SCH W EIZERISCHER ELEK TRO TEC H N ISC H ER VEREIN
BULLETIN
GEMEINSAMES PUBLI KATI ONSORGAN
D E S S C H W E IZ . E L E K T R O T E C H N I S C H E N V E R E I N S (SEV )
UND
D E S V E R B A N D E S S C H W E IZ . E L E K T R IZ IT Ä T S W E R K E (VSE)
X X I I . J A H R G A N G N - 4 M ittwoch, 1 8 . Februar 1931
INHALT:
S e iteD ie sy m b o lisc h e R e ch n u n g d er W e c h selstro m tech n ik u n d d ie e b e n e V ektor- r e e h n u u g . Von P rof. M ax Landolt, W in te r th u r ... 85 B e r ic h t ü b e r d ie D isk u ssio n s v e r sa m m lu n g fü r F ra g en ü b er F ö r d e r u n g d er E le k
tr iz itä tsv e r w e r tu n g , D ienstag, den 14. und Mittwoch, den 15. O ktober 1930 (Fortsetzung von Seite 7 4 ) ... . 99 D ie L ic h tre k la m e, ih r e h ä u fig ste n A u sfü h r u n g sfo r m e n u n d ih r e B e d e u tu n g
fü r d ie E le k tr iz itä tsw e r k e . Zusam m enfassung des R eferates von / . Guanter, dipl. Ing., Osram A.-G., Z ü r i c h ... 99 D ie T e c h n ik d er H c im b e le u c h tu n g . Zusam m enfassung des R eferates von
Ing. Iiofstetter, Elektrizitätsw erk Basel ... 102
W irtsch a ftlich e M i t t e i l u n g e n ... 103 G eschäftsberichte 1 9 2 9 /3 0 : N ordostschw eizerische K raftw erke, Baden 103 —
M arktpreise 104
M i s c e l l a n e a ...104 E inladung zur 6 . A kadem ischen D iskussionsversam m lung der E. T. H. 104
V erein sn a ch rich ten ... 104 Jahresversam m lungen 1931 in Bern 104 — M itgliederbeiträge S E V 104
Z c itsch riften -R u u d sch a u d es SE V un d e in g e g a n g e n e W e r k e : R ote Seiten 5 — 8 .
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R E D A K T I O N :
G E N E R A L S E K R E T A R I A T D E S S E V & V S E , Z Ü R I C H 8, S E E F E L D S T R A S S E 3#1. T E L E P H O N : 45.66»
D R U C K U N D V E R L A G :
F A C H S C H R IF T E N -V E R L A G & B U C H D R U C K E R E I A -G .. Z Ü R IC H , S T A U F P A C H E R Q U A I 36-38 T E L E P H O N : 51.74«
l)c r S c h w e iz e ris c h e E le k tr o te c h n is c h e V e re in (S E V ) bezw eckt die F ö rd e ru n g d e r E le k tro te c h n ik in d e r Schweiz u n d d ie W ah ru n g d e r gem einsam en In tere sse n se in er M it
g lied er. E r u m fasst m it cn. 2000 M itg lie d ern den G rossteil d e r F a c h k reise d e r schw eizerischen E le k tro te ch n ik . D er V erein w ird von ein e m V o rs ta n d geleitet, d er z u r Z eit w ie folgt zusam m engesetzt ist:
P rä s id e n t :
J. C h uard, D ire k to r d e r B ank fiir ele k trisch e U n te rn eh m u n gen, Z ü rich .
V iz e p rä sid e n t:
A . Z a r u s k i, D ire k to r des E le k triz itä tsw e rk es d er S tadt St. G allen.
U eb rig e M itg lie d e r:
K. Ita u m a m i, D ire k to r des E le k triz itä tsw e rk es d e r S tadt B ern, t. C alam e, O b e rin g e n ie u r d er A.-G. B row n, B overi & Cie.,
B aden.
H . E g/i, In g e n ie u r, Z ü ric h .
E. P a yq t, D ire k to r d e r S ch w eizerisch en G esellschaft fü r e le k tris ch e In d u s trie , B asel.
F. S c h ö n e n b e rg er, In g e n ie u r u n d P ro k u r is t d e r M asch in en f a b rik O e rlik o n , g esto rb en am 1. J a n u a r 1931.
E . S u h b e r g c r , D r. p h il., In g e n ie u r, Z ü rich .
1. ITa eb er, in g é n ie u r en ch ef des E n tre p ris e s é le c triq u es F rih o u rg e o is es , F rib o u rg .
G e n e ra lse k re tä r : F. Largiadbr. In g e n ie u r, Z ü ric h .
D er V e re in b e tre ib t als selb stän d ig e In stitu tio n d ie T e c h n isch en P rü fa n sta lte n , u n d zw ar :
E in S tc.rkstro m in sp ck ta ra i u n te r L eitu n g von O beringe- n ic u r Z\ .Yisstvt s u r In sp e k tio n d e r S tark stro m a n lag e n u n d K o n tro lle ih r e r In s ta n d h a ltu n g nach d e n B u n d esg esetzen u n d V o rsch rifte n u n d d e n V o rs c h rifte n d e s SEV fü r H au sin stal- la tio u e« .
E in e M itterialprU fenstttll fü r d ie U n te rsu c h u n g von M ate
ria lie n u n d A p p a ra te n d e r E le k tro te c h n ik nach den V or
sch riften u n d N o rm a lien des V e rein s o d e r n a c h b e so n d e re n vom A u ftrag g e b e r m it d e r A n stalt v e re in b a rte n P rü fp ro gram m en, ein e Eicfcsttttte f ü r d ie P rü fu n g . E ic h u n g u n d R e p a ra tu r e le k tris c h e r M essin stru m en te, sow ie d ie A u sfü h r u n g a u sw ä rtig e r e le k tris c h e r M essungen, b e id e u n te r L ei
tu n g von O b e rin g e n ie u r E . T a b le r, D ie E ic h stätt« is t offi
cielles P r ü f a m t f ü r E le k tm itä ts v e rb ra u e h s m e s s e r.
D er V e r b a n d S c h w e iz e ris c h e r E le k tr iz itä ts w e r k e (V S E ) u m fasst E le k triz itä ts w e rk e u n d e le k tris c h e B ah n en , w elch e säm tlich auch d em Schw eizerischen E le k tro te ch n isc h e n V e r
ein als M itg lie d er an g eb o ren u n d bezw eckt d ie F ö rd e ru n g d e r E lck triz itü tsw irtsc h aft in d e r Schw eiz u n d d ie W ah ru n g d e r gem einsam en In teressen se in e r M itg lie d e r u n d b e d e u te n d e r G ru p p e n d e rse lb e n d u rc h d ie g em ein sam e L ö su n g tech n isch er u n d w irtsc h aftlic h er F rag en , d u rc h d ie E in w ir
k u n g au f B e h ö rd en u n d O e ffcn llic h k e it. D em V e rb a n d ge
h ö re n ca. 350 E le k triz itä ts w e rk e an. E r w ird g eleitet von e in em V o rstan d , den z u r Z eit w ie fo lg t zusam m engesetzt ist:
P rä s id e n t:
R . A . S c h m id t, D ire k to r d e r S. A. l’E n erg ie d e l’O u est Suisse, L ausanne.
U eb rig e M itg lie d e r:
C. A n d re o n i, D ire k to r des E le k triz itä ts w e rk e s d e r Stadt L ugano.
]. B crtsch in g er, D ire k to r d e r E le k triz itä ts w e rk e d es K a n to n s Z ü ric h , Z ü rich .
11. G eiser, D ire k to r des E le k triz itä tsw e rk es d e r S ta d t Schaff- liausen.
E. Graner, D ire k to r d e r Société des F o rces m o tric es d e la G oule, St-Im icr.
P. K e lle r, D ire k to r d e r B crn isch c n K ra ftw e rk e A.-G., B ern.
A . d e M o n tm o llin , chef d u Service de l ’E le c tric ité d e la v ille de L ausanne, L ausanne.
H . N icsz, D ire k to r d e r M oto r-C o lu n ib u s A.-G., B aden.
B7. T r ü b , D ire k to r des E le k triz itä ts w e rk e s d e r S tad t Z ü ric h . Z ü rich .
G e n e ra lse k re tä r:
F. Largiadcr, In g e n ie u r, Z ü rich .
S e k re tä r:
O . G angnillet, In g e u ic u r, Z ü ric h .
