Wykład IV
Ruch harmoniczny
Ruch harmoniczny prosty
� =−��
�
����= ��
⃗�����
⃗� ����
0
x
Siła sprężystości:
x=0
m
⃗� =�
⃗�
⃗�
Równanie ruchu w dowolnej chwili
równanie różniczkowe na x(t)!
� =��=−��
� �� �
� �� =− ��
�� �
��� =− �
� �
Ruch harmoniczny prosty
x
⃗�
⃗� ����
⃗� m
Szukamy rozwiązania postaci:
podstawmy
(pokażemy dalej, że w jest prędkością kątową)
Ruch harmoniczny prosty
� (�)= ���� (��)
�� �
��� =− �
� �
√ � � = �
���
��� =−���
��
�� =−� � ���(� �)
�� �
��� =−�� ����(� �)=−�� �
Parametry: okres drgań
�� �
� �� =− �� �
� (�)=����(��)
Definicja okresu T: czas, po którym faza drgania jest taka sama t)
� t )
��� [� (� +� ) ]=��� ¿
� � =� �
�= � �
�
Wzór potwierdza
słuszność założenia, że w to prędkość kątowa. Aby to pokazać, opiszemy
ruchu po okręgu .
Ruch jednostajny po okręgu Układ biegunowy
UB – UK UK - UB
�=� �
�=������
�=���� ��
�=����� ( �
� )
��=��+��
x y
⃗ �
⃗�
�=� �
( � , � )
�
Współrzędne biegunowe
v = wr
wektorowo:
⃗ �=⃗ �× ⃗�
W układzie biegunowym prędkość kątowa
⃗ �= ⃗ � �
��
Dla ruchu jednostajnego po okręgu,
Wówczas
�=� �
s
x y
⃗�
⃗�
�=� �
( � , � )
�
Okres i częstotliwość
1 radian – kąt, dla którego s=r 1 obrót - 2 radianów (1)
okres (T) - czas trwania 1 obrotu (2)
Z (1) i (2)
�=� �
� =� � � [ ���
� ]
częstotliwość (f) - liczba obrotów / sek
x y
⃗�
⃗�
�=� �
( � , � )
�
Ruch harmoniczny prosty -rozwiązanie
A - amplituda drgań T – okres drgań
= w t
T = 2/w
A
A
= wT = 2
= w t = 0 x
� (�)=����(��)
�� �
� �� =− �
� �=− ���
��= �
�
� ��
�� = �
�
� =� �
√
��
Ruch harmoniczny prosty
Okres drgań nie zależy od amplitudy!
x
⃗�
⃗� ����
⃗� m
Prędkość i przyśpieszenie
położenie:
xMAX = A vMAX = wA aMAX = w2A
� � + �
� (� )= ���� (¿)
¿
prędkość:
)
x
⃗�
⃗� ����
⃗� m
przyspieszenie:
�
�� ( ¿ )
¿
� ( � )=¿ ¿
� �
� (� )= � ��� (¿)
¿
� �
� (�)=− � �� ��� (¿)
¿
A
T t
� (�)
Aw t � ( � )=− � � ���(� � ¿)
¿
T t Aw
T
� (�)
�(�)
Ruch harmoniczny prosty
xmaks =A v=0
a=amax
x =0 v=vmaks a=0
Maksymalne wychylenie Przejście przez położenie równowagi
xmax
⃗� ����
⃗� ����
⃗� ����
m
x=0 x=0
m
⃗� =�
Ruch harmoniczny prosty -parametry
• x = A cos(wt + F)
A = amplituda wt + F = faza
w = prędkość kątowa F = faza początkowa
• T –okres (czas trwania jednego drgania).
• f – częstotliwość drgań (liczba drgań w jednostce czasu) f = 1/T
w = 2 f = 2 / T
• Wykres x(t)=A cos(wt - /2)= A sin(wt)
A
=
/2
Ruch harmoniczny prosty - warunki początkowe
Warunki początkowe –przykład cd.
