Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 5. Rozkłady warunkowe i warunkowe wartości oczekiwane
Ćw. 5.1 Łączny rozkład zmiennych X i Y dany jest tabelką:
X ↓, Y → 1 3
0 0,2 0,3
2 0,1 0,4
Wyznacz rozkład warunkowy zmiennej X pod warunkiem Y oraz E(X|Y ).
Ćw. 5.2 Rzucamy 3 razy symetryczną monetą, niech X oznacza liczbę reszek. Znajdź wa- runkową wartość oczekiwaną zmiennej X pod warunkiem, że wyrzucono co najwyżej 1 orła.
Ćw. 5.3 Rzucamy dwiema kostkami. Niech U oznacza minimum, a V maksimum otrzy- manych liczb. Wyznacz P (U ¬ 3|V = 4) oraz E(U |V ).
Ćw. 5.4 Rzucamy 10 razy symetryczną monetą. Niech X oznacza liczbę orłów, a Y liczbę orłów w pierwszych 4 rzutach. Wyznacz E(X|Y ).
Ćw. 5.5 Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie geometrycznym z parametrem p. Znajdź rozkład warunkowy zmiennej X podarunkiem X + Y oraz E(X|X + Y ).
Ćw. 5.6 Wektor (X1, X2) ma rozkład o gęstości
f (x1, x2) = (x21+ 2x22)1I(0,1)(x1)1I(0,1)(x2).
Wyznacz gęstość warunkową fX1|X2(x1|x2), E(X1|X2) i E(X1X22|X2).
Ćw. 5.7 Gęstość łączna wektora (X, Y ) dana jest wzorem f (x, y) = 1
41I(0,2)(x)1I(0,2)(x − y).
Wyznacz fY |X(y|x), FY |X(y|x), P (|Y | < 1|X = 1) i E(Y |X).
Ćw. 5.8 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na (0, 1), zaś rozkład warunkowy zmiennej Y pod warunkiem, że X = x, jest jednostajny na (0, x). Wyznacz rozkład łączny zmiennych X i Y , fY(y), fX|Y(x|y) i E(X|Y ).
Ćw. 5.9 Niech zmienne losowe U i V mają gęstość łączną f (u, v) = e−v, 0 < u < v < ∞.
Wyznacz fU |V(u|v), fV |U(v|u) oraz E(U |V ).
