dr Krzysztof Żyjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I 0 .inż. 16 grudnia 2015

dr Krzysztof Żyjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .inż. 16 grudnia 2015

Zadania przygotowujące do kolokwium nr 1

1. Oblicz granice poniższych ciągów:

(a) a _n = √

3n ² + 2n − 5 − n √

3 (b) c _n = √

ⁿ

10 ⁿ + 9 ⁿ + 8 ⁿ (c) d _n = ²

³ⁿ⁻²

₄

2n

+3 ⁻⁵

^3n+32n+1

(d) f _n = _4n ²ⁿ

2

−3 cos n

²

^{+sin n}

²

(e) g _n =

ⁿ

r 

2 3

 n

+ ^{ 3} ₄ ^{ n} (f ) h _n = ^{ n−3} _n ^{ n} (g) i _n = ^{ n} _n

²2

⁺² +1

 n

²

−3

(h) y _n = 7

−3n+1

5n2+1

(k) z _n = log

¹

2

n

²

−2 8n

²

. 2. Korzystając z odpowiednich kryteriów zbadaj zbieżność szeregów:

(a)

∞

P

n=1 n−1 n

³

+1 (b)

∞

P

n=1 2

ⁿ

n! (c)

∞

P

n=1 4

²ⁿ

(2n−2)! (d)

∞

P

n=1 4n−3 2n+4 (e)

∞

P

n=1 2n 4

ⁿ

(f )

∞

P

n=1 3

ⁿ

n!

n

ⁿ

(g)

∞

P

n=1

 n

²

+1 n

²

+n

 n

²

.

3. Zbadaj zbieżność bezwzględną i warunkową: a) ^{P ∞}

n=1 (−1)

ⁿ

(1+

¹_n

)

ⁿ

, b) ^{P ∞}

n=1 (−1)

ⁿ

4n+2 , c) ^{P ∞}

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

ln(n+1)

4. Oblicz granice funkcji (lub wykaż nieistnienie granicy):

(a) lim

x→3

x

³

+4x

x

³

−x

²

−6x (b) lim

x→−4

x

³

+x

²

−12x

x

³

+64 (c) lim

x→−∞

√ 4−x

√ 2−3x (d) lim

x→−∞

5x

³

+3x

²

+2 x √

³

x

⁵

+2x−1

(e) lim

x→0 6x

sin 3x+sin 5x (f ) lim

x→8

√ 9+2x−5

√

3

x−2 (g) lim

x→1 1

1−x

²

(h) lim

x→0 2

^|x|x

(i) lim

x→0

arc tg 4x

sin 5x (j) lim

x→0 6

^x

−3

^x

2x (k) lim

x→0 4

^x

−1 arc sin 2x .

5. Zbadaj ciągłość funkcji w dziedzinie, w punktach nieciągłości określ rodzaj nieciągłości:

a) f (x) =



 

 

x dla x ¬ 0

x

x−1 dla 0 < x < 1 x ² − 2 dla x ­ 1

b) f (x) =



 

 

2 ^x − 1 dla x ¬ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ­ 10

c)f (x) =

( cos ^πx ₂ dla |x| ¬ 1

|x − 1| dla |x| > 1.

6. Dobrać parametry tak, aby podane funkcje były ciągłe na całej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

( _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =

( _x

2

−9

x+3 dla x > −3 x ² + bx + 3 dla x ¬ −3.

7. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f (x) = x ³ sin x + e ^x tg x, b) f (x) = √

⁴

3x ³ + 2x + 4, c) f (x) = ln(arctg e ^2x ), d) f (x) = ln _2x+3 ^x

²

, e) f (x) = _{1+2 sin x} ^{x cos x} , f) f (x) = ln ¹⁺

√ 1+x

²

x , g) f (x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} , h) f (x) = x ² log _x

2

4x, i) f (x) = ctg ^{2 q} ln(cos x ² ), 8. Korzystając z reguły de L’Hospitala oblicz poniższe granice funkcji:

a) lim

x→0

⁻

arctg x

x

²

, b) lim

x→0

⁺

x ² ln x, c) lim

x→+∞

ln

²

x

x

³

, d) lim

x→0 sin

²

x x(e

^x

−1) , e) lim

x→0

 ₁

x − _e

x

¹ −1

 , f) lim

x→0

⁺

x ^{sin x} g) lim

x→

^π₂⁺

(tg x) ^2x−π 9. Wyznacz ekstrema lokalne i zbadaj monotoniczność funkcji

a) f (x) = _x ^4x

2

+1

²

b) f (x) = xe ^−3x , c) f (x) = x ln ² x.

10. Zbadaj wklęsłość, wypukłość wykresu funkcji oraz wyznacz punkty przegięcia:

a) f (x) = _1−x ^x

2

, b) f (x) = ln(1 + x ² ), c) f (x) = x ² e ^−x .

11. Korzystając z definicji różniczki funkcji oblicz przybliżoną wartość funkcji f (x) = √

⁵

31, 98.

12. Znaleźć największą i najmniejsza wartość funkcji f (x) = x ² ln x na przedziale [1, e].

13. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange’a dla f (x) = cos x, x 0 = ^π ₃ , n = 4.

1

dr Krzysztof Żyjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .inż. 16 grudnia 2015

14. Wyznacz wszystkie możliwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, ukośna):

(a) f (x) = ^3x _x

⁴3

⁺¹ (b) g(x) = ^x _x

²2

^−3x −4

15. Wyznacz pochodną funkcji f (x) = ln x ³ w punkcie x ₀ = 3.

16. Wyznacz współczynnik stycznej do wykresu funkcji f (x) = ¹ _x e

^x1

w punkcie x ₀ = −1.

2