D er V e rb an d b e tre ib t ein e E in k a u fsa b te ilu n g u n te r L ei
tu n g v o n In g e n ie u r O . G a n g n illet, w elch e b ezw eck t, den M itg lie d ern des V e rb a n d e s die B eschaffung a llg em ein n o t
w e n d ig er M aterialien zu günstigen B ed in g u n g en z u erm ög
lic h e n u n d d ie Q u a litä t d e r W are d u rc h tech n isch e V o r
sc h rifte n u n d regelm ässige P rü fu n g e n z u sic h ern . Es b e
stehen gegenw ärtig A b m ach u n g en b e tre ffe n d G lü h lam p en , iso lie rte D rä h te , Is o lie rro h re , G u m m ib le ik a b el, M in e ralö l fü r T ran s fo rm a to re n u n d S ch a lter, sow ie e le k lro th e rm isc h e A p p arate.
D ie G eschäfte b e id e r V e rb ä n d e fu h rt d as gem einsam e G e n e r a ls e k r e ta r ia t d e s SEN' u n d V S E , das a u ch d ie R e d a k tio n des B u lle tin d es SE V b e so rg t.
D as B u lle tin d e s S E V
ist das gem einsam e P u b lik a tio n s o rg a n d es SEV u n d V S E u n d w ird je d e n »w eiten M ittw och, a u sserd em am A nfang des J a h re s das Ja h re s h e ft, a lle n M itg lie d ern b e id e r V e rb än d e g ra tis u n d fran k o xugestellt.
F ü r N ie h ta u tg lie d e r b e trä g t d e r A b o n n e n te a ts p re is d e s B u lle tin p ro J a h r F r. 25.— f ü r d ie Schw ei«, F r. 35. fü r d as V uslaad, das H .d h jsh resab em -.em en t f ü r d ie S chw eis F r. 15.—» Für das A usland Er. 20.- -. E in z eln e N u m m e rn sin d v o m V erlag u b e s ie h e « : d e r P re is , in k l. P o rto , b e trä g t f ü r d ie S chw eis F r. 1.50, f ü r das A u slan d F r, 2,—>
A lle d e n IrJcd s des B u lle tin b e tre ffe n d e n M itte ilu n g e n s in d an d a s .G en e ra lsek re ta riat des SEV u n d VSE, Seefeld- vtrasse 301, Z ü ric h S. »u ric h te n . T e le p h o n 49,tÄ k A lle M itte ilu n g e n b e tre ffe n d 4f>»mnemrt:t, KvpediftVtl u n d ttts e m te sin d :u ric h te « a n d ie E 'achsehriften-V erlag J i B u e h d ru ek e rei A.-G-, Stauffaehorqusu 3 h 38, Z ü ric h . T e le p h o n 51.T40.
A u to re n von H a u p ta rtik e h : e rh a lte n 5 E x em p la re d e r b e tre ffe n d e n B ulletin-A usgabe gratis ««gestellt. W e ite re B uU etin- N um uvero k ö n n e n sie zur« V o rzu g sp reis \ wa F r. W50 p r o E x em p lar d u rc h das G e n e ra lse k re ta ria l des SEV u n d V SE bestehen» so fe rn s ie ih r e n B e d a rf je w e ile a fü n f T ag e v o r d e m E rsch ein e« d e r b e tre ffe n d e n N u m m er » « m eld en . Separat- sh s ü g e w e rd e n n u r a u f b e so n d e re s V e rlan g en d a s eb en fa lls v o r d en eb g em m n ten T e rm in e n gelten d su m ach en i s t ' u n d gegen E rs ta ttu n g vier S e lb stk o sten h e rg e s te i’:.
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2
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G em ä ss § 2 2 4 der H a u sin sta lla tio n s-V o rsc h riften ; zw eip o lig , 10 A m p ., 5 0 V o lt.
F e d e r n d e K o n ta k te p a ten tierter A u sfü h ru n g (D er S te c k e r k an n in k e in e a n d ere S te c k d o s e
g e ste c k t w erd en )
No. 1112
D i e I S O L A T O R E N b e s t i m m e n | d ie B e t r i e b s i c h e r h e i t be i a l l e n | H o c h s p a n n u n g s a n l a g e n . | Die H E SC H O h a t a l l e i n a n kitt- | losen Kettenisolatoren m eh r a ls |
3 '/a M il l i o n e n Stüc k g e li e fe r t . |
Die Summe der gesammelten Er- §
f a h r u n g e n k om m t Ihnen zugute. |
HESCHO HERMSDORF thü * I
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4
i Haefely-Kondensatoren mit-einer totalen Blind
leistung von 100 KVAjn dereigenen Kraftanlage der Papierfabrik Stöcklin C2 Basel zur besseren Ausnützung
der Generatoren.
