Rachunek prawdopodobieństwa
3. Rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane
Ćw. 3.1 Rzucamy 3 razy symetryczną monetą, niech X oznacza liczbę reszek. Znajdź wa- runkową wartość oczekiwaną zmiennej X pod warunkiem, że wyrzucono co najmniej 2 reszki.
Ćw. 3.2 Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksimum otrzy- manych liczb. Wyznacz P (U ¬ 3|V = 4) oraz E(U |V ).
Ćw. 3.3 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem p. Niech Z = X + Y . Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X, mając dane Z, oraz E(X|Z).
Ćw. 3.4 Niech X i Y będą niezależne, X ∼ B(n1, p), Y ∼ B(n2, p). Wyznacz rozkład warunkowy wektora (X, Y ) przy warunku X + Y = k, 0 ¬ k ¬ n1+ n2.
Ćw. 3.5 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U (0, 2). Niech Z = X − Y . Wyznacz fZ|X(z|x), FZ|X(z|x), P (|Z| < 1|X = 1) i E(Z|X).
Ćw. 3.6 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na (0, 1), zaś rozkład warunkowy zmiennej Y pod warunkiem, że X = x, jest jednostajny na (0, x). Wyznacz rozkład łączny zmiennych X i Y , fY(y), fX|Y(x|y) i E(X|Y ).
Ćw. 3.7 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 4). Niech S = X + Y , T = X − Y . Wyznacz:
1. fT |S(0|1), 2. FT |S(0|1),
3. P (|T | ¬ 1|S = 1) i P (S 0||T | ¬ 1).
Ćw. 3.8 Niech zmienne losowe U i V mają gęstość łączną f (u, v) = e−v, 0 < u < v < ∞.
Wyznacz fU |V(u|v), fV |U(v|u), E(U |V ) oraz gęstość zmiennej Y = V − U .
Ćw. 3.9 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. U = min(x, y), V = max(X|Y ). Wyznacz E(U |V ) i E(V |U ).
Ćw. 3.10 Rzucamy monetą. Gdy wypadnie orzeł losujemy (zgodnie z rozkładem jedno- stajnym) punkt z odcinka [0, 1], a gdy reszka – z odcinka [0, 2]. Znajdź prawdopodo- bieństwo, że wylosowany punkt będzie należał do przedziału [1/2, 3/2].
Ćw. 3.11 Wyznacz E(X|G), jeśli X jest całkowalną zmienną losową, G = {∅, A, A0, Ω}, 0 < P (A) < 1. jaki będzie wynik, jeśli X = 1IB, gdzie B jest ustalonym zdarzeniem?
Ćw. 3.12 Łączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką:
X ↓, Y → 0 2
1 0,2 0,1
3 0,3 0,4
Wyznacz E(X|σ(Y )) i EX.
Ćw. 3.13 Niech Ω = [0, 1], P – miara Lebesgue’a na [0, 1]. Wyznacz E(f |F ), jeśli f (x) =√
x, a F jest σ-algebrą generowaną przez zbiory [0, 1/4) i [1/4, 1].