x(t) = A cos(wt - /2 ) v(t) = -wA sin(wt - /2 ) a(t) = -w2A cos(wt - /2 )
dla = -/2
x(t) = A sin(wt) v(t) = wA cos(wt) a(t) = -w2A sin(wt)
wt
x(t) A
-A
x(t)
Ruch harmoniczny prosty - energia
Energia kinetyczna
� �
� ( � )=− � � ���(¿)
¿
x
⃗�
⃗� ����
⃗� m � (� )= � ��� (� � ¿)
¿
�
�=��
Energia potencjalna
� �
� (� )= � ��� (¿)
¿
� ��� ( � � )
¿¿
¿ �
¿
� � (� ) = � � ( � )�
� =� ¿
x
⃗�
⃗� ����
⃗� m
E(t)
�
�( � ) = � �
�
���
�( � �)
❑�
�
�( �)= ��
����
�( � �)
❑�
���
[ ¿ ¿ � ( � � ) + ���� (� � ) ] = ��
�
� =�����
� = � � (� ) + � � (� )= ���
� ¿
E
Ep(t) Ek(t) E=Ep(t)+Ek(t)
T t
�
�
E(x)
�
�= � �
�� = � − �
�= � − � �
��
�
�= � �
��
x E(x)
Ep(x) Ek(x)
0 A
-A
Ruch harmoniczny prosty
xmaks =A
v=0, a=amaks
Maksymalne wychylenie,
maksymalna energia potencjalna.
Przejście przez położenie równowagi, maksymalna energia kinetyczna.
xmaks
⃗� ����
⃗� ����
⃗� ����
m
x=0
x =0
v=vmaks, a=0
x=0
m
⃗� =�
Ruch harmoniczny z tłumieniem.
k
m
Równanie ruchu
Tarcie: f = -b v = -b dx/dt (b=const) Z II zasady dynamiki Newtona:
x m
F = -kx a
v
-bv
k
�
��=�
podstawmy
2
2
- -
d x dx
m kx b
dt dt
2
2
0
d x b dx k
dt m dt m x
2
2
2 0
d x dx k
dt dt m x
� (� )=���� (− � �)cos( �′�+� )
Rozwiązanie równania ruchu
�′= √ �
02− �
�
T’>T0 ,
- ruch aperiodyczny
� ′=�
�
�
����(− ��)
T0 T’
Logarytmiczny dekrement tłumienia
l=�� �(�)
�(�+� )=�� ����(− � �)
���� [− � (�+� )] =��[��� (� � )]=��
�
�
Ruch harmoniczny z tłumieniem – energia mechaniczna E(t)
Bez tłumienia: E = 1/2 k A2 = const
Z tłumieniem: E(t) = 1/2 kA(t)2 = 1/2 k A2 exp(-2t)
W ruchu harmonicznym z tłumieniem, całkowita energia mechaniczna maleje
wykładniczo z czasem
Ruch harmoniczny tłumiony
�
�
Dobroć układu drgającego:
�= �
l = �
� � = � �
� =� ��
�(�)=����(− � �)=����(− �
� )
� (� )= �(�)cos( �′ �+� )
- ilość drgań wykonywanych przez układ zanim amplituda zmaleje e razy
2
2
2 0
d x dx k
dt dt m x
Ruch harmoniczny z tłumieniem i silą wymuszającą
x(t) = A cos(wwymt + )
�
(¿ ¿ ���)
�¿
[¿� − � ¿ ¿��]�+� ��(¿ ¿��� )�
¿¿
√¿
� = ��/�
¿
���f= 2 ��
�
��− �
����
2 2
2
2
0 wym mcos(
wym)
d x dx
x F F t
dt dt w w
Rezonans mechaniczny
Drgania wymuszone - rezonans
rezonans występuje, gdy
Dla układu o częstości drgań własnych
����
�� 1
A
x0
0
k w m
0
w
wym w
Drgania wymuszone - rezonans
�
(¿ ¿ ���)
�¿
[¿� − �¿ ¿��]�+� ��(¿ ¿��� )�
¿¿
√¿
� = ��/�
¿
A
1
2
3
1
����
��
��> ��>��
a) Słabe tłumienie
b) ��= ��
� ���
�����= ��
�� � ��
����≅��
x0
Dobroć układu rezonansowego
Podczas rezonansu siła wymuszająca jest w fazie z prędkością, ponieważ wówczas moc tej siły osiąga największą wartość:
�=⃗ � ∙⃗�
Q
Dla słabego tłumienia, stosunek amplitudy, którą ma układ dla częstotliwości rezonansowej do wychylenia z położenia równowagi pod wpływem siły
równej amplitudzie siły wymuszającej jest równy dobroci układu rezonansowego: