ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA XXX (1987)
Tom asz Ry c h l ik
Warszawa
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych II. Estymacja parametru skali*
(Praca wpłynęła do Redakcji 1986.05.20)
1. Wstęp.
1.1. Sformułowanie zagadnienia. Rozpatrujemy następujący podstawowy model parametryczny:
(1.1) JC(F) = {Fa = <g) Fx: FA(x) = F(x/X), X > 0},00 n = 1
gdzie F jest ustalonym, znanym elementem zbioru dystrybuant na osi rzeczywistej. Problem polega na ocenie nieznanego parametru skali A, odpo- wiadającego dystrybuancie Fx rozkładu badanego zjawiska losowego, podczas gdy wyniki pomiarowe obarczone są błędem. Podobnie jak w części I pracy przyjmujemy, że dystrybuanty G„ rozkładów kolejno przeprowadzanych, niezależnych pomiarów X n, n e N , należą do jednej z następujących , ogólnie oznaczanych przez klas otoczeń dystrybuanty oryginalnej FA: oto- czenia typu błędy grube, inaczej — e-zaburzenie
0>'(FX) = {G = ( l - 6)FA + eH: He®}
dla ustalonego £6(0, 1/2) albo otoczenia Kohnogorowa-Levy’ego
^ Bd{Fx) = {Ge 9 \ Fx{ x - 3 ) - e ^ G(x) ^ FA(x + <5) + e}
dla ustalonych e g (0, 1/2) i S ^ 0. Przyjmując konwencję z części I, dla danego e lub £, 3 definiujemy rozszerzenie podstawowego modelu (1.1) jako odwzorowanie
F ^ n i(i)(FJ = {G = ® G„: G„e0>,m(Fx), neN],OO FA6 J t ‘(F).
* Problem MR 1.1.
[79]
Niech y oznacza klasę wszystkich ciągów S = (S„(X1? X n))neN estyma- torów parametru skali, ekwiwariantnych ze względu na transformacje skali, tj.
spełniających warunek
(V neiV)(V xneR)(V c > 0) S^cx^ ..., cxn) = c5„(x1? ..., x„) i asymptotycznie nieobciążonych w modelu podstawowym:
(V X > 0) lim Mj{Fx, Sn) = X, j = 0,1,
n-+ oo
przy czym M-(G, Sn), 7 = 0, 1, oznaczają najmniejszą i największą medianę rozkładu S„, jeżeli rozkładem ciągu (Xn)neN jest G. Dla zaburzenia G rozkładu modelowego FA, X > 0, z uwagi na multyplikatywny wpływ błędu oceny parametru skali, określamy obciążenie estymatora Sn jako
(1.2) max {A/M0(G, S„), M l (G, S„)/2}, G e n m (F J
(w przypadku M0(G, Sn) ^ 0 przyjmujemy, że obciążenie jest nieskończone).
Zauważmy, że spełniona jest równość
= {G,: Gt(x) = G{x/X), G € # e(<)(F)}.
Ponadto, jeśli Gni(x) = G„(x/A), n e N , i statystyka jest ekwiwariantna, to
OO GO
(1.3) Mj( ® Gu , S.) = XMj( ® Gk, S,), 7 = 0, 1.
k= 1 fc=l
Z tych dwóch faktów wynika, że wartość oscylacji obciążenia (1.2) dowolnej ekwiwariantnej statystyki na ustalonym otoczeniu IIE(d)(Fx) rozkładu modelo- wego nie zależy od wyboru punktu X, a w konsekwencji asymptotyczna oscylacja obciążenia zdefiniowana wzorem
(1.4) B-m (S) = idn sup{M1(G1, S„)/M0(G2, S„): G ,, G 2e77^,(FJ}
n~* oo
jest inwariantnym kryterium asymptotycznej wrażliwości ciągów z rodziny Sf na odstępstwa od modelu.
Zadanie asymptotycznie najbardziej stabilnej ze względu na obciążenie estymacji parametru skali polega na znalezieniu w klasie y ciągu estymatorów minimalizującego asymptotyczną oscylację obciążenia (1.4) (jednostajnie dla X > 0).
W paragrafie 2 rozważamy problem odporności na błędy grube. W punkcie 2.1 podajemy rozwiązanie w przypadku, gdy rozkład pierwotny jest rozkładem na półosi dodatniej, tzn. F(0) = 0. W punkcie 2.2 dla pierwotnego rozkładu symetrycznego jest skonstruowany ciąg estymatorów optymalny w podzbiorze zbioru y , składającym się z ciągów estymatorów symetrycznych względem zera. W obydwu przypadkach na dystrybuantę F nałożone zostało pewne założenie techniczne. Zadanie dla zaburzeń modelu zdefiniowanych przez otoczenia Kohnogorowa-Levy’ego jest opisane w paragrafie 3. Wówczas nie narzuca się żadnych ograniczeń na dystrybuantę F, a jedynie w celu uzyskania
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 81
nietrywialnych wyników przyjmuje się pewne ograniczenie na wielkość zakłó- ceń, mianowicie s < e0(F, <5) ^ 1/2. W paragrafie 4 ogólne rezultaty zostały zilustrowane przykładami.
Dalej będziemy wielokrotnie wykorzystywać pojęcia i twierdzenia pomoc- nicze przedstawione w paragrafie 2 pierwszej części pracy. Poza tym, jedynie w dowodzie twierdzenia 2.1 (p. 2.1) korzysta się bezpośrednio z twierdzenia 3.1 części I pracy, a pozostałe wyniki są uzyskane niezależnie.
1.2. Przegląd wyników dotyczących odpornej estymacji parametru skali.
W porównaniu z osiągnięciami w dziedzinie estymacji parametru położenia, stanowiącej główny nurt badań z zakresu odporności, przypadek parametru skali jest stosunkowo mało poznany. Autorowi pracy nie są znane publikacje na temat sformułowanego w punkcie 1.1 zadania asymptotycznie stabilnej ze względu na obciążenie ekwiwariantnej estymacji parametru skali. Dla skoń- czonych prób, w serii prac Bartoszewicza i Zielińskiego [1], [3] - [5], [29]
opisane jest zagadnienie minimalizacji oscylacji wartości oczekiwanej w pew- nych klasach L-estymatorów wobec parametrycznych rozszerzeń modelu oraz rozszerzeń generowanych przez relację stochastycznego uporządkowania.