StSSlSSllll
Verbesserung des Leistungsfaktors bewirkt
Entlastung der Generatoren, Leitungen, Transform atoren von Blindleistung, Verminderung der Verluste und ermöglicht
bessere Ausnützung, grössere Leistungsfähigkeit der Erzeu- gungs- und Verteilanlagen, sowie günstige Strom-Tarife.
EMIL HAEFELYsCSä BASEL
t e l e & r : m i c a r t a B A S E L.
ELEKTROSTATISCHE
KONDENSATOREN
Die drei 10000 kVA-Generatoren für Weüingen werden gebaut von der
Maschinenfabrik Oerlikon
Die Eichstätte
des
Schweiz. Elektrotechnischen Vereins
besorgt
in ihrer Instrumenten-PeparaturwerkstäUe die Revision
und Reparatur elektrischer Messinstrumente jeder A rt.
Sie überprüft vor Inangriffnahme einer R eparaturarbeit die W irtschaft
lichkeit der Instandstellung im Verhältnis zum Anschaffungspreis des betref
fenden A pparates und orientiert den A uftraggeber im voraus über die mut
masslichen Reparaturkosten.
Im Anschluss an die Instandstellung w erden die Instrumente einer sorgfältigen Prüfung unterzogen, über deren Resultate ein Prüfschein ein
gehenden Aufschluss gibt.
Die neuen Einrichtungen der Instrumenten - Reparaturw erkstätte des S, E. V. ermöglichen derselben, kurze Lieferfristen einzuhalten.
6
SC H W E IZ E R ISC H E R E L E K T R O T E C H N ISC H E R V E R E IN
BULLETIN
R E D A K T IO N :
G e n e rä lse k re ta ria t des Schweiz. E le k tro te clin . V erein s u n d des V erb an d es S c h w eiz.E lek trizitätsw erk e, Z iirich8, S cefeld str. 301
V ER LA G U N D A D M IN IS T R A T IO N :
F ach sch riften -V erlag & B u c h d ru ck e rei A.-G., Z ü rich 4 S tauffacherquai 36/38
N ach d ru ck von T e x t o d er F ig u re n is t n u r m it Z u stim m u n g d e r R ed ak tio n u n d n u r m it Q u elle n an g ab e g e statte t
X X II. Jahrgang N° 4 M ittwoch, 18. Februar 1931
t !
D ie sy m b o lisch e R e c h n u n g d e r W e c h selstro m tec h n ik u n d
71 d ie e b en e V e k to rre ch n u n g * ).
V on P ro f. M a x L a n d o lt, W in tc rlb u r. 512
F ü r d ie gra p h isch e D a r ste llu n g v o n Z u sa m m e n h ä n g e n zw isc h e n s in u s fö r m ig v erä n d e rlic h e n W e ch sc lstro m g rö ssen is t h e u te d ie V e r w e n d u n g von V e k to r e n in V e k to r d ia g ra m m e n u n b e stritte n e s A llg e m e in g u t. D ie .m a th em a tisc h e E r fa ssu n g d er g leich en Z u s a m m e n h ä n g e ist dagegen u m s tr it
ten e s K a m p fg e b ie t B e w e is d a fü r s in d d ie v ersc h ie d en e n M e th o d e n , d ie h e u te n e b e n e in a n d e r b e ste h e n : D ie s y m b o lis c h e R e c h n u n g u n d d ie e b e n e V e k to r r e c h n u n g, d ie b e id e in m e h re re n V a ria n te n V o rk o m m e n .
D ie m it im a g in ä ren Z a h le n a rb e ite n d e n sy m b o lisc h en R e c h n u n g e n ‘h a b en fü r V ie le etw as U n vo rstellb a res u n d G e h e im n is v o lle s an sich. Um d iese S c h w ie rig k e ite n zu b e
seitig en . in te rp r etier en in le tzte r Z e it m e h re re A u to r e n d ie ,s\-m h o lisch e R e c h n u n g v e k to riell u n d a n d ere verw en d en d ie '■ eUeñe V ek to r re c h n u n g . Z u m e is t b e d ie n e n sie sich d a b ei ganz v ersch ie d en e r Z e ic h e n u n d A u sd ru c k sw e is e n , so dass sich e in e e in h e itlic h e Si>raehe, d ie ü b e ra ll versta n d en w erd en k ö n n te , n ic h t h e ra u sb ild e n ka n n .
