. Niech X i Y oznaczają, odpowiednio, liczbę białych kul w 1. i 2. próbce. Wyznacz E(X|Y = i), i = 0, 1, 2.

Zadanie B.8. Losujemy bez zwracania 5 kart ze standardowej talii. Niech X i Y będą, odpowiednio, liczbą pików i kierów wśród wylosowanych kart. Wyznacz rozkład warunkowy Y względem X = x oraz warunkową wartość oczekiwaną E(Y |X).

Zadanie B.9. Losujemy ze zwracaniem 100 kart ze standardowej talii. Niech X i Y będą, odpowiednio, liczbą pików i kierów wsród wylosowanych kart. Wyznacz rozkład warunkowy Y względem X = x oraz warunkową wartość oczekiwaną E(Y |X).

f (x, y) = (₁

8(x²− y²)e^−x dla x > 0, −x < y < x.

0 w p.p.

Znajdź gęstość warunkową Y względem X = x, x > 0. Wyznacz P (0 < Y < 2|X = 1) oraz E(Y |X).

f (x, y) =

(x + y dla 0 < x < 1, 0 < y < 1.

0 w p.p.

Znajdź E(Y |X) oraz E(E(Y |X)).

Zadanie B.12. Losujemy jednostajnie punkt X z odcinka [−1, 1]. Następnie, gdy X = x, losujemy Y też jednostajnie z odcinka [x − 1, x + 1]. Wyznacz gęstość rozkładu łącznego wektora losowego (X, Y ) i bez liczenia całek wyznacz E(Y |X).

Zadanie B.13. Rzucamy 3 razy kostką. Niech X będzie liczbą oczek w pierwszym rzucie, Y –iloczynem wyrzuconych oczek a Z–sumą wyrzuconych oczek. Wyznacz E(Y |X) i E(Z|X) jako funkcję zmiennej losowej X.

C Zadania dla chętnych

Zadanie C.1. Student błąka się losowo między trzema bibliotekami i domem (w każdym momencie może wybiera kolejny cel z równym prawdopodobieństwem). Drogę między bibliotekami i i j (i 6= j, z uwzględnieniem czasu spędzonego w bibliotece) student pokonuje w czasie t_i,j = 3 dla i, j = 1, 2, 3, a dojście z dowolnej biblioteki do domu zajmuje mu 4h.

Korzystając z wykorzystanej na wykładzie własności EY =P

iE(Y |Ai)P(Ai), gdzie A_i tworzą zupełny układ zdarzeń, oblicz średni czas dojścia studenta z biblioteki 1 do domu.

Zadanie C.2. (Dla wytrwałych) Rzucamy kostką raz za razem. Niech X i Y będą, odpowiednio, liczbami rzutów potrzebnych do uzyskania 6 i 5. Wyznacz wzór ogólny na E(X|Y = y), dla y = 1, 2, . . ., oraz E(X|Y ) (wsk. skorzystaj z twierdzenia o wartości oczekiwanej zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych). Wyznacz E(E(X|Y )) i porównaj z EX.

Zadanie C.3. Udowodnij, że Var(E(Y |X)) ¬ VarY . Wskazówka: Zacznij od wyrażenia VarY = E{[Y − E(Y |X) + E(Y |X) − EY ]²}.

(4)

Zadanie C.4. Wróć do przykładu z wykładu o owadzie i jajeczkach. Wyznacz (a) E(X|Y ) - można to zrobić „sprytnie”

bez liczenia sumy, (b) ρ(X, Y ).

Zadanie C.5. Zad. 3, §6.1.

Zadanie C.6. Zad. 7 (b ,c), §6.1 (X i Y z tym samym parametrem λ).

Zadanie C.7. Zad. 4, §6.2.

(5)

Odpowiedzi do niektórych zadań

B.1 a) na przykład Ω = {OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR}, F = 2^Ω, P–klasyczne.

b) P (X = 2|Y = 0) = P (X = 3|Y = 0) = 1/2 P (X = 1|Y = 1) = P (X = 2|Y = 1) = 1/2 P (X = 0|Y = 2) = P (X = 1|Y = 2) = 1/2

c) E(X|Y = 0) = 5/2, E(X|Y = 1) = 3/2, E(X|Y = 2) = 1/2 d) E(X|Y )(OOO) = 5/2, E(X|Y )(OOR) = 5/2,

B.2 Jeśli X = t, to Y ma rozkład dwumianowy Bin(100 − t, 1/3).

WYNIKI CZĘŚCIOWE:

fX(x) = 2e^−2xdla x > 0 i fX(x) = 0 w p.p.

f_Y(y) = 2e^−y(1 − e^−y) dla y > 0 i fY(y) = 0 w p.p.

Dla x > 0 mamy f_{Y |X}(y|x) = e^xe^−y dla x < y < ∞ i f_{Y |X}(y|x) = 0 w p.p.

Dla x > 0 E(Y |X = x) = x + 1

B.4 E(Z(X + Y )|Z) = 2Z, E((Z + Y )²|Z) = Z²+ 2Z + 3

B.5 E(X|Y ) = Y + 35, WSK: X = X¹+ . . . + X10+ Y , gdzie Xi–liczba oczek w i-tym rzucie B.6

f (x, y) = (₃

2e^−3x dla 0 < x < y < x + 2;

0 w p.p. . E(Y |X) = X + 1, E(Y ) = E(E(Y |X)) = 4/3

B.7 Dla Y = 0: P (X = 0|Y = 0) = 1/10,P (X = 1|Y = 0) = 6/10, P (X = 2|Y = 0) = 3/10, E(X|Y = 0) = 6/5 Dla Y = 1: P (X = 0|Y = 1) = 2/5,P (X = 1|Y = 1) = 3/5, E(X|Y = 1) = 3/5

Dla Y = 2: P (X = 0|Y = 2) = 1, E(X|Y = 1) = 0 B.8 Dla danego x ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}

P (Y = y|X = x) =

13 y

26 5−x−y

39 5−x

, dla y = 0, . . . , 5 − x

Zatem, jeśli X = x, to Y ma rozkład hipergeometryczny z parametrami N = 39, m = 13, n = 5 − x.

Zatem E(Y |X) = (5 − X)/3.

B.9 Jeśli X = x, to Y ma rozkład dwumianowy z parametrami n = 100 − x i p = 1/3. (Można to bezpośrednio policzyć ze wzoru na rozkład warunkowy!!!).

Zatem E(Y |X) = (100 − X)/3.

B.10 Dla x > 0 mamy fY |X(y|x) = ³₄(x⁻¹− x⁻³y²) dla −x < y < x i fY |X(y|x) = 0 w p.p.

P (0 < Y < 2|X = 1) = 1/2, E(Y |X) = 0 B.11 Dla 0 < x < 1 mamy fY |X(y|x) = _x+^x+y1

2

dla 0 < y < 1 i fY |X(y|x) = 0 w p.p.

E(Y |X) = (3X + 2)/3(1 + 2X), E(E(Y |X)) = 7/12 B.12

f (x, y) = (₁

4 dla − 1 < x < 1, x − 1 < y < x + 1;

0 w p.p. . E(Y |X) = X.

B.13 E(Y |X) = 49X/4 i E(Z|X) = 7 + X.