Podkarpackie Centrum Edukacji Nauczycieli w Rzeszowie

(1)

Podkarpackie Centrum Edukacji Nauczycieli w Rzeszowie Strona 47

IV.

konkursu matematycznego

Podkarpackiego Konkursu Matematycznego im. Franciszka Leji. Pierwszy

dru

Zadania konkursowe z V Podkarpackiego Konkursu Matematycznego I Poziom

Etap powiatowy

1. mi

2. ^ab ^ac ^bc ¹¹ w liczbach naturalnych dodatnich.

3.

sam?

4. Dwusieczn

5. x ,,y z

z y y x

zx x yz z

xy .

(2)

Etap rejonowy

1. punkty O1, O2, O3, O4

1O2O3O4 jest

2.

3. â³ ^b³ i â ^b â ^b ⁰,

to a² b²

4. 0.

5. ^{a ,}^,^b ^x ^ab ¹, to

)2

1 ( ) )(

(x a x b x .

1. a a1

5

5 1

a a

2. a,b,c,d,e.

a

(3)

3. f(x 2) f(x 2) 0, to

4.

nieparzyste.

5.

II Poziom Etap powiatowy

1. ^a ^b ^c ⁵ i

5 12 1

1 1

c a c b b

a oblicz

c a

b c b

a b a

c .

2. ⁿ² ¹ jest

podzielne przez 24.

3.

4.

(4)

5. Liczby rzeczywiste x, y oraz ^a ^x ^y ^a ¹

i xy a² 7a 14 a x² y²

Etap rejonowy

1. 3 1

1 3

2004

2003 czy

1 3

2005 2004

2.

3 1

3 3 3 2 2 2

2 y z n x y z n

x

3. ^W⁽^x⁾ ^x³ ^ax ^b

rzeczywisty, to ⁴^a³ ²⁷^b² ⁰.

4. ,

5.

,

, ech O1, O2 i O3

1O2O3.

(5)

1. Podaj wszystkie pary liczb rzeczywistych (^a.^b

b x a x x

f( ) jest parzysta.

2.

w o niu ^y ^x² ⁵⁰^x ⁴⁹

) 1 2 )(

1 6 (

... 1 3 2

1² ² ² n² n n n n N ).

3.

4. a ,,b c

n n

n c b

a 2 dla

dowolnego dodatniego naturalnego ⁿ.

5. 2 3

) 2

( ₂

2

x x

x x x

f

w zbiorze liczb rzeczywistych.

Etap powiatowy. Poziom I

1. ³⁶⁰ ²³ ³² ⁵ aci

z

2.

ac bc ab

1

a , to ^b ^c ^bc ¹¹,

(6)

12 1 1 b

c .

przedstawienia 12 w postaci iloczynu liczb naturalnych otrzymujemy

3 2 2

3 5

1 1

5

c b c

b c

b

c b a ,,

3 1 2

1 3 2

2 1 3

2 3 1

1 2 3

3 2 1

1 1 5

1 5 1

5 1 1

c b a

3. drugi

1 1 1 36

4 1

1 1 10 1

x y

x y x

24 48 y

x .

4.

Oznaczmy ^CAB ² ^, ^ABC ² ^, ^ACB ²

FCB FEB

i ^DEB ^DAB zatem ^FED .

Analogicznie EDF i EFD

2 2 2

co rezultaty otrzymujemy,

A B

C

D E

F

(7)

5.

z y x x

y y z x x xz z y x y z z x y z y y x

zx x yz z

xy 2

x 2 y y

x , ²

x z z

x i 2

y z z y

wy y,

Etap powiatowy, poziom II

1. Skoro ^a ^b ^c ⁵, to ^{c 5} ^a ^b zatem ⁵ ⁵ ¹

b a b a

b a b

a c

Analogicznie ⁵ ¹

c b c b

a i ⁵ ¹

c a c a

b

9 5 3

5 12

1 3 1

5 1 5 1

c a c b b a c

a c

b b

a c a

b c b

a b a

c

2. -

z -1,n i n+1 jest

n- iloczynu przez 24.