I m ersten T e il d e r v o rlie g en d e n A r b e it w erd en d ie E le
m e n te von v er sch ie d en e n b e ste h e n d en R ec h n u n g sa rte n k u r z z u s a m m e n g e s te llt u n d k ritisc h b e sp ro c h en . I m zw e ite n T e il w ir d g ezeig t, tvie d ie s y m b o lisc h e R e c h n u n g u n te r B e ib e h a ltu n g e in e r h ä u fig a n g ew a n d ten S c h re ib w e ise .v e k to rie ll A.: in te r p r e tie rt w e rd e n ka n n u n d sich da n n zw anglos den be- k a n n te n R e g e ln d er ele m e n ta ren V e k to r r e c h n u n g fü g t. Im T d r itte n T e il w ird g ezeig t, w ie sTcli d iese m it d e n Z e ich e n d e r s y m b o lis c h e n R e c h n u n g g e sc h rieb e n e e b e n e V e k to r r e c h n u n g a u f G r u n d p r o b le m c d er W e ch s e ls tr o m le c h n ik a n w en d e n lässt.
D as Z ie l d er A r b e it ist, du rch Z u s a m m e n fa ssu n g b e
s te h e n d e r E le m e n te d er sy m b o lisc h e n R e c h n u n g b e i v e k to r ie lle r A u s le g u n g zu r V e r e in h e itlic h u n g d er m a th e m a ti
sc h e n B e h a n d lu n g sw e ise vo n W e c h se lstro m p r o b le m e n b e i
zu tra g en .
D as G e n era lsek rc ta ria t m a c h t sp e z ie ll d ie jü n g e r e n L e se r d e s ~ ß u lletih a u f d ie v o rlie g e n d e V e r ö ffe n tlic h u n g a u fm e r k sa m , als g u te E in fü h r u n g in d ie in L e h rb ü c h e rn u n d w isse n sc h a ftlich e n A b h a n d lu n g e n o ft a n g ew a n d te sy m b o lisc h e
M e th o d e . f A B , ^
l > t'/J • t 3 ) i J j L . ^ ***-
?
X
X f!L ’u tilisa tio n d e vecteu rs e t d e d ia g ra m m es vec to rie ls p o u r la re p résen ta tio n g ra p h iq u e d e ra p p o rts e n tr e g randeurs sin u so ïd a les variables, telles q u ’elle s se p ré se n te n t dans l ’é tu d e d es c o u ra n ts a lte rn a tifs , est a u jo u r d ’h u i in co n te sta b le m e n t d u d o m a in e p u b lic . L ’exp ressio n m a th é m a tiq u e d e ces rap p o rts, par co n tre, est en co re fo r te m e n t d iscu tée. P our s’en re n d re c o m p te , on n ’a q u 'à c o n sid érer les d iffé r e n te s m é th o d e s q u i su b s is te n t en co re a u jo u r d ’h u i l’u n e à côté de l ’a u tre : le c alcul s y m b o liq u e , le calcul v e c to r ie l et leurs n o m b r eu s es variantes.
L es m é th o d e s d e ca lcu l s y m b o liq u e , tra v a illa n t avec des gra n d eu rs im a g in a ires, ont p o u r b ea u co u p q u e lq u e chose d e m y s té r ie u x et d ’irre p ré se n ta b le . P o u r é v ite r ces d i ff i c u lté s b ea u co u p d ’a u teu rs o n t, ces d e rn ier s tem p s, in te rp rété v e ç to r ie lle m e n t la m é th o d e s y m b o liq u e , ta n d is q u e d ’autres p ré c o n is en t le c alcul v e c to r ie l p la n . G é n éra lem e n t ils se s e rv en t p o u r leu rs calculs d e signes e t d ’exp ressio n s toutes d iffé r e n te s , d e so rte q u ’il n e p e u t se fo r m e r u n e te r m in o lo g ie u n ita ire et c o m p ré h e n s ib le p o u r tous.
D ans la p r e m iè re p a rtie d e c elte é tu d e , l ’a u teu r analyse les n o tio n s é lé m e n ta ire s d es d iffé r e n te s m é th o d e s d e calcul.
D ans la se co n d e p a rtie, il m o n tre c o m m e n t la m é th o d e s y m b o liq u e p e u t être in te rp r é té e v e ç to r ie lle m e n t, to u t en en m a in ten a n t les signes c o n v e n tio n n e ls courants, e t c o m m e n t c ette n o u v e lle m é th o d e se p rê te alors a u x o p é ra tio n s et règ les c o n n u es d u calcul vec to rie l élé m e n ta ire . D ans la tro isiè m e p a rtie, l ’a u te u r m o n tre d e q u e lle m a n iè re le cal
c u l v ec to r ie l p la n , u tilisa n t les signes c o n v e n tio n n e ls d e la m é th o d e s y m b o liq u e , p e u t être a p p liq u é a u x p ro b lè m e s fo n d a m e n ta u x d e la te c h n iq u e des co u ra n ts a ltern a tifs.
L e b u t d e c e tte é tu d e est d e c o n tr ib u e r à l ’u n ifo r m isa tio n d e l ’ana lyse m a th é m a tiq u e d es p ro b lè m e s des co urants a lte r
n a tifs, e n co n d en sa n t les n o tio n s é lé m e n ta ire s e xista n tes d e la m é th o d e s y m b o liq u e et en d o n n a n t à ces n o tio n s u n e in te rp r é ta tio n vecto rielle.
L e S ecréta ria t gén éra l re c o m m a n d e s p é c ia le m e n t aux je u n e s lec teu rs d u B u lle tin l ’é tu d e d e c ette p u b lic a tio n , q u i est u n e e x c e lle n te in tr o d u c tio n à la m é th o d e s y m b o liq u e assez so u v e n t e m p lo y é e a c tu e lle m e n t d a n s les m a n u e ls et dans les tra va u x s c ien tifiq u es .
fAraJ.-*-
1. E le m e n te b e s te h e n d e r s y m b o lis ch e r R e ch n u n g e n u n d ebe- n e r V e k to rre c h n u n g e n .
2. Z u sa m m e n fa ssu n g b e s te h e n d e r E le m e n te zu e in e r eb en en V e k to rre c h n u n g u n te r V e rw e n d u n g ü b lic h e r S c h re ib w eisen .
21. D er Q u o tie n t von zw ei z u e in a n d e r se n k re c h t ste h e n d en , g leic h la n g en V e k to ren .
22. D e r O p e ra to r, d e r Q u o tie n t von zw ei b e lie b ig e n V e k to ren .
*) E in g a n g des M a n u sk rip te s : 2. J u n i 1930.
In h a ltsv e r z e ic h n is. ) /e ^ ' ' '
23. R e clu iu n g sreg e ln fü r V e k to re n u n d O p e ra to re n . ' J -¿ ‘i /,
’ 231. S um m e. . ; r ' , /
232. D ifferen z. V V *
232. D ifferen z.
233. P ro d u k t.
231. Q u o tien t. ....
24. V a ria b le V e k to re n u n d O p e ra to re n , O rtsk u rv e n . /s .¡rct-M
241. G erad e. • „.-/ f
242. K re is. ' -
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86 BULLETIN No. 4 X X II. Jahrgang 1931
243. E llip se .
3. A n w en d u n g e n d e r eb en e n V e k to rre c h n u n g a u f G ru n d p ro b le m e d e r W ec h se ls tro m te c h n ik .
31. V e k to rie lle B e h a n d lu n g von W ech se lstro m grössen.
311. S tro m v ek lo re n .
312. Im p ed an z- u n d A d m ilta n zo p e rato ren . 32. V e k to rie lle B e h an d lu n g von Im p ed a n ze n .
321. R e ih e n sc h altu n g . 322. P a ra llels ch a ltu n g .
33. V e k to rie lle B e h an d lu n g von D reh- u n d W echsel flössen.
1 .
E le m e n te b e s te h e n d er sy m b o lisc h e r R e c h n u n g e n un d e b e n e r V e k to r r e c h n u n g e n .
N ach dem V orbild der M athem atik, die jedem Punkt der Gauss’schen Z ahlenebene ein e reelle und eine im aginäre K oordinate zuschreibt, w ird in der sym bolischen R echnung ein eine W echselstrom - grössc darstellender Diagram m vektor in zw ei K om ponenten zerlegt, von denen die ein e m it der reellen und d ie andere m it der dazu senkrecht stehenden im aginären A chse eines K oordinaten
system s zusam m enfällt. Der S pitze des V ektors wird ein e k om p lexe Zahl zugeordnet und dam it 'der ganze Vektor, dessen Fusspunkt m it dem N u ll
punkt des K oordinatensystem s zusam m enfällt, sym bolisch dargestellt. So w ird zum B eisp iel ein einen b elieb igen , sinusförm ig veränderlichen W echsel
strom von der effek tiven Strom stärke I darstellen
de D iagram m vektor ^ gemäss Fig. 1 zerlegt.
