Siła kulombowska

VI.1 Redukcja ruchu dwóch ciał w polu siły centralnej do ruchu jednego ciała w zewnętrznym polu siły

VI.2 Grawitacyjna energia potencjalna powłoki

kulistej i kuli

VI.1

Siła kulombowska

Siła działająca na ładunek Q

ze strony ładunku Q

:

1 2 12

21 2

0 12 12

1 Q Q r F = 4 r r

πε G G

r 1

G

r 2 12 G

r G

F G 12

1 12 2

r + r = r

G G G

F G 21

0

Q ₁

Q ₂

12 21

F G = − F G

Siła powszechnego ciążenia Newtona

Siła grawitacji działająca na ciało 2 ze strony ciała 1:

r 1

G

r 2 12 G

r G

F G 12

1 12 2

r + r = r

G G G

F G 21

0

m ₁

m ₂

1 2 12

21 2

12 12

Gm m r F = − r r

G G

12 21

F G = − F G

12 = − 2 1 ;      21 = − 12

G G G G G

r r r r r

Równania ruchu środka masy

Dodając stronami uzyskujemy równanie ruchu środka masy:

( ) ( )

1 1 12 12

2 2 12 12

=

= − G G

G G

m r F r

m r F r

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

0

+ +

= =

+

=

G G

G G

m r m r m r m r

R m m M

MR

Równanie ruchu względnego

daje nam po odjęciu stronami:

( ) ( )

1 1 12 12 2

2 2 12 12 1

= ⋅

= − ⋅

G G G G

m r F r m

m r F r m

( ) ( )

2

1 2 2 1 2 1 2 12

1

2 2

1 1 1

1 2

2 2

− = +

+ = µ = G G G

G   G G

m m d r r m m F d

r t

m m m m r F

Ruch względny jest to ruch ciała o masie zredukowanej µ

w zewnętrznym polu siły

Równanie toru jest stożkową w zmiennej r=r ₂₁

Z Cz. V.4 wiemy, ze równanie toru w polu siły grawitacyjnej jest stożkową:

Ognisko stożkowej znajduje się w Środku Masy  układu dwóch ciał. 

( )

( )

0

0

1 1

cos

1 cos

= + ε φ − φ

= + ε φ − φ r p p

r p

2 1

1 21 2 21

1 2 1 2

;     

= = −

+ +

G m G G m G

r r r r

m m m m

r 1

G

r 2 12 G

r G

F G 12

1 12 2

r + r = r

G G G

F G 21

0

m ₁

m ₂

ŚM G

R

Całkowanie wzoru Bineta dla siły grawitacyjnej

Mamy:

Wzór Bineta:

Ma rozwiązanie w postaci krzywej  stożkowej ogniskiem w centrum  siły:

Charakter stożkowej zależy od  wartości mimośrodu ε:

1. ε < 1‐ elipsa

2. ε = 1  parabola‐ krzywa zmierza  do nieskończoności dla 

φ = φ

+π

3. ε > 1‐ hiperbola‐ krzywa 

zmierza do nieskończoności  dla φ = φ

+arccos(1/ ε)

( ) ^{= − α}

^{= − GmM}

F r r r

2

2 2

1 1 µα 1

⎛ ⎞ + = = φ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟

d

d r r L p

( )

( )

0

1 1

cos

1 cos

= + ε φ − φ

= + ε φ − φ r p p

r p

2 2

2 2

= 1 1

ε + = +

µα α

L pE

E

Stożkowe

Problem Keplera: ruch w ŚM dla ciała o różnych E ale tym 

samym L

Elipsa E<0

1 2

max min 2

2

2 2

1 2

2 2

1 2 ε =

= + = =

− ε

= =

− ε µ r

AB

p Gm m

a r r

E

p L

b E

Elipsa cd.

Duża półoś elipsy

zależy tylko od |E|.

VI.2

Pokażemy, że siła grawitacyjna pochodzącą od jednorodnej  powłoki kulistej lub kuli  jest na zewnątrz powłoki taka sama  jak pochodząca od punktu materialnego o masie  powłoki lub  kuli umieszczonego w środku.

Obliczymy grawitacyjną energię potencjalną dla powłoki/ kuli.  

Rachunki będziemy prowadzili we współrzędnych sferycznych.

R

θ

Rsin θ

θ

d _{Rd θ}

Kąt bryłowy

cd

Powierzchnia pierścienia pomiędzy kątami biegunowymiθ a  θ+dθ wynosi:

Zaś objętość powłoki o grubości dR jest:

R

θ

Rsin θ

θ

d _{Rd θ}

2 2

2 sin 2 sin 2 cos

= π⋅ θ⋅ θ = π⋅ θ θ = π⋅ θ

dA R Rd R d R d

2 2 cos

= ⋅ = π ⋅ θ

dV dA dR R dR d

dR

Rsinθ

Rdθ

cd

r

Będziemy obliczać energię potencjalną w punkcie P odległym od  środka powłoki o promieniu R o a. W P umieszczamy masę m.

Masa powłoki M=4πR

σ, gdzie σ jest gęstością powierzchniową masy.

Punkt na powłoce umieszczony pod kątem θ od linii OA znajduje  się w odległości r od P; z tw. cosinusów:

Rachunki trzeba przeprowadzić osobno wewnątrz i na zewnątrz 

a R

2 2

2 cos

= + − θ

r a R aR

θ P

cd. Na zewnątrz powłoki

Wkład do energii potencjalnej elementu powierzchni dA wynosi:

( )

( )

2

2 2

2 2

2 2

0

1 2

2 2

2 2

1

2 cos 2 cos 2 cos

2 cos

2 4

2 2

2

π

−

σ σ π θ

= − = −

+ − θ

σ π θ

= − =

+ − θ

= − π σ

= = −

π σ = − π σ = −

+ −

= −

∫

∫

p p

p

dA Gm R d

dE Gm

r a R aR

Gm R d

E a a R aR

dx R

R Gm R Gm G

E GM

V a

a a m a R aR

M

m

x G m

a

a

Pole jest takie jak od punktu materialnego

o masie M w początku układu

cd. Wewnątrz powłoki

Dostajemy bardzo podobne wyrażenie tylko całka po kątach 

wynosi nie 2/a, a 2/R. Potencjał wewnątrz powłoki jest więc stały  i wynosi:

Oznacza to, że siła przyciągania grawitacyjnego wewnątrz  jednorodnej powłoki kulistej znika!

( ) ^{= − GM}

V a R