• Nie Znaleziono Wyników

Wykład IV Ruch harmoniczny

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Wykład IV Ruch harmoniczny"

Copied!
33
0
0

Pełen tekst

(1)

Wykład IV

Ruch harmoniczny

(2)

Ruch harmoniczny prosty

� =−��

 

����

= ��

 

����

 

����

 

0

x

Siła sprężystości:

x=0

m

� =� 

 

 

(3)

Równanie ruchu w dowolnej chwili

równanie różniczkowe na x(t)!

� =��=−��

 

� � =− ��

 

�� =−

 

Ruch harmoniczny prosty

x

    ����

  m

(4)

Szukamy rozwiązania postaci:

podstawmy

(pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową)

Ruch harmoniczny prosty

� (�)= ���� (��)

 

�� =−

 

=

 

�� =−

 

��

�� =−� � ���(� �)

 

�� =− ����(� �)=−

 

(5)

Parametry: okres drgań

� � =−

 

� (�)=����(��)

 

Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama t)

 

� t )

��� [ (� +� ) ]=��� ¿

 

� � =� �

 

�= � �  

 

Wzór potwierdza

słuszność założenia, że w to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy

ruchu po okręgu .

(6)

Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy

UB – UK UK - UB

�=� �

 

�=������

 

�=���� ��

  �=����� ( �

)

 

=+

  x y

 

 

�=� �

 

(  � , � )

 

(7)

Współrzędne biegunowe

v = wr

wektorowo:  

�=⃗ �× ⃗�

W układzie biegunowym prędkość kątowa

�=� �

��

 

Dla ruchu jednostajnego po okręgu,

 

Wówczas  

�=� �

s

 

x y

 

 

�=� � 

(  � , � )

 

(8)

Okres i częstotliwość

1 radian – kąt, dla którego s=r 1 obrót - 2 radianów (1)

okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2)

Z (1) i (2)

�=� �

=� � � [ ���

]

 

częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek

x y

 

 

�=� �

 

(  � , � )

 

(9)

Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie

A - amplituda drgań T – okres drgań

   = w t

T = 2/w

A

 A

 = wT = 2

 = w t = 0 x

� (�)=����(��)

 

(10)

� � =−

�=− �

 

=

 

� �

=

 

� =� �

 

Ruch harmoniczny prosty

Okres drgań nie zależy od amplitudy!

x

    ����

  m

(11)

Prędkość i przyśpieszenie

położenie:

xMAX = A vMAX = wA aMAX = w2A

� � + �

� (� )= ���� (¿)

¿

 

prędkość:

)

 

x

    ����

  m

przyspieszenie:

�� ( ¿ )

¿

( � )=¿ ¿

 

(12)

� �

� (� )= � ��� (¿)

¿

 

� �

()= � � ��� (¿)

¿

 

A

T t

� (�) 

Aw t � ( � )=− � � ���(� � ¿)

¿

 

T t Aw

T

� (�)

 

�(�)

 

(13)

Ruch harmoniczny prosty

xmaks =A v=0

a=amax

x =0 v=vmaks a=0

Maksymalne wychylenie Przejście przez położenie równowagi

xmax

�  ����

 

  ����

  ����

m

x=0 x=0

m

� =�

 

(14)

Ruch harmoniczny prosty -parametry

• x = A cos(wt + F)

A = amplituda wt + F = faza

w = prędkość kątowa F = faza początkowa

• T –okres (czas trwania jednego drgania).

• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T

w = 2 f = 2 / T

(15)

• Wykres x(t)=A cos(wt - /2)= A sin(wt)

A

 =

/2

 



Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe

(16)

Warunki początkowe –przykład cd.

x(t) = A cos(wt - /2 ) v(t) = -wA sin(wt - /2 ) a(t) = -w2A cos(wt - /2 )

dla  = -/2

x(t) = A sin(wt) v(t) = wA cos(wt) a(t) = -w2A sin(wt)

wt

x(t) A

-A

x(t)

(17)

Ruch harmoniczny prosty - energia

(18)

Energia kinetyczna

 

� �

� ( � )=− � � ���(¿)

¿

 

x

    ����

  m � (� )= � ��� (� � ¿)

¿

 

=

 

(19)

Energia potencjalna

� �

� (� )= � ��� (¿)

¿

 

� ��� ( � � )

¿¿

¿

¿

(� ) = � � ( � )

= ¿

 

x

    ����

  m

(20)

E(t)

( ) = � �

���

( � �)

 

( �)= ��

���

( � �)

 

���

[ ¿ ¿ � ( � � ) + ��� (� � ) ] = ��

=�����

� = � (� ) + � (� )= ��

¿

  E

Ep(t) Ek(t) E=Ep(t)+Ek(t)

T t

 

(21)

E(x)

= � �

= � − �

= � − � �

 

= � �

 

x E(x)

Ep(x) Ek(x)

0 A

-A

(22)

Ruch harmoniczny prosty

xmaks =A

v=0, a=amaks

Maksymalne wychylenie,

maksymalna energia potencjalna.

Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.

xmaks

�  ����

 

  ����

  ����

m

x=0

x =0

v=vmaks, a=0

x=0

m

� =� 

(23)

Ruch harmoniczny z tłumieniem.

k

m

(24)

Równanie ruchu

Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona:

x m

F = -kx a

v

-bv

k

��=

 

podstawmy

2

2

- -

d x dx

m kx b

dtdt

2

2

0

d x b dx k

dtm dtm x

2

2

2 0

d x dx k

dt   dtm x

(25)

( )=���� (− � �)cos( ��+� )

 

Rozwiązanie równania ruchu

�′=

02

 

T’>T0 , 

- ruch aperiodyczny

    =

   

����(− ��)

 

T0 T’

(26)

Logarytmiczny dekrement tłumienia

l=�� �(�)

�(�+� )=�� ����(− � �) 

���� [− � (�+� )]  =��[��� (� � )]=��

 

 

 

(27)

Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t)

Bez tłumienia: E = 1/2 k A2 = const

Z tłumieniem: E(t) = 1/2 kA(t)2 = 1/2 k A2 exp(-2t)

W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje

wykładniczo z czasem

(28)

Ruch harmoniczny tłumiony

 

 

Dobroć układu drgającego:

�= �  

l = �  

� � = � �  

=� �

 

()=����( � �)=����(− �

)

 

( )= �(�)cos( � �+� )

 

- ilość drgań wykonywanych przez układ zanim amplituda zmaleje e razy  

2

2

2 0

d x dx k

dt   dtm x

(29)

Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą

x(t) = A cos(wwymt + )

(¿ ¿ ���)

¿

[¿� − � ¿ ¿]+� �(¿ ¿��� )

¿¿

¿

� = /

¿

 

���f= 2 ��

���

 

2 2

2

2

0 wym m

cos(

wym

)

d x dx

x F F t

dt   dt  w   w

(30)

Rezonans mechaniczny

(31)

Drgania wymuszone - rezonans

rezonans występuje, gdy

Dla układu o częstości drgań własnych

���

1  

A

x0

0

k w  m

0

w

wym

 w

(32)

Drgania wymuszone - rezonans

(¿ ¿ ���)

¿

[¿� − �¿ ¿]+� �(¿ ¿��� )

¿¿

¿

� = /

¿

 

A

1

2

3

1

���

 

> >

 

a) Słabe tłumienie

  b) =

� �  

����=

�� � �

���≅�    

x0

(33)

Dobroć układu rezonansowego

Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość:

�=⃗ � ∙⃗�

 

Q

 

Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły

równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego:

Cytaty

Powiązane dokumenty

Poniewa˙z ładunek był rozło˙zony równomiernie w du˙zej obj ˛eto´sci, nie powinien silnie zakłóca´c ruchu przechodz ˛ acy cz ˛ astek α. Oczekujemy jedynie niewielkich

Jednak oddalaj ˛ ac sie do niesko ´nczono´sci ciało b ˛edzie porusza´c si ˛e coraz wolniej.. Asymptotycznie zatrzyma

Nieco mniej oczywiste są drgania cząsteczek powietrza, które są źródłem dźwięków, oscylacje atomów w ciele stałym, które są związane z temperaturą, a także

W powietrzu wahadło porusza się łatwiej, ale i tak w końcu jego ruch zamiera, gdyż powietrze także stawia opór (znaczenie ma również tarcie w punkcie zawieszenia

Napisać funkcję, która poza przedziałem (0, 2) jest tożsamościowo równa zero, a wewnątrz tego przedziału jest parabolą przechodzącą przez punkt (1,1). Funkcja jest

Gdy tylko prędkość cząstki staje się większa od zera pojawia zależna od prędkości i kierunku ruchu siła Coriolisa (niebieskie strzałki), zakrzywiająca tor ruchu w prawo.. W

Wahadło matematyczne drgające w jednej płaszczyźnie i drgający ciężarek zawieszony na sprężynie są przykładami mechanicznych układów drgających ruchem harmonicznym

Fala, dzięki której odbieramy audycję radiowe, zdecydowanie nie jest falą dźwiękową. Gdyby tak było, wyobrażacie sobie jaki hałas panowałby w pobliżu stacji