dr Krzysztof Żyjewski MiBM rok I, gr. II 27 stycznia 2015
Legalne ściąga na kolokwium III
Uwaga: Zabrania się korzystania z innych materiałów jak również dopisywania do- datkowych informacji.
Granice niektórych ciągów:
a) lim
n→∞
a
n = 0, b) lim
n→∞
1
nα = 0, α > 0 c) lim
n→∞nα = +∞, α > 0 d) lim
n→∞xn = 0, |x| < 1 e) lim
n→∞xn = ∞, x > 1 f ) lim
n→∞
√n
a = 1, a > 0 g) lim
n→∞
√n
n = 1 h) lim
n→∞
nα
an = 0 α > 0, a > 1 i) lim
n→∞
logan
n = 0, n > 1 j) lim
n→∞
nn
n! = ∞ k) lim
n→∞an = ∞, a > 1 l) lim
n→∞an = 0, |a| < 1 m) lim
n→∞(1 + n1)n = e n) lim
n→∞(1 − 1n)n = e−1 o) lim
n→∞(1 + na)n = ea p) lim
n→∞(1 + a1
n)an = e o ile (an) to ciąg o wyrazach dodatnich zbieżny do granicy niewłaściwej (∞).
Tabelka odczytywania monotoniczności ciągu:
an+1− an an+1a
n monotoniczność
> 0 > 1 rosnący
= 0 = 1 stały
< 0 < 1 malejący
≥ 0 ≥ 1 niemalejący
≤ 0 ≤ 1 nierosnący
Symbole nieoznaczone: ∞∞, 00, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1∞, 00, ∞0. Tabelka odczytywania wartości pewnych wyrażeń:
a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
∞ = 0, −∞ < a < ∞ 0a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞
a
0+ = −∞, −∞ ≤ a < 0 0a− = −∞, 0 < a ≤ ∞
a
0− = ∞, −∞ ≤ a < 0
a∞ = 0, 0+ ≤ a < 1 a∞ = ∞, 1 < a ≤ ∞
∞a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞a = ∞, 0 < a ≤ ∞
