dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I0.inż. 8 października 2014
Liczby zespolone
Postać z = a + bi nazywamypostacią algebraiczną liczby zespolonej, gdzie liczbę a nazywamyczęścią rzeczywistą liczby zespolonej z, oznaczamy Re z = a; liczbę b nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z, co oznaczamy Im z = b.
Definicja. Liczbę sprzężoną do liczby zespolonej z = a + ib oznaczamy poprzez z i określamy wzorem:
z = a − ib.
Definicja.Modułem liczby zespolonej z = a + ib nazywamy liczbę rzeczywistą |z| określoną nastę- pująco:
|z| =√
a2+ b2.
Definicja. Argumentemniezerowej liczby zespolonej z = a + bi (ozn. arg z) nazywamy każdą liczbę ϕ ∈ R spełniającą warunki:
cos ϕ = a
|z| oraz sin ϕ = b
|z|.
Wówczas postać z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ) nazywamy postacią trygonometryczną liczby zespolonej.
Mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej
Niech z1, z2 ∈ C oraz z1 = r1(cos ϕ1+ i sin ϕ1), z2 = r2(cos ϕ2+ i sin ϕ2), gdzie r1 = |z1|, r2 = |z2|.
Wówczas:
• z1· z2 = r1· r2[cos(ϕ1+ ϕ2) + i sin(ϕ1+ ϕ2)]
• zz1
2 = rr1
2[cos(ϕ1 − ϕ2) + i sin(ϕ1 − ϕ2)].
Twierdzenie. (Wzór de Moivre’a)
Niech z = r(cos ϕ + i sin ϕ) będzie dowolną liczbą zespoloną oraz n ∈ N. Wówczas zachodzi wzór zn= rn(cos nϕ + i sin nϕ).
Twierdzenie. Dla każdej liczby zespolonej z = r(cosϕ + i sin ϕ) istnieje dokładnie n różnych liczb zespolonych z0, z1, . . . , zn−1 takich, że (zk)n= z. Pierwiastki te wyrażają się wzorem:
zk = √n r
cosϕ + 2kπ
n + i sinϕ + 2kπ n
dla k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.
Geometryczne zbiór pierwiastków stopnia n ≥ 3 z liczby zespolonej z pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu √n
r i o środku w początku układu współrzędnych. Wierzchołki wyznaczone są w punktach z0, z1, ..., zn−1, a kąt pomiędzy ich sąsiednimi promieniami wodzącymi wynosi 2πn.
Pewne wartości funkcji trygonometrycznych
ϕ 0 π6 π4 π3 π2 sin ϕ 0 12
√2 2
√3
2 1
cos ϕ 1
√3 2
√2 2
1
2 0
tg ϕ 0
√3
3 1 √
3 brak ctg ϕ brak √
3 1
√3
3 0
1
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I0.inż. 8 października 2014
Wzory redukcyjne
ϕ π2 − α π2 + α π − α π + α 3π2 − α 3π2 + α 2π − α sin ϕ cos α cos α sin α − sin α − cos α − cos α − sin α cos ϕ sin α − sin α − cos α − cos α − sin α sin α cos α
tg ϕ ctg α − ctg α − tg α tg α ctg α − ctg α − tg α ctg ϕ tg α − tg α − ctg α ctg α tg α − tg α − ctg α
Zadania
1.Wykonaj podane działania w zbiorze liczb zespolonych. Wynik przedstaw w postaci algebraicznej.
(a) (−4 + 3i) + (8 − 7i) (b) (4i − 3) − (1 − 10i) (c) (1 +√
2i) − (√
3 − 6i) (d) (√
2 + i)(3 −√
3i) (e) (√ 7 +√
3i)(√ 7 +√
3i) (f ) (3 − 2i)(1 + i) + |3 + 4i|
(g) i(2−3i)5+4i (h) (2−3i)1−i2 − 3−7i2−3i (i) (1−i)(1+i)33−1+1
2. Znajdź liczby a i b spełniające dane równania.
(a) a(2 + 3i) + b(4 − 5i) = 6 − 2i (b) (2 + ai)(b − 3i) = 7 − i (c) 2a−3i5−3i +3b+2i3−5i = 0 (d) 1+aib−2i = 3i − 1
(e) (a − i)(2 − bi) = 11 − 23i
3. W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż podane równania.
(a) z2− 4z + 13 = 0 (b) z + i − z + i = 0 (c) (i − 3)z = 5 + i − z (d) z2+ (2 + 2i)z + 3 − 2i = 0 (e) z−2i+13+i = 2−izi−1 (f ) (i+1)Im z−iRe z−iz−2i = 1 − 3i (g) z2+ (1 + 3i)z + i − 2 = 0 (h) z4 + (1 + 3i)z2+ i − 2 = 0
4. Na płaszczyźnie zespolonej narysować zbiory liczb spełniające podane warunki.
(a) Re z = 3 (b) Im z = −2 (c) |z − 2i| < 3
(d) π3 < arg z < 43π (e) 1 < |z − 3 + 2i| < 3 (f ) |z2| ≥ |Im (4z)| + 5 (g) Re1−z1+z = 1 (h)
3i+4z−2i ≥ 5
5. Przedstaw w postaci trygonometrycznej następujące liczby zespolone.
(a) 5 (b) i (c) − i (d) − 2 + 2i (e) 1 − i (f )√
3 − i (g)√ 2 −√
6i
6. Korzystając ze wzorów redukcyjnych oraz własności funkcji trygonometrycznych oblicz:
(a) sin 135o (b) cos23π (c) tg56π (d) cos 180o (e) ctg 54π (f ) sin 210o (g) sin32π (h) ctg 315o (i) cos 330o (j) sin73π (k) cos113 π (l) tg 510o (m) ctg323π (n) sin 3723π (o) cos 5843π (p) tg 100174π
7. Oblicz i zapisz w postaci algebraicznej.
(a) (√
3 − i)32 (b) (2√
3 − 2i)30 (c)
√1−i 3+i
6
(d) (cos 330+ i sin 330)10 (e) (1 + i)−6 (f ) (1+i)22
(1−√ 3i)6
(g)
1+i√ 7 2
4
+
1+i√ 7 2
4
(h) (1 + i)8· (1 − i√
3)6 (i) (1 + i)8+ (1 − i)8 (j) (1+i)42
(√
3−i)17 (k) (1−i
√ 3)6
i9(1+i)3 (l)
−√ 3+i 1−i
20
8. Oblicz i narysuj na płaszczyźnie zespolonej.
(a) √3
1 (b) √6
64 (c) √4
116i (d) √5
1 + i (e) p 1 −√
3i (f ) √5
−1 − i (g) p√8
3 − i (h) √4
1 + i (i) √
3 − 4i (j) √
−3 − 4i
2