Bartoszewicz [2] rozważał też problem minimalizacji oscylacji ryzyka średniokwadratowego na pewnych parametrycznych rozszerzeniach modelu wykładniczego. Huber [16] otrzymał asymptotycznie najodporniejszy ze względu na wariancję ciąg M-estymatorów logarytmu parametru skali przy e-zaburzeniu ogonów rozkładu normalnego, a Thall [27] — ciąg M-estyma- torów o minimaksowej asymptotycznej wariancji dla s-zaburzenia rozkładów na półosi dodatniej. Wadą estymatorów Hubera i Thalla jest asymptotyczna obciążoność. Do estymacji parametru skali można zastosować rezultaty Riedera [22], Bednarskiego [6] i Bickela [8], ponieważ zostały one sformuło- wane dla modeli jednoparametrycznych w ogólnej postaci. Ponadto, odpor- ności estymatorów parametru skali jest poświęcony rozdział 5 książki Hubera [18], a infinitezymalne ujęcie tego zagadnienia jest przedstawione w książce Hampela, Ronchettiego, Rousseeuw i Stahela [32].
2. Błędy grube
2.1. Zaburzenia rozkładu na półosi dodatniej. Niech dystrybuanta F defi- niująca podstawowy model (1.1) spełnia następujące założenie:
(Z) funkcja x^>F{ex) jest dystrybuantą jednomodalną.
Założenie (Z) jest równoważne warunkowi: F jest kombinacją dwóch roz- kładów na półosi dodatniej — zdegenerowanego, skupionego w pewnym punkcie // > 0 i absolutnie ciągłego o gęstości f takiej, że funkcja x-+xf (x) jest niemalejąca na przedziale (0, g) i nierosnąca na (g, + oo). Jest ono spełnione przez wiele ważnych w zastosowaniach, ciągłych rozkładów na półprostej dodatniej, m.in. przez rozkłady: Weibulla, gamma i gamma uogólniony, beta, logarytmicznie normalny, odwrotny gaussowski, F Snedecora i Pareto. Roz-
— Matematyka Stosowana t.30
kłady na półprostej dodatniej pojawiają się w naturalny sposób w wielu praktycznych problemach, do opisania których stosuje się statystyczny model z nieznanym parametrem skali, np. w problemach oceny odległości, czasu pracy urządzeń itp.
Tw ie r d z e n ie 2.1. Dla ustalonej dystrybuanty F spełniającej założenie (Z) oraz ustalonego ee(0, 1/2) niech
(a) (i z* e [s, 1-e]) Q(z*, (1 -e)F)/Q(z*, (1 -e)F +e) « a*.
(b) Jeśli Le SF(z*), to
f l W = e* = inf{BJ(S): S e ^ } .
D ow ód, (a) Na zbiorze @ niemałejących, prawostronnie ciągłych funkcji określamy liniowe przekształcenie A: AG(x) = G(ex), x eR . Wówczas
Z założenia (Z), AF jest dystrybuantą jednomodalną i na podstawie twier- dzenia 3.1.(a) z części I (3 z* e [e, 1— e])
(b) Niech = {G e^: G(0) = 0}. Ponieważ lim AG(x) = G(0) i lim AG{x) = lim G(x), więc A{3>+) c= Q). Oznaczmy przez A\&+ obcięcie
X~* + 00 X~* + 00
funkcji A do zbioru Q>+ i niech A1: będzie przekształceniem postaci
Łatwo sprawdzić, że złożenia A ^ ^ A 1 i A 1A\&+ są identycznościami, a więc A\a + i A1 są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami. Zauważmy jeszcze, że A 1(&e(AF)) = 0*e(F) r\S>+ oraz że istnieją Glf G2e ^ E{AF) takie, że Gx(x) =
= G2{x — Ing*) (zob. część I, wzory (3.1)-(3.3)). Zatem A1G1, A1 G2e żPe{F) n nS>+ są związane zależnością A1 Gt(x) = A 1 G2{x/q*) i na podstawie (1.3)
Q* = q*(F, e) = sup{@: sup[F(x)-F(x/g)] ^ e/(l-e)}.
Wtedy
gdy Qi(z, G) > 0, gdy Qi(z, G) ^ 0.
ln[<2(z*, (1 -e)F)/Q(z*, (1 -e )F + e)] =
= Q(z*, (1 -e)AF)-Q(z*, (1 -e)AF + e) ś
^ sup{d: sup [F(ey) — F(ey~J)] ^ 8/(1— e)} = Ing*.
yeR
(V S e ST)
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 83 Z twierdzenia 2.2 części I ciąg ekwiwariantnych estymatorów (X L(n):n/
/<2(z*, F))„eN jest asymptotycznie nieobciążony w modelu podstawowym.
Z lematu 2.4 części I dla dowolnie małego /? > 0 i wszystkich dostatecznie dużych n
X u 'v J Q V , O) < ę(z» ,(l-e)F ) + /t =
M0(G2, X UnyJQ(z*, F)) " Q(z*, (1 -e)F + e )-0 a ' W > W I O ) . dla dowolnej pary G1? G2 g 778(F), co kończy dowód. ■
Przedstawione w twierdzeniu estymatory mogą przyjmować przy pewnych zaburzeniach ujemne wartości. Z drugiej strony, oryginalne (nie zakłócone) wyniki badanego zjawiska są z prawdopodobieństwem 1 dodatnie i wszelkie ujemne wartości (jeżeli w ogóle są możliwe w przeprowadzanym ekspery- mencie) są zwykle odrzucane jako błędne jeszcze przed przystąpieniem do statystycznej analizy danych. Praktycznie można więc rozpatrywać tylko e-zaburzenia tworzone przez klasę 2>+ dystrybuant rozkładów na półosi dodatniej, ale wtedy estymator {XL(n).n/Q(z*, F))neN jest również najodporniej- szy, ponieważ minimaksowa wartość asymptotycznej oscylacji obciążenia q*
OO 00
jest realizowana przez pewną parę (x) A 1G1, (x) A 1 G2 gI7e(F) (zob. wzór (2.1)
n = 1 n = 1
i definicję odwzorowania A 1).
Prostą metodę konstrukcji asymptotycznie odpornych, nieujemnych i ekwi- wariantnych estymatorów parametru skali, wykorzystującą wszystkie uzyskane pomiary, przedstawiamy w paragrafie 3 (zob. tw. 3.3.(b)).
