EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

KOD ZDAJ!CEGO

MMA-R2G1P-021

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

POZIOM ROZSZERZONY Arkusz II

Czas pracy 150 minut

Instrukcja dla zdaj"cego

1. Prosz! sprawdzi", czy arkusz egzaminacyjny zawiera 10 stron.

Ewentualny brak nale#y zg$osi" przewodnicz%cemu zespo$u nadzoruj%cego egzamin.

2. Rozwi%zania i odpowiedzi nale#y zapisa" czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy ka#dym zadaniu.

3. Prosz! pisa" tylko w kolorze niebieskim lub czarnym; nie pisa"

o$ówkiem.

4. W rozwi%zaniach zada& trzeba przedstawi" tok rozumowania prowadz%cy do ostatecznego wyniku.

5. Nie wolno u#ywa" korektora.

6. B$!dne zapisy trzeba wyra'nie przekre(li".

7. Brudnopis nie b!dzie oceniany.

8. Obok ka#dego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, któr% mo#na uzyska" za jego poprawne rozwi%zanie.

9. Podczas egzaminu mo#na korzysta" z tablic matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie mo#na korzysta"

z kalkulatora graficznego.

10. Do ostatniej kartki arkusza do$%czona jest karta odpowiedzi, któr% wype#nia egzaminator.

!yczymy powodzenia!

ARKUSZ II

MAJ ROK 2003

Za rozwi%zanie wszystkich zada&

mo#na otrzyma"

$%cznie 60 punktów

(Wpisuje zdaj%cy przed rozpocz!ciem pracy)

PESEL ZDAJ!CEGO

(Wpisuje zdaj%cy przed rozpocz!ciem pracy)

Miejsce na naklejk$

z kodem

Zadanie 12. (5 pkt )

Sprawd', czy funkcja f okre(lona wzorem

!!

"

!!

#

$

%

%

&

&

' (

( (

%

2 3

1 1

2 2 1

3 ) 2 )(

1 ( ) (

2

x dla

x dla

x i x x dla

x x x x x f

jest ci%g$a w punktach x%1 i x%2. Sformu$uj odpowied'.

Odpowied'. ...

Zadanie 13. (3 pkt )

Niech b!dzie zbiorem wszystkich zdarze& elementarnych i , . Oblicz wiedz%c, #e

) ) B

)

*

A B*)

( A

P +

8 ) 5 (A, B %

P ,

2 ) 1 (A %

P ,

4 ) 3 (B- %

P . Sprawd', czy zdarzenia A i B s%

zdarzeniami niezale#nymi ?

Odpowied'. P(A+B) =... Zdarzenia A i B ...

Zadanie 14. (4 pkt )

Odcinek CD jest obrazem odcinka AB w jednok$adno(ci o skali . Wiedz%c, #e

, , , wyznacz:

.0 k )

0 , 2 ((

A B( (0, 2) C(3,4) D(7,0)

a) równanie prostej przechodz%cej przez punkt A i jego obraz w tej jednok$adno(ci, b) równanie prostej przechodz%cej przez punkt B i jego obraz w tej jednok$adno(ci, c) wspó$rz!dne (rodka tej jednok$adno(ci.

Odpowied'. a) Równania prostych maj% posta" ...

b) )rodek jednok$adno(ci ma wspó$rz!dne ...

Zadanie 15. (5 pkt )

Dane s% funkcje f, g i h okre(lone wzorami : f(x)%2^x, g(x)%(x, h(x)% x(2, x/R.

a) Naszkicuj wykres funkcji f.

b) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji f !g. c) Wyznacz wzór i naszkicuj wykres funkcji h! f !g.

-6

-6 2 1

-3 -2 -1 0

4 y

-4 -5 -3 -2 -1 -4 -5

5

1 2

3

x 6 5 4

3 -6

-6 2 1

-3 -2 -1 0

4 y

-4 -5 -3 -2 -1 -4 -5

5

1 2

3

x 6 5 4

3 -6

-6 2 1

-3 -2 -1 0

4 y

-4 -5 -3 -2 -1 -4 -5

5

1 2

3

x 6 5 4 3

Wykres funkcji f. Wykres funkcji f !g. Wykres funkcji h! f !g.

Zadanie 16. (5 pkt )

Zawieraj%c w kolekturze Toto-Lotka jeden zak$ad w grze „Expres-Lotek” zakre(lamy 5 spo(ród 42 liczb. Oblicz prawdopodobie&stwo trafienia co najmniej 4 spo(ród 5 wylosowanych liczb. Wynik podaj w zaokr%gleniu do 0,00001.

Odpowied'. Prawdopodobie&stwo jest równe ...

Zadanie 17. (5 pkt )

Rozwi%# równanie 2cos²x'5sinx(4%0.

Odpowied'. ...

Zadanie 18. (5 pkt )

W tabeli podane s% warto(ci funkcji f :

0

1

x -2 0 3

) (x

f 8

35

8

5 -1

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f.

a) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o odci!tej x%0.

b) Wyznacz ekstremum funkcji f. Podaj argument, dla którego funkcja f osi%ga ekstremum.

c) Podaj najmniejsz% warto(" funkcji f.

Odpowied'. a) Równanie stycznej ma posta" ...

b) Funkcja f osi%ga ... równe ... dla ...

c) Najmniejsza warto(" funkcji f jest równa ...

Zadanie 19. (4 pkt )

Funkcja f jest funkcj% wyk$adnicz%. Okre(l liczb! rozwi%za& równania w zale#no(ci od warto(ci parametru m. Odpowied' uzasadnij.

m x

f( ( )1 %

Zadanie 20. (6 pkt )

Udowodnij stosuj%c zasad! indukcji matematycznej, #e dla ka#dego ca$kowitego,

dodatniego n zachodzi równo(": n n n

2 1 2 ) 3 1 3 ( ...

8

5' ' ' ( % ²'

'

2 .

Zadanie 21. (8 pkt )

W trójk%cie ABC dane s% : AC %8, BC %3, 4ACB %60⁰. Oblicz obj!to(" i pole powierzchni ca$kowitej bry$y powsta$ej po obrocie trójk%ta ABC dooko$a boku BC .

Zadanie 22. (10 pkt )

Rozwi%# równanie log₃

0

1

0

1

Brudnopis

Brudnopis