Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 5. Rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane - zadania
do samodzielnego rozwiązania
Zad. 5.1 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład zadany tabelką:
Y ↓, X → 1 2 3 4 5
1 3/35 2/35 1/35 0 0
2 1/35 10/35 2/35 1/35 0
3 0 1/35 5/35 1/35 1/35
4 0 0 0 3/35 2/35
5 0 0 0 1/35 1/35
X jest oceną z klasówki z matematyki losowo wybranego ucznia, a Y oceną z klasówki z fizyki. Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem, że Y = 4.
Zad. 5.2 Na pewnej przestrzeni probabilistycznej określamy dwie zmienne losowe X i Y . Mają one rozkład:
X ↓, Y → -1 0 1
0 1/4 1/4 1/4
1 1/8 0 1/8
Oblicz P (X = 0|X + Y = 0) i P (X = 1|X + Y = 0).
Zad. 5.3 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona z parame- trem λ. Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem X + Y .
Zad. 5.4 Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład o gęstości
f (x, y) = 1
9(x + y + 2)1I(0,2)×(1,2)(x, y).
Wyznacz gęstość i dystrybuantę rozkładu warunkowego zmiennej Y pod warunkiem, że X = x.
Zad. 5.5 Niech X i Y mają rozkład jednostajny na trójkącie 0 ¬ x ¬ y ¬ 1, tzn. gęstość f (x, y) = 2 dla 0 ¬ x ¬ y ¬ 1. Wyznacz P (X > 0, 5|Y = y) oraz E(X|Y = y) i E(Y |X = x).
Zad. 5.6 Niech X i Y mają łączną gęstość
f (x, y) = cx(y − x)e−y, 0 ¬ x ¬ y < ∞.
1. Wyznacz c.
2. Pokaż, że
f (x|y) = 6x(y − x)y−3, 0 ¬ x ¬ y, f (y|x) = (y − x)e−(y−x), x ¬ y < ∞.
3. Udowodnij, że E(X|Y ) = Y /2 oraz E(Y |X) = X + 2.
Zad. 5.7 Niech X będzie zmienną losową o gęstości
2
(ln 2)2 ·ln(1 + x)
1 + x 1I[0,1](x).
Niech Y będzie zmienną losową, której gęstość warunkowa pod warunkiem, że X = x jest dana wzorem
1
ln(1 + x) · 1
1 + y1I[0,x](y).
Czy zmienne X i Y są niezależne? Wyznacz rozkład zmiennej Y , rozkład warunkowy zmien- nej X pod warunkiem Y i E(Y |X).