2.2. Zaburzenia rozkładu symetrycznego. Niech dany będzie model J ł s(F) taki, że:
(Zl) dystrybuanta F jest symetryczna, tzn. (V x eR) F(x) + F( — x — ) = 1, (Z2) funkcja x^2F (ex)— 1 jest dystrybuantą jednomodalną.
Innymi słowy, F jest kombinacją dwóch rozkładów symetrycznych: dwu- punktowego skupionego w punktach { — g, g}, g > O oraz absolutnie ciągłego o gęstości / takiej, że funkcja x-*xf(x) jest niemalejąca na (O, g) i nierosnąca na (g, +oo). Klasa rozkładów spełniających powyższe warunki zawiera m.in.
następujące ciągłe rozkłady symetryczne: jednostajny, normalny, t Studenta, Cauchy’ego, logistyczny i Laplace’a.
Ponieważ zmienne losowe \Xn\, n e N , są statystykami dostatecznymi dla modelu J f s(F), ograniczymy się w rozważaniach do ciągów estymatorów symetrycznych względem zera, tj. należących do klasy:
= {S = ( S J ^ e S r : (V «g/V)(V xl5 ..., xneR) SH(xl9 ..., xn) =
= S J x J , ..., |xj)}.
Oznaczmy przez 1 ^ k ^ n, k-tą statystykę pozycyjną wybraną spośród zmiennych losowych \X^, ... ,\X„\.
Twi erdzenie 2.2. Niech F spełnia założenia (Zl), (Z2), ee (O, 1/2) i niech o * = cr*(F, e) = sup{cr: sup [F(x) —F(x/cr)] ^ e/(2 — 2e)}. Wtedy:
x> O
(a) (3 z*e[s, 1-6]) e (z * .(l-s)(2 F -l))/e (z * ,(l-a )(2 F -l) + 6)«<7*.
(b) Jeżc/i L e^(z*), to
^ ( ( f f l^ /e i z * . 2 F -1 )U ) = ** = inf{BS(S): S e J/”}.
D ow ód, (a) Rozważmy przekształcenie liniowe B: postaci
_ (O, x < 0,
BG{X) ~~ | g (x) —G( —x —), x ^ 0.
Z założenia (Zl)
BF(x) = 0,2 F (x )-l,
x < 0, x ^ 0.
Zatem BFe@ + , a na podstawie (Z2) FF spełnia założenia (Z) z punktu 2.1.
Stosując twierdzenie 2.1.(a) do BF, otrzymujemy, że istnieje z* £ [e, 1 — e] takie, że
Q(z*, (l-e)(2F-\))/Q(z*, (1 -e )(2 F -l) + e) ^ q*(BF, e) = <r*(F, e).
(b) FG jest dystrybuantą wartości bezwzględnej zmiennej losowej o dystry- buancie G. Oczywiście, B(@) cz 2 oraz F (#e(F)) c ^ e(FF), a w konsekwencji
<G = ® BG„: G„eP'(F), neN}<= Tlt(BF).
n= I
Na podstawie lematu 2.4 z części I dla dystrybuanty BF, dla dowolnego /? > 0 i dostatecznie dużych n
Q(z*,(l-e)(2F-\) + e ) - P / I* Ilq,):, ^ <
2 (z * ,2 F -l) ^
< ę (z*>( l- E ) ( 2 F - l) ) + jg
" Q(z*,2F-\) dla wszystkich G e/7 £(F), co implikuje nierówność
j = 0, 1.
Wykażemy jeszcze, że
(V Se ST) BKS) ^ a*.
Ponieważ B\$+ jest identycznością, więc [ ^ e(FF) n ^ + ] c F (^£(F)). Przy- pomnijmy, że BF spełnia założenia tw. 2.1, z których wynika istnienie takich
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 85 rozkładów zakłóconych BGX, BG2e( ^e{BF) n &> + ), że BG1(x) = BG2(x/a*).
Dlatego dla dowolnego ciągu S = (Sn)neN e
oo oo
o* = Mj( 0 BG[, ® BG2, S„) =
fc = 1 k= 1
00 00
= JWj( ® G 1,S„)/M,(<8)G2,S„)«BJ(S), 7 = 0, 1. .
fc= 1 fc= 1
Podobne twierdzenie można sformułować w przypadku niesymetrycznego rozkładu pierwotnego, jeżeli dystrybuanta BF spełnia założenie (Z). Wtedy jednak ciąg wartości bezwzględnych nie jest statystyką dostateczną dla modelu podstawowego.
3. Otoczenia Kolmogorowa-Levy’ego. Załóżmy, że rozszerzenia podstawo- wego modelu (1.1), gdzie F jest dowolną ustaloną dystrybuantą, są generowane przez otoczenia Kohnogorowa-Levy’ego rozkładów modelowych
(3.1) cc
n Es(¥x) = {G = (x) G„: Gn e Q), Fx( x - d ) - e ^ G„(x) ^ Fx(x + S) + e, neN}.
n= 1
W zbiorze SF asymptotycznie nieobciążonych w modelu ciągów ekwi- wariantnych estymatorów parametru skali szukamy ciągu, który minimalizuje asymptotyczną oscylację obciążenia (1.4) na rozszerzeniu (3.1) modelu. Chociaż definicja klasy Sf nie wyklucza estymatorów o ujemnych wartościach, będzie- my dodatkowo żądali, aby optymalny ciąg był nieujemny. Jest to naturalny postulat w stosunku do estymatorów parametru skali.
Zdefiniujmy
11* = t]*{F, e, <5) = sup {rj: sup [kF(kx — kd) — kF(kx/rj + kSJ] ^ 2e}.
k e { - l , + l } , x> 0
Oczywiście, rj* ^ 1. Wykażemy, że rj* stanowi minimalną wartość oscylacji obciążenia dla estymatorów z klasy Sf.
Tw ie r d z e n ie 3.1. (V S e Sf) BsEd(S) ^ rj*.
Dowód. Przypuśćmy, że rj* > 1 i zdefiniujmy dystrybuantę G(x) = max{0, F(x-S)-e},
min {1, F(x + <5) +e}, x < 0, x ^ 0.
