dr Krzysztof ›yjewski MiBM, I rok, I 0 in». 28 marca 2015

dr Krzysztof ›yjewski MiBM, I rok, I ⁰ in». 28 marca 2015

Elementy teorii pola

Informacje pomocnicze

Denicja 1. (operator nabla)

Symbol ∇ (nabla) oznacza wektorowy operator ró»niczkowy (operator Hamiltona) zadany wzorem:

∇ = ∂

∂x ~i + ∂

∂y ~j + ∂

∂z ~k lub ∇ =  ∂

∂ , ∂

∂y , ∂

∂z



Denicja 2. (gradient funkcji skalarnej)

Niech funkcja skalarna F (x, y, z) b¦dzie gªadka w obszarze V. Gradientem funkcji F (x, y, z) nazywamy wektor:

grad F = ∂F

∂x ~i + ∂F

∂y ~j + ∂F

∂z ~k Uwaga 3. Stosuj¡c operator nabla mo»emy zapisa¢:

gradF = ∇F.

Denicja 4. (potencjaª pola wektorowego)

Potencjaªem pola wektorowego ~ W (P, Q, R) nazywamy funkcj¦ skalarn¡ F (x, y, z) tak¡, »e grad F = ~ W .

Denicja 5. (dywergencja pola wektorowego)

Dywergencj¡ (rozbie»no±ci¡) pola wektorowego ~ W (P, Q, R) nazywamy pole skalarne okre±lone wzo- rem:

div ~ W = ∇ ◦ ~ W = ∂P

∂x + ∂Q

∂y + ∂R

∂z .

Denicja 6. Pole wektorowe nazywamy bez¹ródªowym, je»eli w ka»dym jego punkcie dywergencja jest równa zeru:

div ~ W = 0.

Denicja 7. (rotacja pola wektorowego)

Rotacj¡ (wirowo±ci¡) pola wektorowego ~ W (P, Q, R) nazywamy pole wektorowe okre±lone nast¦puj¡co:

rot W = ∇ × W =      

~i ~j ~k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

=  ∂R

∂y − ∂Q

∂z



~i +  ∂P

∂z − ∂R

∂x



~j +  ∂Q

∂x − ∂P

∂y



~k.

Denicja 8. Pole wektorowe b¦dziemy nazywa¢ bezwirowym, je»eli w ka»dym jego punkcie rotacja jest równa zeru

rot ~ W = ~0.

Twierdzenie 9. Niech V b¦dzie obszarem jednospójnym, oraz ~ W (P, Q, R) polem wektorowym okre-

±lonym w obszarze V . Pole wektorowe ~ W (P, Q, R) jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy rot ~ W = ~0.

1

dr Krzysztof ›yjewski MiBM, I rok, I ⁰ in». 28 marca 2015

Denicja 10. Laplasjanem funkcji skalarnej F (4F )nazywamy funkcje skalarna okre±lon¡ wzorem:

4F = ∂ ² F

∂x ² + ∂ ² F

∂y ² + ∂ ² F

∂z ² .

Twierdzenie 11. Je»eli pole wektorowe ~ W (P, Q, R) posiada w obszarze V potencjaª F (x, y, z), to div (gradF ) = 4F.

Zadania na ¢wiczenia

1. Wyznacz gradienty funkcji skalarnej:

a) F (x, y, z) = z − arctg ^x _y ; b) F (x, y, z) = xy cos(y ² + 2z).

2. Oblicz gradient pola F (x, y, z) = x ³ +y ³ +z ³ −3xyz w punkcie P 0 = (3, 2, 0). W jakich punktach gradient pola jest niezerowy i prostopadªy do osi Oz, a w jakich si¦ zeruje?

3. Oblicz k¡t mi¦dzy gradientami pól F 1 (x, y, z) = x ² + y ² + z ² , F ₂ (x, y, z) = arctg _x+y ^y

w punkcie P ₀ = (1, 1, 4).

4. Dla pola F (x, y, z) = ln(2x + y ² + z) wyznacz najwi¦ksz¡ pr¦dko±¢ zmiany warto±ci w punkcie P 0 = (1, −2, 1).

5. Zaªó»my, »e temperatura T w pewnym ciele zmienia si¦ zgodnie ze wzorem T (x, y, z) = x ³ y + xz ² . Wyznacz kierunek, najszybszego wzrostu T w punkcie P 0 = (1, 2, −1) oraz pr¦dko±¢ z jak¡

ro±nie.

6. Wyznacz dywergencj¦ pola wektorowego:

a) ~ W = [y ² + z ² , z ² + x ² , x ² + y ² ] ; b) ~ W = ln x, e ^xyz , arctg _x ^z  c) ~ W = − ¹ ₂ xy ² ~i − zy ² ~j − xz ² ~k; d) ~ W =

h

cos xy ² , ln(z ² − 3y), 4 ^z+x

i . 7. Czy pole wektorowe ~ W = [y ² + z ² , z ² + x ² , x ² + y ² ] ; jest bez¹rodªowe?

8. Wyznacz rotacj¦ pola wektorowego:

a) ~ W = [y ² + z ² , z ² + x ² , x ² + y ² ] ; b) ~ W = (3x ² + y)~i + x~j + 2z~k c) ~ W = [x + 2z, z − 3y, 4x + 5z] ; d) ~ W = h

x ² e ^−z

, −xyz ² , e ^−(x

^+y

^+z

⁾ i . 9. Sprawd¹, które pola wektorowe s¡ potencjalne:

a) ~ W = [y + z, x + z, x + y] ; b) ~ W = [x + z, −y, 2] . 10. Czy pole wektorowe ~ W = h

e ^x ln y, − ^e _y

, ^e _y

i jest bezwirowe.

11. Wyznacz laplasjan funkcji:

a) F (x, y, z) = x ² + y ² + z ² − 2xyz; b) F (x, y, z) = x − arctg _y ^z .

12. Czy dla pola wektorowego ~ W = [x ² − yz, y ² − xz, z ² − xy] zachodzi wzór div (gradF ) = 4F ?

2