dr Krzysztof yjewski IP, rok I, S-I

(1)

dr Krzysztof yjewski IP, rok I, S-I

^o

, in». 9 stycznia 2019

Caªka nieoznaczona cz. 1.

Informacje pomocnicze:

przydatne wzory:

Lp. Wzór Uwagi

1. R dx = x + c

2. R adx = ax + c

3. R x ^α dx = _α+1 ¹ x ^α+1 + c α ∈ R \ {−1}

4. R sin xdx = − cos x + c

5. R cos xdx = sin x + c

6. R tg xdx = − ln | cos x| + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

7. R ctg xdx = ln | sin x| + c x 6= kπ, k ∈ N

8. R sinh xdx = cosh x + c 9. R cosh xdx = sinh x + c

10. R ₁

cosh

²

x dx = tgh x + c

11. R ₁

sinh

²

x dx = − ctgh x + c

12. R a ^x dx = _{ln a} ¹ a ^x + c a > 0

13. R e ^x dx = e ^x + c

14. R ₁

x dx = ln |x| + c x 6= 0

15. R ₁

cos

²

x dx = tg x + c x 6= ^π ₂ + kπ, k ∈ N

16. R ₁

sin

²

x dx = − ctg x + c x 6= kπ, k ∈ N

17. R ₁

√

a

²

−x

²

dx = arcsin ^x _a + c a 6= 0

18. R ₁

a

²

+x

²

dx = _a ¹ arctg ^x _a + c a 6= 0

19. R ₁

√

x

²

+a dx = ln

x + √

x ² + a

+ c a ∈ R

20. R ₁

a

²

−x

²

dx = _2a ¹ ln ^a+x _a−x

+ c a > 0, |x| 6= a

21. R f

⁰

(x)

f (x) dx = ln |f (x)| + c

22. R ₁

ax+b dx = ¹ _a ln |ax + b| + c

23. R cos ⁿ xdx = _n ¹ sin x cos ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R cos ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 24. R sin ⁿ xdx = − _n ¹ cos x sin ⁿ⁻¹ x + ⁿ⁻¹ _n R sin ⁿ⁻² xdx n ≥ 2 25. R √

x ² + adx = ¹ ₂ x √

x ² + a + ^a ₂ ln |x + √

x ² + a| + c

26. R _dx

(x

²

+1)

ⁿ

= _2n−2 ¹ _(1+x ^x

2

)

ⁿ⁻¹

+ ²ⁿ⁻³ _2n−2 R ₁

(1+x

²

)

ⁿ⁻¹

dx n ≥ 2

27. R √

a ² − x ² dx = ^a ₂

²

arcsin _|a| ^x + ^x ₂ √

a ² − x ² + c

1

(2)

dr Krzysztof yjewski IP, rok I, S-I

^o

, in». 9 stycznia 2019

Zadania:

1. Korzystaj¡c z podstawowych wzorów na caªki funkcji elementarnych oblicz podane caªki nie- oznaczone:

(a) R x

²

dx; (b) R x

²

√

x + x

³

+ 4x − 1dx; (c) R 5x − 6x

²

+

¹_x

+ cos x + e

^x

dx;

(d) R

_dx

√5

x²

; (e) R 3

^x

dx; (f ) R

_x²_dx

x²+1

; (g) R 2

^x

· 5

^1−x

dx; (h) R sin

^{2 x}₂

dx; (i) R tg

²

xdx;

(j) R

_e^x_dx

3e^x−2

; (k) R

₄

x²+1

dx; (l) R

x√

x−x√⁴ x

√3

x

dx;

(m) R

^√x−2√³ x²+4√⁵

5x³ 6√³

x

dx; (n) R

(x²−1)³

x

dx; (o) R

5

3x

−

^√_x⁴₂₊₁

+

⁵

√ 3 cos²x

dx;

2. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez podstawianie oblicz:

(a) R

_e^x

e^x+2

dx; (b) R x √

x

²

− 3dx; (c) R

_x

3x²−2

dx;

(d) R

_{ln x}

x

dx; (e) R xe

^x²

dx; (f ) R (5 − 3x)

¹⁰

dx;

(g) R

_2x+1

2x²+2x+5

dx; (h) R sin

³

xdx; (i) R (7x + 2)

⁴

dx;

(j) R

_{x dx}

√

16−9x⁴

; (k) R

_{sin x}

3+2 cos x

dx; (l) R

cos(ln x) x

dx;

(m) R (x

²

+ x) sin(x

³

+

³₂

x

²

)dx; (n) R

_x²

cos²(x³+1)

dx; (o) R

_dx

(x²+1) arctan x

; 3. Korzystaj¡c z twierdzenia o caªkowaniu przez cz¦±ci oblicz:

(a) R x sin xdx; (b) R x

²

e

^−x

dx; (c) R

_x

cos²x

dx;

(d) R ln xdx; (e) R 3

^x

cos xdx; (f ) R

_{ln x}

√3

x⁵

dx;

(g) R x

²

sin xdx; (h) R e

^2x

sin xdx; (i) R e

^4x

cos 3xdx;

(j) R e

^3x

sin 2xdx; (k) R (3x

²

+ 4x − 1) cos 4xdx; (l) R x

⁴

ln xdx;

(m) R x ln

³

x; (n) R x

³

ln

²

x dx;

4. Oblicz caªki z funkcji wymiernych:

(a) R

_2x

x+1

dx; (b) R

_x+2

x²−2x

dx; (c) R

₁

x(x+1)²

dx;

(d) R

_x²

x²+2x−3

dx; (e) R

₃

x²+4x+7

dx; (f ) R

_8x+2

2x²+4x+3

dx;

(g) R

_x(x+2)

x²+2x+3

dx; (h) R

_x⁴_−x³_+x²₊₁

x³+x

dx; (i) R

_2x²_+x−4

x³−x²−2x

dx;

2

dr Krzysztof yjewski IP, rok I, S-I