3. Z twierdzenia Pitagorasa ^CD ¹³. Oznaczmy ^AD ^x^,^CD ^y, wtedy

z ^x ^y ⁵ ¹³ ^y ^x ¹² ^y ¹⁰, ^P⁽ ^ABD⁾ ^p ^r

p ADC R P( ) i

p ABD r P( ).

Zatem

3 10 2 3

1 2 10 1

) (

h h ABD

P

ADC P

r

R .

(8)

4.

Oznaczmy ^BAE , ^EAD . ^BCG i ^GCD

1800.

w BFE 180⁰ , BFG 180⁰ . GHD 180⁰ ,

1800

DHE

0 0

0

0 360 180 180

360 GHD DHE

GHE

Analogicznie EFG Zatem ^GHE ^EFG ¹⁸⁰⁰

co

5. kwadratowego

0 14 7

1 ²

2 a t a a

t

0 5

3 11 a

2 2 2 2 2

2 y x y 2xy a 1 2a 7a 14 9 a 6

x

5 a . Etap rejonowy, poziom I

1.

ABCD, O1,O2,O3,O4

odpowiednio ASB, BSC, CSD i DSA. O1^,O2 symSB^, O₃,O₄ symSD

zatem O1O2 O₃O₄

2 1O

O i O3O4

4 3 2

1O O O

O .

2. Oznaczmy przez x, xy y x

2 i ^x,^y ^N ^x ^{2 y} ² ⁴.

D

A

B E C

F G H

(9)

N y

x, , a

w postaci iloczynu liczb naturalnych (iloczyny liczb :

3 6 4

4 6

3

y x y

x y

x .

3. â³ ^b³ â ^b â² âb ^b²

b a

b b a

ab a

3 3 2

2 , a zatem jest to

2 .

2 ab b k

a a b a b ² w

Mamy â² ²âb ^b² ^w i ²â² ²âb ²^b² ²^k

3

2 2

2 w k

b

a i jest to

liczba wymierna.

4. Oznaczmy przez ^a,^b

300

. 4r

x Z twierdzenia o czw

x b

a 2 .

rx x r

b r

S a 2 2

2 2 2 2

4 , 1 2 ) 1

( AOB xr S

P ale ²

8 1 4 1 2

1x x x AOB

P .

Mamy zatem ²

8 1 4

1S x x 2S.

5. Niech ^ab ¹ i ^{a ,}^,^b ^x ^R

2 1

2

1² x² a b x ab x² x a b x

b x a x

b a1

Etap rejonowy, poziom II

1. Niech ^x ³²⁰⁰³^,^x ⁰

1 9

1 3 1 3

1 x x x

x

, 0

x a ta jest prawdziwa. Zatem

1 3

1 3 1 3

1 3

2005 2004 2004

2003 .

(10)

2. ^x² ^y² ^z² ⁿ² ¹ ^x²^y²^,^z²^,ⁿ² jest

1 , 1 , 1 ,

1 y z n

x .

W takim razie x³ x²,y³ y²,z³ z²,n³ n², przy czym zn

otrzymujemy dla ^x³ ^y³ ^z³ ⁿ³ ^x² ^y² ^z² ⁿ².

1 0 0 0

0 1

0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

n z y x

.

3.

s x p x b ax

x³ ² dla dowolnego ^x ^R, a zatem

b s p

a s p p

s p

2

2 0 2

, stad i

27

3

6 a

p i

4

2

6 b

p . A zatem 4a³ 27b² 0.

4. Niech r₁,r₂,...,rn

pn

p

p₁, ₂,..., s₁,s₂,...,s_n ich polami tych

p R s p s p

s p s p s p

s p r s r

r ⁿ

n n

n ... ...

