15.10.2019, kl 2b
Pierwiastki wielomianów zespolonych
Twierdzenie (zasadnicze twierdzenie algebry). (Gauss, 1799) Każdy wielomian o współczyn- nikach zespolonych dodatniego stopnia ma pierwiastek zespolony.
Wniosek. Każdy wielomia p ∈ C[z], p(z) = anzn+ an−1zn−1+ . . . + a1z + a0 można zapisać w postaci
p(z) = an(z − z1)α1 · (z − zk)αk
dla pewnych liczb zespolonych z1, . . . , zk i wykładników naturalnych αi ∈ N takich, że Pki=1αi = n. Mówimy wówczas, że αi jest krotnością pierwiastka zi.
Zadanie 1. Znajdź pierwiastki zespolone trójmianów kwadratowych (a) z2 − 2z + 5,
(b) z2 + 4iz − 3,
(c) z2 + (2i − 7)z + 13 − i.
Zadanie 2. Znajdź wszystkie pierwiastki wielomianów (a) z6 + 1 = 0,
(b) z3 − 3z2+ 3z + 7, (c) z5 + z3− 20z, (d) z4 + (1 − 2i)z2− 2i,
(e) 2 − 2z + 3z2− 2z3+ z4
Zadanie 3. Niech p ∈ C[z], p(z) = zn+ an−1zn−1+ . . . + a0. Udowodnij równoważność warun- ków:
(a) współczynniki a0, . . . , an−1 są liczbami rzeczywistymi, (b) jeśli z ∈ C i p(z) = 0, to także p(z) = 0.
Zadanie 4. Dla jakich a ∈ R wielomian p(z) = z3 + (3 + i)z2 − 3z − (a + i) ma pierwistek rzeczywisty?
Zadanie 5. Wyznacz wszystkie zespolone rozwiązania równań (a) 81(z + i)4 = |z|8,
(b) (z + 2)6 = (z − 2)6.
Zadanie 6. Wyznacz wielomian stopnia 4 o współczynnikach rzeczywistych, którego jedymi pierwiastkami są 1, i, −i.
Zadanie 7. Uzasadnij równość
3
s
cos2π 7 + 3
s
cos4π 7 + 3
s
cos8π 7 = 3
s
5 − 3√3 7 2 Wskazówki:
(a) Znajdź współczynniki wielomianu w ∈ R[x], w(x) = (x − x1)(x − x2)(x − x3), gdzie x1 = cos2π7 , x2 = cos4π7 , x3 = cos8π7 .
(b) Niech A, B będą zadane warunkami A =√3
x1+√3
x2+√3 x3, B =√3
x1x2+√3
x2x3+√3 x3x1
Uzasadnij, że
A = − 2 + 3√3 AB B =1
4+ 1 2
√3
AB
(c) Wyznacz A.
Zadanie 8. Udowodnij, że
cos x · cos(2x) cos(4x) · . . . · cos(2n−1x) = sin 2nx 2nsin x.
Zadanie 9. Niech ω = cos2π7 + i sin2π7 . Znajdź wielomian w ∈ R[x], którego pierwiastkiem jest (a) ω + ω (b) ω − ω.
Zadanie 10. Oblicz indeks pętli f (r(cos t + i sin t)), 0 ¬ t ¬ 2π, jeśli (a) f (z) = z2,
(b) f (z) = zn,
(c) f (z) = z2+ 1, dla r = 0,12 i 2, (d) f (z) = z2+ z dla r = 12 i r = 2.
Zadanie 11. Znajdź deformację (homotopię) w C∗ pomiędzy pętlami f (z(t)) i g(z(t)), 0 ¬ t ¬ 2π, gdzie z(t) = cos t + i sin t, a
(a) f (z) = z + 1/2, g(z) = z, (b) f (z) = 2z2+ z, g(z) = 2z2 − z.
2