Oczywiście, Ge^ eS(F) i na podstawie definicji rj* można łatwo sprawdzić, że dla dowolnego 17 e( 1. rj*) dystrybuanty Gt/ takie, że G,((x) = G{x/rj) są również Cementami rodziny &Kji(F). Zatem na podstawie (1.3) (V rjE(\, ^*))(V S e ^ )
00 X
n = Mj(® G„, <g> G, S„) < BU(S), j = 0, 1,
fc=1 k=l
Co kończy dowód. ■
Określmy z kolei liczbę
£0 = e0{F, 8) = max{F( —<5 —), l-F(ó)}/2.
Zauważmy, że 0 ^ £0 ^ 1/2, przy czym £0 = 0, gdy rozkład F jest skupiony na przedziale [-<5, <5], natomiast £0 = 1/2, gdy jest on skupiony na (-o o , -<5) lub {8, + oo). Dla rozkładów symetrycznych s0 ^ 1/4. Znaczenie wielkości £0 określa poniższy lemat.
Lema t 3.2. tj*(F, e, 8) = + oo wtedy i tylko wtedy, gdy £ £0(F, <5).
D ow ód konieczności. Jeżeli rj* = + co, to biorąc dowolne n eN i przyjmując rj = n2, x = n, otrzymujemy (V n e N )
(3.2) F ( - 8 - l / n ) - F { 8 - ń ) < 2e,
(3.3) F(n-8)-F(8 + l/n) ^ 2e.
Przypuśćmy, że fi = e0 — e > 0. Jeśli F( —<5 —) = 2e0 = 2e + 2fi, to (3 n e N ) F( — 8 — l/n) ^ 2e + P, F(8-n) ^ P/2,
a w konsekwencji
F ( - 8 - \ / n ) - F ( 8 - n ) ^ 2e + P/2 > 2£,
co jest sprzeczne z (3.2). Jeśli zaś 1— F(8) = 2e + 2fi,.to (3 neN) F ( n - 8 ) ^ l-P/2, F(8 + l/n) ^ 1 —2fi —/?, a zatem i
F(n — 8) — F(8 + 1/n) ^ 2e + P/2 > 2e, co przeczy warunkowi (3.3).
D ow ód d o stateczn o ści. Weźmy dowolne rj > 0. Wówczas (V x > 0) F ( - x / r i - 8 ) - F ( - x + 8) < F {-8 ~ ), F(x-8)-F{x/rj + 8) ^ 1-F(<5).
Z tego wynika, że
sup [kF(kx — k8) — kF(kx/rj + k8J] ^ 2fi0 ^ 2£.
ke{ — l,l},x> 0
Wobec dowolności rj, rj*(F, e, 8) = + oo. ■
Zakładamy dalej, że e < e0{F, 8), tylko wtedy mogą bowiem istnieć nietrywialne rozwiązania problemu. Oznaczmy dodatkowo:
£t = fi^F, £, <5) = F( 8 ) £, £2 = £2(F, £, <5) = F(<5) + £.
Oczywiście, < £2, a ponadto £ < £t lub s2 < 1—£•
Tw ie r d z e n ie 3.3. (a) Jeśli e < e0, to (3 i*e{0, 1})(3 z*e[£, 1— £]) (z* ^ oraz [Q,* (z*, F-he) — ^]/[Q(* (z*, F -£ ) + <5] ^ f/*)
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 87 lub
(z* < e2 oraz [<2f*(z*, F - e) + d^HQ^z*, F + s)-S'] ^ rj*).
(b) Jeżeli Le * (z*), (Sn)neK jest dowolnym ciągiem ekwiwariantnych ze względu na transformacje skali nieujemnych statystyk oraz
s * = ] X L(n)J Q C (z*, F), gdy X Un)J Q c (z*, F) > O,
(S„ w przeciwnym przypadku, neN ,
to S* = (S*)neN e SF oraz
Bsed(S*) = n* — inf{5^(S): S e ^ } .
D ow ód, (a) Z lematu 3.2 rj* < +oo. Weźmy dowolne rj > rj*. Z definicji rj* wnioskujemy, że (3 x > 0)
(3.4) e < z' = F( — x + 3) + s < z" = F( — x/rj — S) — s ^ sx lub
(3.5) £2 ^ z'" = F(x/rj + 3) + s < z(4) = F{x — 3) — s < 1 —e.
W przypadku (3.4) — x + ó ^ Qt(z', F + s), z lematu 2.1. (c) części I (3.6) - ó > —x/r] — S ^ Q0(z", F - s ) ^ Q^z', F-e), a zatem
nlQx{ z F - s ) + 3] ^ - x < Qiiz', F + s) —S oraz
(3.7) [QAzf, F + s)-S]/lQl(z/, F-fi) + <5] ^ rj.
W przypadku (3.5) można analogicznie wykazać, że (3.8) [&(*"', F -s) + 3]/[Q1(z'f/, F + s)-<5] ^ r,.
Weźmy malejący ciąg (rjn)neN zbieżny do rj*. Dla każdego ą = rjn, neN , określmy zn = z'e[e, e j, jeśli zachodzi (3.7), lub z„ = z”' e\_s2, 1— fi), jeśli zachodzi (3.8). Można założyć, że (zn)neN zbiega monotonicznie do pewnego z*
oraz (3.9)
({z„: neN} a [e, oraz lim [Q^z^ F + s)-S]/[Ql{zn, F -s) + ó] ^ rj*)
«-► 00 lub
(3.10)
({zn: neN} cz [e2, 1-e) oraz lim [Q1(z„, F -s) + 3]/[Ql(zn, F + e)-<5] ^ rj*).