... ¹ ²

2 2 1 1 2

1 , gdzie

p- na kole o promieniu R, s pole

5.

sin 2

R c

R b

R a

.

O2 y

O3

O1

R-2x R-2y a

b c

(11)

Z twierdzenia Pitagorasa ² ² ²

) 2

( a

R x

R 2

4

2

2 a

R R x

2 cos 2

2sin

2 R R R

R

R . Analogicznie

2 cos R

y R .

2 1 2

1 sin

2

1 R x R y OOO

OO O

P , ale O1OO2 , Zatem

2 sin cos 1 2

cos 1 2 sin 1 2

cos 1 2

) 1

( O₁OO₂ R R R R R²

P

2 3 3

1OO ,O OO

O .

2 3 3

1 2

) 1

( ABC P OOO P OOO P OOO

P

1. a a1 1 2

2 2

a a , a zatem ² ¹₂

a a ⁴ 1₄

a a jest

a a a a

a a

a a 1 1

1) 1 )(

( ² ₂ ³ ₃

zatem i ³ ¹₃

a a ⁽ ⁴ ¹₄⁾⁽ ¹⁾ ⁵ ¹₅ ³ ¹₃

a a a a

5

5 1

a a

Uwaga: ⁿ _n

a a1 jest

n. 2.

(12)

Niech ^x^,^y^,^z^,^t^,^u z

rysunek. x iy

. a

. e x u

d u t

c t z

b z y

a y x

Zapiszmy go inaczej:

e x u

u t d

c t z

z y b

a y x

ujemy

x:

. 2x b d a c e )

2(

1 a b c d e

x ( ).

2

1 a b c d e y

3. ^x

0 ) 8 ( ) 4

(x f x

f oraz ^f⁽^x ⁴⁾ ^f⁽^x⁾ ⁰^,

stronami ^f⁽^x ⁸⁾ ^f⁽^x⁾ dla dowolnego ^x^, jest

nieujemnej liczby ⁿ ^.

4 ) 1 2 sin( )

( n x

x

f_n Ma ona okres

1 2

8 n . 0 ) 2 ( ) 2

(x f x

f_n _n

(13)

4.

postaci ¹⁰⁰^a ¹⁰^b ^c^, gdzie ^a^{, c}^b^, ^{¹^,³^,⁵^,⁷^,⁹^}.

podzie

25 5

5 liczb

. 25 100 ) 9 7 5 3 1 (

, 25 10 ) 9 7 5 3 1 ( .

25 ) 9 7 5 3 1

( by otrzymujemy 69375.

5. a,c, bi ^d^.

d

b i wtedy ^d ^b ^x dla pewnego ^x ⁰^. Z twierdzenia Pitagorasa i z

(1) ^a² ^b² ^c² ^d²^,

2.

2 2

2 b a c

d Gdyby ^x ¹^, to ^d² ^b² ⁽^b ^x⁾² ^b² ²^bx ^x² ⁴⁰⁰⁰ oraz ^a² ^c² ^a² ⁶⁰² ³⁶⁰⁰ i wtedy

, 0

x czyli ^b ^d i ^a ^c^.

1. ^x ^a ^x ^b ^x ^a ^x ^b .

b x a

x , otrzymujemy b a 2a a b i a b 2b a b,

b

a 2

2 czyli ^a ^b ^a ^b.

a x a x x

f( ) jest parzysta,

a x x

f( ) 2 a b 0).

b

a .

2.

49 ,..., 2 , 1 x 49

,..., 2 , 1

x f(x), a zatem dla

danego x jest ich ^f^(x⁾ ¹ jest

) 48 49 50 49 ( ...

) 48 2 50 2 ( ) 48 1 50 1 ( 1 ) 49 ( ...

1 ) 2 ( 1 ) 1

( f f ² ² ²

f

(14)

Podkarpackie Centrum Edukacji Nauczycieli w Rzeszowie Strona 60 48

49 2 49

49 50 1 99 50 6 49 48 1 49 49 ...

