Statystyka Matematyczna 2008/2009 - Ćwiczenia 2 Rozkłady Zadanie 1
Niech p będzie prawdopodobieństwem urodzenia się dziewczynki. Prawdopodobieństwo urodzenia się liczby k dziewczynek w grupie n kobiet cięŜarnych zadane jest rozkładem dwumianowym
( )
(
!) ( )
, 1
! !
k n k k
B n p n p p
k n k
= − −
− , k=0,1, 2,..., ,n 0<p< .1 1. Sprawdź unormowanie.
2. Wyznacz modę (taką wartość zmiennej k, dla której rozkład przyjmuje wartość maksymalną).
3. Naszkicuj kształt rozkładu dla róŜnych wartości parametru p.
Zadanie 2
Prawdopodobieństwo urodzenia się liczby k chłopców w ciągu tygodnia dane jest rozkładem Poissona
( )
, 0,1, 2,..., 0!
k
Pk e k
k µ µ
µ = − = µ> .
1. Sprawdź unormowanie, 2. Wyznacz modę.
3. Naszkicuj kształt rozkładu dla róŜnych wartości parametru µ. Zadanie 3
Unormuj następujące rozkłady, naszkicuj ich kształt, wyznacz dystrybuantę i naszkicuj jej kształt:
1. f x x x
(
; 1, 2)
=c, x1≤x≤x2. Ile wynosi c? Czy wartości x1 oraz x2 mogą być ujemne?2. f x a
(
;)
∝x, 0≤x≤a. Czy moŜna poszerzyć zakres zmiennej losowej na wartości ujemne?3. f x a b
(
; ,)
∝ +a bx, − ≤1 x≤ +1. Jaki jest dopuszczalny zakres wartości parametrów? Ile wynosi P x(
>0)
?4. f x a
(
;)
1 , 0 x a∝ x < ≤ . 5. Czy f x a
(
;)
1, 0 x a∝x < ≤ , moŜe być funkcją gęstości?
Ile wynosi wymiar funkcji gęstości w kaŜdym z tych przypadków?
Zadanie 4
śarówka emituje fotony w sposób izotropowy (co to znaczy?). Wypisz wyraŜenie na gęstość
prawdopodobieństwa emisji fotonu w funkcji kątów azymutalnego ϕ i biegunowego ϑ zmiennych sferycznych. Znajdź prawdopodobieństwo rejestracji fotonu w pasie równikowym o całkowitej szerokości 1° i porównaj je
z prawdopodobieństwem emisji w stoŜek, o takim samym połówkowym kącie rozwarcia, jeśli jego oś skierowana jest na jeden z biegunów.
Zadanie 5 (funkcja gęstości prawdopodobieństwa)
Globus wyjęty z podstawki upuszczono na stół. Znajdź prawdopodobieństwo, Ŝe punkt styku ze stołem znajdzie się między:
a) zerowym a dziewięćdziesiątym stopniem długości geograficznej wschodniej,
b) czterdziestym piątym a dziewięćdziesiątym stopniem szerokości geograficznej północnej.
Zadanie 6 (dystrybuanta)
Wyznacz dystrybuantę rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej k zadanego związkiem:
( )
1 , 1, 2, 3,....
k 1
P k
=k k =
+ .
Wskazówka:
( )
1 1 1
1 1
k k = k−k
+ + .
Zadanie 7 (rozkład wykładniczy)
Wychodząc z tzw. wzoru barometrycznego
( ) 0exp z , kT
p z p
λ mg λ
= − =
,
wyznacz gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząsteczki gazu doskonałego na wysokości z nad poziomem morza.
Naszkicuj uzyskany rozkład. Wyznacz dystrybuantę i naszkicuj jej kształt.
Wskazówka: z równania pV = nkT stanu gazu doskonałego wyznacz gęstość ρ = p/kT (liczbę cząsteczek na jednostkę objętości) gazu, oblicz liczbę N cząsteczek w prostopadłościanie o podstawie ∆S o nieskończonej wysokości. Wyznacz wartość ρ0 i unormuj do jednej cząsteczki i do jednostkowego pola ∆S.