Aby uzyskać tezę twierdzenia 3.3.(a), wystarczy wykazać, że
— oo < Qf (z*, F + b) ^ Qt* (z*, F — b) < —5 w przypadku (3.9) oraz
5 < Q* (z*, F + b) ^ Q* (z*, F — b) < +oo
w przypadku (3.10), przy czym i* = 0. jeśli (z„)Mł??v jest rosnący, oraz i* = 1 Jeśli jest on nierosnący (część I, lemat 2.1 -(d)). Przypuśćmy, że zachodzi (3.9). Na podstawie (3.6) i lematu 2.1.(c) z części I, dla dowolnego neN ,
- ó > Qx(zn, F - b) + Qx(b, F - b) > - g o,
a więc Qt* (z*, F — b) > — oo oraz
rj* ^ lim [gjz,,, F + B)-óy[Q1{s, F -b) + Ó],
n —* /
a zatem również Qt* (z*, F + b)> — oo. Ponadto (V neN) Qx{zn, F + b) ^ Q 1(b1, F + b) < -<$, co implikuje 0,* (z*, F + e) < — S i
rj* ^ lim [g jfii, F + fi)-^]/[Q1(złl, F -e ) + <5], 71-► OO
i w konsekwencji Qt*(z*,F — e) < — ó. W podobny sposób można uzyskać oszacowania
S < Qx(b2 , F - b) ^ Qt* (z*, F -s ) < ^/*[g1( l- e , F + e )-ó ]- ó < + oo,
<5 < ESi(£2> -F-e) + <JA7* + <5 < Qt (z*, F + b) ^ g j l - e , F + b) < +co w przypadku (3.10), co stanowi ostatni krok dowodu części (a).
(b) Dowód części (b) opiera się na mocniejszych wnioskach , jakie można wysnuć z dowodów twierdzenia 2.2.(b) i lematu 2.5 części I, mianowicie (V p > 0)(3 n'(P)) (V n > «'(/?)):
(3.1 O Pr(\Xu»Y.*-Qf Ol ś f i ) > 1/2,
(3.12| inf{PG(Q>{z*, F + s) - S ~ P s; X,ĄnYn -6 Q»(z\ F -s) + d + P):
G e/IJF )} > 1/2.
(Podobne wyniki można uzyskać w przypadku e-zaburzenia.) Rozpatrzymy tylko przypadek z* sS e,, ponieważ dla z* 3= e2 dowód jest analogiczny.
Weźmy dowolne dodatnie p < —Q» (z*, F —s) — S. Na podstawie wzoru (3.1 D ( V n > n'(P))
\ < p A \XlM J Q H z* , 0 - 1 1 < -P/QHz*, F) < i )«
^ P r( |s ? - 1 K -P/Qf (z*, F)),
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 89 czyli
\Mj(F, S*)— 1| ^ -p/Q* (z*, F), 7 = 0, 1,
i w konsekwencji lim Mj(F, S*) = 1,7 = 0, 1. Na podstawie ekwiwariantności statystyk S* i wzoru (1.3) otrzymujemy, że S*e,97.
Wykorzystując (3.12), uzyskujemy ( V n > n'(fi)) (V G e f I EÓ(F)) pc[o < Qf(z*,F-B) + ó + lt ^ st ^ Qf(z*, F + s)-d-p
Q,*(z*, F) Q Ą z \ F)
> p ( Q f(z*,F-e) + i + fi < X Un)ln < ę,.(z» ,F + e )-Ą -A
" c \ Qr (z*.F) Q?{z*,F) )
= P„(Q?(z*, F + e ) - S - P ^ X LM,„ g,.(z*, F-e) + S + p) > 1/2, a w konsekwencji
Qf (z*, F-e) + d + P
Qi* (z*, F) ^ Mj(G, S*) < (2t* (z*, F + s) — 5 — fi Qi*(z*,F) 0, 1 Z tego oszacowania możemy wyprowadzić w standardowy sposób nierówność BsEd(S*) ^ *7*, która łącznie z twierdzeniem 3.1 pociąga za sobą optymalność ciągu S*. ■
Łatwo jest zauważyć, że również ciąg (XL{n).n/Qi* (z*, F))neN osiąga mini- malną wartość asymptotycznej oscylacji obciążenia, lecz może on przyjmować ujemne wartości z dodatnim (czasem nawet bliskim 1/2) prawdopodo- bieństwem dla dowolnie dużych prób. Z drugiej strony, własności tego ciągu decydują faktycznie o odporności ciągu zdefiniowanego w twierdzeniu 3.3.
W przykładach paragrafu 4, w celu uproszczenia zapisów, będziemy podawali jako rozwiązanie problemu odpowiedni ciąg unormowanych kwan- tyli z próby, a nie pełną postać jego nieujemnej modyfikacji.
4. Przykłady
4.1. Rozkłady na półosi dodatniej.
Pr z y k ł a d 1. Rozkład je dnost ajny F(x) = x, 0 ^ x ^ 1. Najodpor- niejszym ciągiem estymatorów parametru skali dla obydwu typów zaburzeń jest ciąg
Si - r = (XUn)J{ 1 -fi))„e/v, Le JS?0(1 -£), przy czym
^ (S 1-,) = (l-fi)/(l-2e), gdy £<1/2, Bls(S i-£) = (1+<5)/(l — 2£ —<5), gdy 2e + ó < 1.
Zauważmy, że AF(x) = min {1, ex) jest rozkładem ujemnym wykładniczym.
Zatem, na podstawie przykładu 3 z części I, jeżeli e ^ (3 — y/S)/! , to ciąg Si-g minimalizuje też maksymalne asymptotyczne obciążenia przy e-zaburzeniu (zob. (1.2))
bse(S) = \hn sup{ż/M0(G, Sn), Mł(G, SJ/A: Gg77,(FJ}, S = (S„)„6iVg^
n-* oo
i wówczas ^(Si-g) = 1/(1— e).
Pr z y k ła d 2. Rozkład Pareto Fa{x) = 1 — x_<\ x ^ 1, a > 0 — znane.
Błędy grube. Ponieważ AF jest dystrybuantą rozkładu wykładniczego z parametrem skali 1/a, to na mocy przykładu 3 z części I najstabilniejszy ciąg jćst oparty na największym kwantylu rzędu e:
S, = ((l-s )1'* X w J mN, L e S f M - Wtedy
= inf{B’(S): S e ^ } = oraz dla e ^ (3 — >/5)/2
bsE(SJ = inf{bg(S): Sg^ } = (1 -e)"1^.
Otoczenia Kołmogorowa-Levy’ego. Jeżeli 5 ^ 1 oraz <5[1 +(1 - 2 £)1 + 1/a]/2 ^
^ e < e0(Fa, <5) = 1/2 (w szczególności, gdy S < e), to ciąg S£ jest najodporniej- szy na zaburzenia w metryce Kolmogorowa-Levy’ego i wówczas
%(S,) = [(l-2 e )-1'“ + 5]/(l-«).