3 2 1 50 49 ...

2

1² ² ²

3.

Niech A1,B1.C1

1 1, BCC ACC . Z

BCC1 BB₁C

ACC1 AA₁C

BC B C C

B₁ ₁ ₁ i CC1A CAA1. . CAA1 jest podobny do CBB1 1

1 CBB

CAA B₁C₁C CC₁A CC₁

1 1

1C A

B .

AA1 B₁A₁C₁. Ortocentrum

ABC

1 1 1BC A

4. â ^b ^c. ⁽â^,^b^,^c⁾ ^b² âc(*)

2 0

n

n c

a czyli â²ⁿ ²âⁿ^bⁿ ^c²ⁿ ⁰. Po dodaniu do obu stron ⁴âⁿ^cⁿ otrzymujemy âⁿ ^cⁿ ² ⁴âⁿ^cⁿczyli âⁿ ^cⁿ ² âⁿ^cⁿ âⁿ ^cⁿ ²^bⁿ.

5. Niech

3 2

2

2 2

x x

x

y x . Wtedy ²^y ¹^x² ^y ¹^x ³^y ² ⁰ ^y ₂¹ dla

3 x 7

2

y 1 23y² 2y² 9.

O

S

A

C

B B1

A1

C1

(15)

wtedy, gdy ⁰ czyli ^y ¹ ₂₃²⁰⁸^, ¹ ₂₃²⁰⁸ .Liczba ¹ ₂₃²⁰⁸

23 208 1

Zadania z IV Podkarpackiego Konkursu Matematycznego I Poziom

Etap powiatowy

1 Oblicz: ^* ² ³

3 2

3 4 7

3. Pan Klewer

numer biletu Klewera?

4.

96 ) )(

(

120 ) )(

(

72 ) )(

(

z y x x z

z y x z y

z y x y x

5. ^{a ,}^,^b ^c

2 1

2

2 b c

a , to ⁽^a ^b⁾² ⁽^b ^c⁾² ⁽^c ^a⁾² ³.

6. naturalnymi nie

Etap rejonowy

1.

ie

p y x

1 1 1

2.

PC PB PK

1 1

1 .

(16)

3.

5 , 1 2 , 1 2

z x

xyz z y

xyz y x

xyz

4. a

n2

n a

z

n

5. ^a^,^b^,^x^,^y ^R , x y 1 oraz

by ax b

y a

x 1 , to ^a ^b.

1.

-3x) = -3g(x) +12 i g(x-1)=5-g(x).

2. 2

1 2

1 1 2 ... 1 3 1 2 1 1 1

n n

n dla ⁿ ^N .

3.

1 + r2 + r3., gdzie r1, r2, r3

4.

1 ...

1 1 1

1 4 3

3 2

2 1

x x

n

5.

(17)

II poziom

Etap powiatowy 1. Dana jest funkcja ^f⁽^x⁾ ⁽^m ²⁾^x² ²^mx ⁴^m ¹

2.

4 144

4

2 2 2 2

y x

y y x y

x .

3. f(x) x(x 1)(x 2)(x 3)oraz

4. ^x ^y ^z ¹, to

3

2 1

2

2 y z

x

5. 1 i P2

trapezu, pole trapezu.

Etap rejonowy

1. ^x ^x ^x ^k w

2.

0

2 1 13

2 2

2 2 4

4

xy

xy y

x

y x y

x

3.

4. ^a ⁰ , ^b ⁰ i ^c ⁰, to zachod

) (

2 ) ( ) ( ) (

6abc ab a b bc b c ac a c a³ b³ c³

5.

(18)

boku BC.

1. Wielomian W(x) daje przy dzieleniu przez x² przez x + 1 ?

2.

27 1 1

1 1

9

yz xz xy

z y x

.

3.

2 2

2 n 16r

m .

4.

5 2004

4 3 2

1 x x x x

x

w zbiorze N+ liczb naturalnych dodatnich.

5.