1. WŁASNOŚCI DZIAŁAŃ

(1)

• Sprawdź, czy działanie ˝ posiada element neutralny (a)

˝ : R ˆ R Ñ R a ˝ b “ a ` b ` 12 (b)

˝ : t1, 2, 3, 4, 5u ˆ t1, 2, 3, 4, 5u Ñ t1, 2, 3, 4, 5u a ˝ b “ a `6b

(c)

˝ : t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u ˆ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u Ñ t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7u a ˝ b “ a `8b

(d)

˝ : t1, 2, 3, 4, 5u ˆ t1, 2, 3, 4, 5u Ñ t1, 2, 3, 4, 5u a ˝ b “ a ¨6b

• Sprawdź, czy działanie ˝ posiada element odwrotny do elementu x (wyznacz go, jeśli istnieje) (a)

˝ : Z ˆ Z Ñ Z a ˝ b “ ab

x “ 1 (b)

˝ : Z ˆ Z Ñ Z a ˝ b “ ab

x “ 6 (c)

˝ : Z7zt0u ˆ Z7zt0u Ñ Z7zt0u a ˝ b “ ab

x “ 5

• Sprawdź, czy działanie ˚ jest łączne (a)

˚ : Z ˆ Z Ñ Z a ˚ b “ ab (b)

˚ : R ˆ R Ñ R a ˚ b “ a ´ b ` 19 (c)

˚ : Q ˆ Q Ñ Q a ˚ b “ ab ` a ` b 2. SPRAWDŹ, CZY JEST GRUPĄ

(a) ă Z ˆ Z ˆ Z, p`, `, `q ą (b) ă Z ˆ Z ˆ Z, p`, `, ´q ą

1

(2)

(c) ă Z ˆ Z ˆ Qzt0u, p`, `, ¨q ą (d)

ă G1ˆ G2, p˚, ˝q ą gdzie ˚ i ˝ są działaniami w G1i G₂odpowiednio

(e) ă t1, 2, 3, 4u, ¨5ą (f) ă t1, 2, 3u, ¨4ą (g) ă Z30, `30ą (h) ă Z29, ¨29ą

(i)

ă R`, ˚ ą gdzie ˚ oznacza zwykłe potęgowanie

(j) ă Z`, ` ą 3. PODGRUPY

• Sprawdź, czy podzbiór H jest podgrupą grupy G (a)

G “ă Z18, `₁₈ą H “ t0, 6, 12u (b)

G “ă Z, ` ą

H “ 42Z “ t. . . , ´84, ´42, 0, 42, 84, . . .u (c)

G “ă Z17, `17ą H “ t0, 6, 12u (d)

G “ă R, ` ą H “ t0u (e)

G “ă Qzt0u, ¨ ą H “ Q (f)

G “ă Z, ` ą H “ t0, 2, 4u (g)

G “ă Z2, `2ą H “ t1u (h)

G “ă Q`, ¨ ą H “ t7^k|k P Zu

• Wyznacz wszystkie podgrupy danej grupy (a) ă Z82, ` ą

(b) ˚ ă Z, ` ą

2

(3)

4. HOMOMORFIZMY GRUP

• Sprawdź, czy f jest homomorfizmem grup (a)

f:ă Z, ` ąÑă Z, ` ą f pxq “ 105x (b)

f:ă R, ` ąÑă R, ` ą f pxq “ ´x (c)

f :ă Q, ` ąÑă Q, ` ą f pxq “ x²` x (d)

f:ă R, ` ąÑă R, ` ą f pxq “ x² (e)

f :ă Z3, ` ąÑă Z, ` ą f pxq “ x (f)

f :ă Z8, ` ąÑă Z8, ` ą f pxq “ x

(g)

f :ă Z8, ` ąÑă Z4, ` ą f pxq “ x mod 4

• Sprawdź, czy f jest izomorfizmem grup (a)

f:ă Z, ` ąÑă Z, ` ą f pxq “ x ` 4 (b)

f :ă Q, ` ąÑă Q, ` ą f pxq “ 9x (c) ˚

f :ă G, ˝ ąÑă G, ˝ ą f pxq “ g ˝ x ˝ g^´¹ dla pewnego g P G

5. PERMUTACJE

• Oblicz złożenia permutacji (a) `_{1 2 3 4 5}

5 4 3 2 1

˘˝`_{1 2 3 4 5}

4 3 1 2 5

˘ (b) `1 2 3 4 5 6 7

4 5 1 2 3 6 7

˘˝`1 2 3 4 5 6 7 4 2 3 7 6 5 1

˘ (c) `_{1 2 3 4}

4 2 3 1

˘˝`_{1 2 3 4}

1 3 2 4

˘ (d) `1 2 3 4 5 6

6 2 4 3 5 1

˘˝`1 2 3 4 5 6 4 1 3 2 6 5

˘ (e) `1 2 3 4 5 6 7 8

5 1 4 2 8 7 6 3

˘˝`1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 3 2 6 8 7 5

˘

3

(4)

(f) `1 2 3 4 5 6 7 1 2 4 3 5 7 6

˘˝`1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7

˘

• Rozłóż permutacje na cykle (a) `1 2 3 4 5 6 7 8 9

9 4 5 1 6 8 7 3 2

˘ (b) `1 2 3 4 5 6

4 1 3 2 5 6

˘ (c) `1 2 3 4 5 6 7 8

8 7 1 2 3 6 5 4

˘ (d) `1 2 3 4 5 6 7

3 4 1 6 5 7 2

˘

4