W przeciwnym przypadku £0(F“, <5) = max{l, 3~a}/2 i optymalny jest Sz* =((1 -z* )ll*XL{n):n)neN, Leśf{z*), o asymptotycznej oscylacji
Bts(Sz*) = [(1 — z* —£)-1/a + <5]/[(l — z* + e)~l/<x — ó~\,
przy czym z* jest jedynym punktem z przedziału (£ + max{l — ó~a, 0}, 1—fi) spełniającym równanie
2e/ó = (1 — z + £)1 + 1/a + (l — z —£)1 + 1/<x.
Pr z y k ła d 3. Rozkład Weibulla Fa(x) = 1 —exp( —xa), x > 0, a > 0 — znane.
Błędy grube. AF jest dystrybuantą rozkładu podwójnie wykładniczego z parametrem skali 1/a. Korzystając z rozwiązania przykładu 4 części I, otrzymujemy, że asymptotycznie najstabilniejszym ciągiem estymatorów jest taki ciąg
S** = ( X W C -ln d Le ^(z*),
że z* spełnia zależność (5.3) z części I.
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 91 Otoczenia Koimogorowa-Levy’ego. Dla e < s0(Fa, ó) = exp( — <5*)/2 ciąg Sz*
jest ciągiem o minimalnej asymptotycznej oscylacji obciążenia, jeżeli z* e (1 +£ — exp( — <5“), 1— e) stanowi rozwiązanie równania
(1 — z —£)[ —ln(l — z — e)]1_1/a{[ — ln(l — z — ą)]1/a + <5} =
= (1 — z + e)[ — ln(l — z + £)]1_1/(X{[ —ln(l — z + fi)]1/a —<5}.
Powyższe zadanie dla <5 = 0 (otoczenia Kołmogorowa) jest równoważne zadaniu (5.4) z części I wyznaczenia kwantyla z próby tworzącego najodpor- niejszy estymator parametru położenia dla rozkładu podwójnego wykładni- czego. W tablicy 4.1 podajemy wartości z* i Bse(d)(Sz*) dla £ = 0.01, 0.02, 0.05 (0.05) 0.25,0.49 w przypadku £-zaburzenia, zakłóceń w metryce Kołmogorowa i metryce Levy’ego rozkładu wykładniczego.
4.2. Rozkłady symetryczne.
Pr z y k ł a d 4. Rozkład La pl a ce ’a o gęstości f{x) = e~M/2.
Błędy grube. Ponieważ rozkład wartości bezwzględnej zmiennej losowej o rozkładzie Laplace’a jest wykładniczy, najlepszy ciąg estymatorów syme- trycznych
(-\X \Lin)J \ n ( l - z % eN, Le J?(z*), jest zdefiniowany równaniem (5.3) z części I.
Otoczenia Koimogorowa-Levy’ego. Dla £ < e0(F, ń) = e~8/4 najstabilniej- szymi ze względu na obciążenie ciągami estymatorów są:
(XL{n)J\n2z*)neN, LeJ?(z*), ( - X Lin)J\n2z*)neN, Le J?f(l —z*), gdzie z* e(e, e~d/2 — e) jest wyznaczone z równania
(z —£)ln[2c_^(z —£)] = (z + £)ln[2^(z + £)].
Pr z y k ł a d 5. Rozkład normalny <P o gęstości
<p(.x) = (2n:)-1/2exp( — x2/2).
Błędy grube. Najodporniejszym ciągiem estymatorów symetrycznych jest
(4.1) , Le&(z*),
gdzie z* = (1 — £)(2y* —1) + £g(£, 1—£) określone jest przez równanie
^ ~1 (k* + e/(2 — 2fi)) <p (<2>- 1 (y * + fi/(2 — 2fi))).
Wtedy
BU S'z.) = 4’~l (y* + e/(2-2e))/0-l (y*)-
Otoczenia Kolmogorowa-Levy’ego. Ciągi
(4.2) S , * = ( A Le^(z*),
(4.3) S,_,. = ( - X L|„):„/<p-, (z*)Liy, LeSf(l-z*), osiągają skończoną i minimalną asymptotyczną oscylację obciążenia
BU( Sz0 = BU( S , . z*) = i<p-Hz*+s)+syi<p-nz*-£)-Ą, jeżeli s < s0(<P, ń) = [1 — <P(ÓJ]/2 i z* e(<P(ó) + £, 1 — e) spełnia równość
[<2>_1(z — £) — ń]ę)(0_1(z — £)) = [<ż>-1(z + £) + £>]<p(4>_1(z + £)).
Wartości z* wyznaczające optymalne ciągi (4.1)-(4.3) oraz odpowiadające im wartości asymptotycznej oscylacji obciążenia dla pewnych £-zaburzeń oraz zaburzeń w metryce Kołmogorowa i Levy’ego zostały przedstawione w tablicy 4.2.
Pr z y k ł a d 6. Rozkład Cau c hy ’ego F(x) = arctgx/7i + 1/2.
Błędy grube. Rozkład ABF ma gęstość 2[n(ex+ e~x)~\~l , a zatem jest symetryczny względem zera i jednomodalny. Na podstawie przykładu 1 z części I
(^L(„):„)„eJv, LeJ?( 1/2),
minimalizuje asymptotycznie oscylację oraz maksymalne obciążenie w klasie symetrycznych estymatorów parametru skali.
Otoczenia Kolmogorowa-Levy’ego. Rozwiązanie stanowią ciągi
(4.4) L e ^ ( z %
(4.5) (—X L(„v„/tgn(z* — l/2))„6jy, Le<e( l-z*), przy czym e0(F, <5) = 1/4 — arctg3c/(2tt), natomiast
z* g (l/2 + £ + arctg£>/rc, 1—c) obliczamy z równania
sin27c(z —£—1/2) =
= sin27t(z + £— 1/2) +<5 [2 + cos 271 (z — £— l/2) + cos27t(z + £ —1/2)].
W przypadku otoczeń Kołmogorowa ciągi (4.4) oraz (4.5) mają następującą prostą postać:
U Ł(.,:,W . LeSe( 3/4) oraz ( ~ X IMJ ^ , Le&(l/4), niezależnie od wielkości zaburzenia.
4.3. Przypadek ogólny. Przedstawimy jeszcze rozwiązanie takiego przy- kładu, że rozkład oryginalny nie jest skupiony na półosi dodatniej ani nie jest symetryczny.
Pr z y k ł a d 7. Rozkład podwójnie wykładniczy F(x) = 1 — exp( — ex).
