Rachunek prawdopodobieństwa
3. Warunkowe wartości oczekiwane i rozkłady warunkowe — zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 3.1 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyznacz E(X|Y ).
Zad. 3.2 Łączny rozkład zmiennych losowych X i Y dany jest tabelką:
X ↓, Y → 1 2
3 0,1 0,5
4 0,3 0,1
Wyznacz E(X|σ(Y )) i EX.
Zad. 3.3 Niech Ω = [0, 1], P – miara Lebesgue’a na [0, 1]. Wyznacz E(f |F ), jeśli f (x) = −x, a F jest σ-algebrą generowaną przez zbiory [0, 1/2) i [1/3, 1].
Zad. 3.4 Niech Ω = [0, 1] × [0, 1], P = l2|[0,1]×[0,1]. Wyznacz E(X − Y |X + Y ) i E(X|Y ).
Zad. 3.5 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład zadany tabelką:
Y ↓, X → 1 2 3 4 5
1 3/35 2/35 1/35 0 0
2 1/35 10/35 2/35 1/35 0
3 0 1/35 5/35 1/35 1/35
4 0 0 0 3/35 2/35
5 0 0 0 1/35 1/35
X jest oceną z klasówki z matematyki losowo wybranego ucznia, a Y oceną z klasówki z fizyki. Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem, że Y = 4.
Zad. 3.6 Na pewnej przestrzeni probabilistycznej określamy dwie zmienne losowe X i Y . Mają one rozkład:
X ↓, Y → −1 0 1
0 1/4 1/4 1/4
1 1/8 0 1/8
Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem X + Y .
Zad. 3.7 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parame- trem λ. Niech Z = X + Y . Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X, mając dane Z.
Zad. 3.8 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = 1
9(x + y + 2)1I(0,2)×(1,2)(x, y).
Wyznacz gęstość i dystrybuantę rozkładu warunkowego zmiennej Y pod warunkiem, że X = x.
Zad. 3.9 Niech X i Y mają rozkład jednostajny na trójkącie 0 ¬ x ¬ y ¬ 1, tzn. gęstość f (x, y) = 2 dla 0 ¬ x ¬ y ¬ 1. Wyznacz P (X > 0, 5|Y = y), E(X|Y = y) i E(Y |X = x) oraz E(X cos Y |Y ).
Zad. 3.10 Niech X i Y mają łączną gęstość
f (x, y) = cx(y − x)e−y, 0 ¬ x ¬ y < ∞.
1. Wyznacz c.
2. Pokaż, że
f (x|y) = 6x(y − x)y−3, 0 ¬ x ¬ y, f (y|x) = (y − x)e−(y−x), x ¬ y < ∞.
3. Udowodnij, że E(X|Y ) = Y /2 oraz E(Y |X) = X + 2.
Zad. 3.11 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. U = min(X, Y ), V = max(X, Y ). Wyznacz E(sin(V U )|U ).
Zad. 3.12 Satelita ma dwa nadajniki, ich czasy działania X i Y są niezależne i mają rozkłady wykładnicze z parametrem λ. Satelita nadaje, jeśli oba nadajniki działają. Transmisja kończy się w czasie t. Wykaż, że oczekiwany czas zakończenia transmisji jest równy
E(min(X, Y )| max(X, Y ) = t) = 1
λ + t 1 − eλt. Zad. 3.13 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
2
(ln 2)2 ·ln(1 + x)
1 + x 1I[0,1](x).
Niech Y będzie zmienną losową, której gęstość warunkowa pod warunkiem, że X = x jest dana wzorem
1
ln(1 + x) · 1
1 + y1I[0,x](y).
Czy zmienne X i Y są niezależne? Wyznacz rozkład zmiennej Y , rozkład warunkowy zmien- nej X względem Y i E(Y |X).
Zad. 3.14 Rzucamy symetryczną monetą. Gdy wypadnie orzeł, losujemy (zgodnie z rozkładem jednostajnym) punkt z odcinka [−1, 1], a gdy reszka – z odcinka [0, 1]. Znajdź prawdopodo- bieństwo, że wylosowany punkt będzie należał do przedziału [−1/2, 1/2].
Zad. 3.15 Rzucamy symetryczną sześcienną kostką do gry. Gdy wypadnie liczba podzielna przez 3, losujemy punkt z odcinka [−1, 3] (w sposób jednostajny), a gdy wypadnie liczba niepo- dzielna przez 3, to losujemy punkt z przedziału [1, 4].
1. Znajdź prawdopodobieństwo, że wylosowany punkt będzie należał do przedziału [0, 2].
2. Wyznacz warunkową wartość oczekiwaną wylosowanego punktu względem wyniku rzu- tu kostką.
