Podkarpackie Centrum Edukacji Nauczycieli w Rzeszowie

(1)

Podkarpackie Centrum Edukacji Nauczycieli w Rzeszowie Strona 65

V. Ciekawe zadania maturalne

Zadanie 1 (Katowice 1993) Co to za liczby?

x, y, z szukane liczby pierwsze xyz = 5 (x + y + z)

Wtedy: xy = 5 + x + y

-1 {1, 2, 3, 6}, czyli x {2, 3, 4, 7}.

Zadanie 2

dla .

, n i m > n oraz a ( - , -1> <1, ).

(2)

Podstawiamy , wtedy

.

Zadanie 3

a) od 1 b) od .

ta jest w tym zadaniu istotne?

a) , to

|x y| < |x| + |y|, |y z| < |y| + |z| i |z x| < |z| + |x| oraz

|x + y| = |x| + |y|, |y + z| = |y| + |z| i |z + x| = |z| + |x|

(3)

b)

x + y > z, y + z > x i x + z > y y, y > x z i z > y x

otrzymujemy:

analogicznie i .

czyli

Zadanie 4 (Konin 1992)

i .

x i y < 3, to 6

.

Zadanie 5

:

tg²(x + y) + ctg²(x + y) = 1 2x x².

(4)

, gdzie k C.

tg²(x + y) + ctg²(x + y) 2tg(x + y)ctg(x + y)= 1 2x x² 2 (tg(x + y) - ctg(x + y))²= (x+1)²

Zadanie 6 (Radom 1993)

Analogicznie oraz .

(5)

Stosujemy podstawienie: , i .

-2

(6)

.

Zadanie 7 ( 1992)

ie.

x, gdzie t>0 otrzymujemy:

Podstawiamy: , gdzie i otrzymujemy:

(7)

przynajmniej jeden pierwiastek dodatni.

, w

.

Zadanie 8 (Biels )

jest kwadratem liczby naturalnej.

(8)

-

jest naturalna.

Zadanie 9 ( ielkopolski 1992, Siedlce 1994) oraz .