2.4.2019, kl 1b Wielomiany II
Wniosek. (z Twierdzenia Bézout) Wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych.
Twierdzenie. Jeśli α = pq jest pierwiastkiem wielomianu
w(x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0
stopnia n, przy czym p, q ∈ Z są względnie pierwsze, a współczynniki a0, a1, . . . , an wielomianu w są liczbami całkowitymi, to p|a0 oraz q|an.
Zadanie 1. Reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez x3− 3x + 2 wynosi 3x2− 2x + 1. Wyznacz resztę z dzielenia w(x) przez x − 1.
Zadanie 2. Wyznacz wyraz wolny i sumę współczynników wielomianu (x2− 3x + 1)2019+ (x4− 3x2+ 1)2020.
Zadanie 3. Znajdź pierwiastki wielomianów: (a) 2x3+ x − 18; (b) x3+ 9x − 2; (c) x3+ 3x2+ 6x + 2;
(d) x4− x3− 4x2− x + 1; (e) x6− 2x5+ 3x4+ 3x2− 2x + 1; (f) x4− 4x3+ 4x + 1.
Zadanie 4. Czy x4+ x3+ x2+ x + 1 jest kwadratem innego wielomianu o współczynnikach rzeczy- wistych?
Zadanie 5. Dla jakich a, b wielomian x4+ ax3+ bx2− 8x + 1 jest kwadratem innego wielomianu?
Zadanie 6. Dla jakich m, n liczba −1 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu x4+ mx3 + (m − n)x2+ nx + 1.
Zadanie 7. Dla jakich a wielomian (x − a)(x − 10) + 1 jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia 1 o współczynnikach całkowitych?
Zadanie 8. Rozłóż podany wielomian na iloczyn wielomianów jak najniższych stopni (a) (x + 1)3+ (x − 1)3; (b) 8x3+ 12x2+ 6x + 1; (c) x6− 1; (d) x4+ 4; (e) x6+ 1; (f) x4+ 2x3− 13x2+ 2x + 1.
Zadanie 9. Znajdź wszystkie wielomiany w ∈ R[x] takie, że dla każdego x xf (x − 1) = (x + 1)f (x).
Zadanie 10. Znajdź wszystkie wielomiany w ∈ R[x] takie, że dla każdego x (x + 1)f (x) = (x − 10)f (x + 1).
Zadanie 11. Rozwiąż równanie
|x4− 4| − |x2+ 2| = |x4− x2− 6|
Zadanie 12. Udowodnić, ze dla dowolnych x1 < x2 < . . . < xn+1 i y1, y2, . . . , yn+1 istnieje dokładnie jeden wielomian w stopnia nie większego niż n taki, że w(xi) = yi dla 1 ¬ i ¬ n + 1.
Pisemna praca domowa (na 9 IV):
Zadanie 1. Dla jakich liczb naturalnych m, n wielomian x2− 3x + 2 dzieli (x − 2)m+ (x − 1)n− 1?
Zadanie 2. Podaj wszystkie współczynniki wielomianu (1 − x + x2− x3+ . . . + x100) · (1 + x + x2+ . . . + x100).
Zadanie 3. Zapisz wielomian x8+ 98x4+ 1 jako iloczyn wielomianów stopnia większego niż 1.
Zadanie 4. Niech w będzie takim wielomianem stopnia ¬ n, że w(k) = k+1k dla k = 0, 1, . . . , n. Oblicz w(n + 1).