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 93 Otoczenia Kolmogorowa-Levy’ego. e0(F, <5) = [1 — exp( — e d)~\/2. Najsta- bilniejszym ciągiem estymatorów jest
= (XL(n)J\n[-\n(l-z*)'])neN, Le£f{z*), taki, że z*e(e, 1 — e — exp( — e~d)) jest pierwiastkiem równania
(1 —z —e)ln(l — z — e)ln[ — ed\n{\ — z — e)] =
= (1 — z + e)ln(l — z + e)ln[ — e~5\n(\ — z + s)].
Pewne wyniki numeryczne zostały podane w tablicy 4.3.
4.4. Tablice
Tablica 4.1. Rozkład wykładniczy (Weibulla, Laplace'a)
£ Błędy grube Otoczenia Kołmogorowa,
£0(F, 0) = 0.5 Otoczenia Levy’ego e0(F, e0) - 0.3517
/* BK s z* ) z* BsJS**) z* BSJS,')
0.01 0.6308 1.0278 0.6321 1.0559 0.7215 1.0745
0.02 0.6294 1.0571 0.6319 1.1149 0.7213 1.1546
0.05 0.6252 1.1539 0.6310 1.3135 0.7204 1.4355
0.10 0.6176 1.3542 0.6276 1.7341 0.7168 2.0917
0.15 0.6093 1.6232 0.6218 2.3149 0.7107 3.1537
0.20 0.6 2.0 0.6137 3.1473 0.7018 5.0744
0.25 0.5896 2.5581 0.6031 4.4035 0.6897 9.2881
0.49 0.5067 151.39 0.5071 338.77 — + 00
W przypadku rozkładu wykładniczego ciąg estymatorów ma postać s,- = (-* « „ ,Jln (l Le ST {z*),
a jego asymptotyczna oscylacja obciążenia wynosi Bse(Sz*) — w przypadku błędów grubych, Blo(Sz*) — w przypadku otoczeń Kołmogorowa, Bs££(Sz* ) — w przypadku otoczeń Levy’ego.
W przypadku rozkładu Weibulla z parametrem kształtu a ciąg estymatorów ma postać
= (XUn)J \ - \ M \ -z* )]1/a)neN, Le J2P(z*), a jego asymptotyczna oscylacja obciążenia wynosi
[^(S z*)]1/a — w przypadku błędów grubych, [B*0(S.*)]1/a — w przypadku otoczeń Kołmogorowa.
W przypadku rozkładów Laplace’a ciąg estymatorów ma postać s;* = (-|^lL(n):«/ln(l-z*))ne^, Le£?{z*), a jego asymptotyczna oscylacja obciążenia wynosi
B£(S,*) — w przypadku błędów grubych.
Tablica 4.2. Rozkład normalny
e
Błędy grube Otoczenia Kołmogorowa,
e0(F, 0) = 0.25 Otoczenia Levy’ego
£0(F, £0) = 0.2087
z* B Ks.-) z* BI0(SZ*) z*
0.01 0.6808 1.0210 0.8412 1.0839 0.8649 1.1071
0.02 0.6790 1.0430 0.8408 1.1802 0.8644 1.2262
0.05 0.6731 1.1150 0.8379 1.5209 0.8610 1.6798
0.10 0.6625 1.2594 0.8275 2.4097 0.8490 3.0371
0.15 0.6507 1.4460 0.8099 4.2445 0.8284 6.9335
0.20 0.6375 1.6964 > 0.7847 10.107 0.7981 63.889
0.25 0.6226 1.9575 — + 00 — + oo
Tablica 4.3. Rozkład podwójnie wykładniczy
£
Otoczenia Kołmogorowa
£0(F, 0) = 0.3161 Otoczenia Levy’ego
£0(F, £0) = 0.2674
z* BsJS**) z*
0.01 0.2284 1.0769 0.1982 1.0921
0.02 0.2287 1.1599 0.1984 1.1929
0.05 0.2302 1.4528 0.2002 1.5611
0.10 0.2359 2.1536 0.2065 2.5233
0.15 0.2456 3.3489 0.2173 4.4566
0.20 0.2597 5.7468 0.2334 9.8022
0.25 0.2790 12.422 0.2565 54.009
Dodane w korekcie
Nowe wyniki dotyczące odpornej estymacji parametrów lokacyjnych. Dla pewnej klasy ciągłych rozkładów modelowych Zieliński [36] przedstawił zrandomizowany ekwiwariantny estymator parametru położenia o minimalnej oscylacji obciążenia na e-zaburzeniu dla próby o ustalonej (skończonej!) liczności.
Collins i Wiens uzyskali nowe rozwiązania w problemach najbardziej odpornej na asympto- tyczną wariancję wobec symetrycznych zaburzeń symetrycznej dystrybuanty, ekwiwariantnej estymacji parametru położenia przy ogólnych założeniach o rozkładzie modelowym (np. dodat- niość i gładkość gęstości). W pracy [30] określili dla przypadku błędów grubych warunki konieczne i dostateczne optymalności M-estymatora, pozwalające wyliczyć explicite jego postać dla wielu zaburzonych modeli. Wiens [34] podaje warunki konieczne i dostateczne dla najod- porniejszego M-estymatora w przypadku otoczeń Kołmogorowa oraz twierdzenia opisujące jego postać dla pewnych klas rozkładów modelowych. Dla tych klas rozkładów Collins i Wiens [31]
rozszerzają rozwiązania na przypadek otoczeń Kołmogorowa-Levy’ego, przedstawiają optymalne R-estymatory i dowodzą, że nie można wówczas przedstawić rozwiązania w postaci L-estymatora.
W pracy [35] Wiens wykazuje, że dla zaburzeń w metryce Kolmogorowa-Levy’ego dowolnego modelu klasa L-estymatorów nie zawiera najodporniejszego estymatora oraz że istnieją optymalne R-estymatory wtedy i tylko wtedy, gdy logarytm gęstości rozkładu modelowego jest funkcją wklęsłą. Podaje też pewne negatywne rezultaty dotyczące optymalności L- i R-estymatorów na e-zaburzeniach. W pracy [33] przedstawia natomiast ważony estymator Cramera-von Misesa,
Asymptotycznie stabilne estymatory parametrów lokacyjnych — II 95
najodporniejszy dla pewnej klasy modeli zaburzonych przez błędy grube o ciągłych rozkładach.
