Matematyka III Funkcja kwadratowa
1. Podaj liczbę pierwiastków w zależności od parametru m.
a) + 5 − 8 = 0
b) − 5 + − 2 − 1 = 0
2. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki tego samego znaku:
a) + 2 + + 2 = 0
b) + 1 − 4 + 2 + 3 = 0
3. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki o różnych znakach.
a) + + 5 + 2 + 7 = 0 b) − 1 + 2 + 3 − 2 = 0
4. Wyznacz wartości parametru, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie
a) − 2 + 1 = 2 +
b) − 2 − 2 + 3 + − 1 = 0
5. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie ma dwa różne pierwiastki ujemne.
a) − 2 − 2 − 4 = 0
b) − 1 − 2 + 1 + − 2 = 0
6. Wyznacz wartości parametru m, dla których suma odwrotności pierwiastków równania − − 5 + 2 3 − = 0 jest ujemna.
7. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie + 2 + 1 + = 0 ma dwa rozwiązania takie, że suma ich kwadratów jest większa od ich sumy.
8. Wyznacz wartość parametru m, dla których nierówność jest prawdziwa dla każdego R.
a) − 1 + + 2 > 0
b) 5 − + 2 1 − + 2 1 − ≤ 0
9. Wyznacz wartości parametru m, dla których każdy z dwóch różnych pierwiastków równania + 2 + 6 + 4 + 12 = 0 jest większy od -1
10. Wyznacz wartości parametru m, dla których liczba 5 leży pomiędzy pierwiastkami równania + 4 + 3 = 0
11. Wyznacz wartości parametru m, dla których pierwiastki równania należą do przedziału (-2, 4). Równanie ma postać − 2 + − 1 = 0
12. Wyznacz wartości parametru m, dla których równanie 3 − + 1 = 0 ma dwa pierwiastki, które są sinusem i cosinusem tego samego kąta ostrego.
13. Zbadaj liczbę rozwiązań równania 2| | − = w zależności od wartości parametru .
14. Liczby , są rozwiązaniami równania + + = 0 > 4 , · = 3,
− = 4. Oblicz b i c.
15. Dla jakich wartości parametru m, równanie | − 1| = − 2 + 1 ma dwa pierwiastki dodatnie.
16. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie 2 + 3 − 2 − + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki , , takie, że | − | = 3
17. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
− 4 − + 6 + − 2 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste , , takie, że − < 8 + 1 .
18. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie + + 2 = 0ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że ich suma kwadratów jest większa od 2 − 13.
19. Liczby = 5 + √23 i = 5 − √23 są rozwiązaniami równania
− " + # + " + # = 0z niewiadomą x. Oblicz wartości p i q.
20. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
2 + 3 − 2 − + 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki , , takie, że
| − | =3
21. Dana jest funkcja kwadratowa $ = + 2 + 3 − 2 + 1.Wyznacz w zależności od parametru m wzór funkcji % =&'+&(, gdzie , są różnymi miejscami zerowymi funkcji f. Podaj dziedzinę i zbiór wartości funkcji g.
22. Rozwiąż układ równań
) * − | − 2| = 0
− 4 + * = −2 +
23. Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie
− 1 + 2 + 1 + + 4 = 0 ma jedno rozwiązanie.
24. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie
2 − − 2 − 3 = 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste , , spełniające warunek + − 2 ≤ 25.
25. Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania + − 5 + − 7 = 0 jest najmniejsza.
26. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja kwadratowa
$ = − 2 + 2 + 2 + 5 ma dwa różne pierwiastki takie, że suma kwadratów odległości punktów , , 0 , - , 0 od prostej o równaniu
+ * + 1 = 0 jest równa 6.