Należy jeszcze wspomnieć, że ostatnio ukazała się monografia Hampela, Ronchettiego, Rousseeuw i Stahela [32] poświęcona koncepcjom odporności związanym z pojęciem funkcji wpływu, alternatywnym wobec koncepcji odporności w ujęciu minimaksowym.
Prace cytowane
[1] J. B a rto szew icz, On the most-bias robust linear estimates of the scale parameter of the exponential distribution, Zastos. Mat. 18 (1984), 251-255.
[2] J. B a rto szew icz, Mean-square-error robustness of linear estimates in the exponential model, Zastos. Mat. 18 (1985), 597-608.
[3] J. B a rto szew icz, Bias-robust estimates based on order statistics and spacings in the exponential model, Zastos. Mat. 19 (1987), 55-63.
[4] J. B a rto szew icz, Bias-robust estimation of the scale parameter, Probability and Mathe- matical Statistics 7 (1986), 103-113.
[5] J. B a r to szew icz, R. Z ie liń sk i, A bias-robust estimate of the scale parameter of the exponential distribution under violation of the hazard function, Zastos. Mat. 18 (1985), 609-612.
[6] T. B ed n arsk i, On minimum bias and variance estimation for parametric models with shrinking contaminations, Probability and Mathematical Statistics 6 (1985), 121 -129.
[7] P. J. B ick el, Another Look at Robustness: a Review of Reviews and Some New Developments, Scand. J. Statist. 3 (1976), 145-168.
[8] P. J. B ick el, Quelques aspects de la statistique robusto. W: Ecole d’Ete de Probability de St.
Flour, Lecture Notes in Mathematics 876, Springer-Verlag (1981), 2-68.
[9] P. J. B ick el, J. R. C o llin s, Minimizing Fisher information over mixtures of distributions, Sankhya, Ser. A, 45 (1983), 1 -19.
[10] J. R. C o llin s, Robust estimation of a location parameter in the presence of asymmetry, Ann.
Statist. 4 (1976), 68-85.
[11] J. R. C o llin s, On the minimax property for R-estimators of location, Ann. Statist. 11 (1983), 1190-1195.
[12] H. A. D a v id , Order Statistics (wyd. 2) J. Wiley, New York 1980; tłum. ros. wyd. 1., Porjadkovye statistiki, Nauka, Moskva 1979.
[13] D. F eld m an , H. G. T u ck er, Estimation of non-unique quantiles, Ann. Math. Statist.
37 (1966), 451-457.
[14] W. F eller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, t. 2 (wyd. 3), PWN, Warszawa 1981.
[15] F. R. H am p el, Contributions to the theory of robust estimation, Ph.D. thesis. University of California, Berkeley (1968).
[16] P. J. H u b er, Robust estimation of a location parameter, Ann. Math. Statist. 35 (1964), 73-101.
[17] P. J. H u b er, Robust Statistical Procedures, SIAM, Philadelphia 1977.
[18] P. J. H uber, Robust Statistics, J. Wiley, New York 1981; tłum. ros. Robastnost’ v statistike, Mir, Moskva 1984.
[19] L. A. J a eck el, Robust estimates of location: symmetry and asymmetric contamination, Ann.
Math. Statist. 42 (1971), 1020-1034.
[20] M. R ied el, The asymptotic bias in a deviation of a location model. W: Stability Problems for Stochastic Models, (red. V. V. Kalashnikov, B. Penkov, V. M. Zolotariev), Lecture Notes in Mathematics 1233, Springer-Verlag (1987), 134-144.
[21] M. R ied el, On most robust statistical functionals in location models, Statistics (w druku).
[22] H. R ieder, Estimates derived from robust tests, Ann. Statist. 8 (1980), 106-115.
[23] T. Rychlik, An asymptotically most bias-stable estimator of location parameter, Statistics 18 (1987) (w druku).
[24] T. Rychlik, R. Zieliń ski , An asymptotically most bias-robust invariant estimator of location. W: Stability Problems for Stochastic Models, (red. V. V. Kalashnikov, B. Penkov, V.
M. Zolotariev), Lecture Notes in Mathematics 1233, Springer-Verlag (1987), 156- 171.
[25] J. Sacks, D. Ylvisa ke r, A note on Huber’s robust estimation of a location parameter, Ann.
Math. Statist. 43 (1972), 1068-1075.
[26] J. Sacks, D. Ylvis ak er, L- and R-estimation and the minimax property, Ann. Statist. 10 (1982). 643-645.
[27] P. F. Thall, Huber — sense robust M-estimators of a scale parameter, with application to the exponential family, J. Amer. Statist. Assoc. 74 (1979), 147-152.
[28] R. Zie li ńsk i, Robust statistical procedures: a general approach. W: Stability Problems for Stochastic Models, (red. V. V. K a l a s h n i k o v , V. M. Zolotariev), Lecture Notes in Mathematics 982, Springer-Verlag (1983), 283-295.
[29] R. Zie li ńsk i, A most bias-robust linear estimate of the scale parameter of the exponential distribution, Zastos. Mat. 18 (1983), 73-77.
[30] J. R. C ol li n s, D. P. Wiens, Minimax variance M-estimators in e-contamination models, Ann.
Statist. 13 (1985), 1078- 1096.
[31] J. R. C ol li n s, D. P. Wiens, Minimax properties of M-, R-, and L-estimators of location in Levy neighbourhoods, Research Report DALTRS-86-2, Dalhousie Univ., Halifax, (1986).
[32] F. R. Ha m pe l, E. M. R o n ch ett i, P. J. R o u sse eu w , W. A. Stahel, Robust statistics. The approach based on influence functions, J. Wiley, New York 1986.
[33] D. P. Wiens, Robust weighted Cramer-von Mises estimators of location, with minimax variance in e-contamination neighbourhoods, Research Report DALTRS-85-9, Dalhousie Univ., Halifax, (1985).
[34] D. P. Wiens, Minimax variance M-estimators of location in Kolmogorov neighbourhoods, Ann. Statist. 14 (1986), 724-732.
[35] D. P. Wiens, Minimax variance L- and R-estimators of location, Research Report DALTRS-86-8, Dalhousie Univ., Halifax, (1986).
[36] R. Zie li ńsk i, Stable estimation of location parameter. N onasymptotic approach, Statistics 19 (1988) (przyjęty do druku).