D ie Spitze des V ektors dessen Länge I beträgt, hat die K oordinaten I costp und — j I sinr/n Man erhält so folgenden A usdruck:
$ = / cos cp — j l sin cp.
A ls Z eichen für die im aginäre E in h eit schreibt die sym bolische R echnung den B uchstaben j, da der in der M athem atik dafür verw endete B u ch stabe i für den M om entanwert der Stromstärke reserviert ist.
In Fig. 1 ist d ie Lage der A chsen die in der M athem atik ü b lich e: D ie V erdrehung der posi
tiven reellen H albachse um 90" entgegengesetzt der D rehrichlung des U hrzeigers ergibt die Lage der positiven im aginären H albachse. Der W inkel cp, der die V oreilung des V ektors gegenüber einem in der positiven reellen H albachse liegen d gedach
ten B ezugsvektor angibt, ist im U hrzeigersinn posi
tiv gerechnet.
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/ cm r fiteffrAfift t
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\ Ft»H, Á J!Sf,
¡C U -f s e r n t
•Jlunf
F ifí. 1. F ig . 2. + F ig . 3.
B ezeich n et m an gemäss der internationalen F e stsetz u n g 1) den W inkel <p im G egenuhrzeiger
sinn als positiv, so m uss ein Vektor der einem in der p ositiven reellen H albachse liegen d en B e-
l ) D ie C o m m issio n E le c tro te c h n iq u e In te rn a tio n a le (C E I) leg te im S e p te m b e r J e s J a h r e s 1911 in T u r in fe st: «B ei d e r g ra p h isch e n D a rs te llu n g von p e rio d isc h v e rä n d e rlic h e n e le k tris ch e n u n d m ag n e tisch e n G rössen so ll d e r d em U h rz e ig e r
sin n en tg e g en g e se tzt g e rich tete D re h sin n d ie P h a se n v o re ilu n g an g eb en .» E T Z 1911, S. 1059.
zugsvektor voreilt, in den Quadranten zu liegen kom m en, der durch die beiden positiven H a lb achsen eingeschlossen ist (Fig. 2 ).
Im zugehörigen sym bolischen A usdruck er
scheint entsprechend der veränderten Lage der im aginären K om ponente an S telle des M inus-Zei
chens ein Plus-Zeichen:
^ / cos cp - \ - j 1 sin cp.
B ehält m an als positiven D rehsinn den G egen
uhrzeigersinn hei, so erhält m an ein e dritte Dar
stellungsw eise, die w ieder zu dem zuerst erhaltenen sym bolischen Ausdruck führt, indem m an die b e i
den im aginären H albachsen m iteinander vertauscht (Fig. 3 ):
^ = I cos cp — j I sin cp.
Diese drei D arstellungsarten eines V ektors durch eine k om plexe Zahl sind in der L iteratur der sym b olisch en R echnung von bekannten A utoren ange
w endet worden. D ie vierte noch m öglich e D arstel
lungsart, die w ieder zum zw eiten sym bolischen Ausdruck führt, kom m t nicht vor.
D ie erste D arstellungsart verbreitete sich vor allem , bevor international der G egenuhrzeigersinn als positiver V ektordrehsinn festgesetzt w a r 1). Sie wurde von A r n o ld ~) und R o e s s l e r s) angewendet.
In A n leh n u n g an deren Standardwerke w ird sie neuerdings noch von Hugo R i n g 1) benützt.
Als B eisp iel sei die elektrom otorische Kraft einer W echselstrom quelle G in F u n k tion des von ihr durch eine m it einem O hm schen W iderstand R in Serie geschalteten D rosselspule L getriebenen Stromes ^ dargestellt. Die K reisfrequenz sei co
(Fig. 4 ).
U nter Berücksichtigung der im Schaltungsschema (Fig. 4) eingezeichneten B e z u g ssin n e 5) erhält m an das Vektordiagram m der Fig. 5.
- 0 --D er zugehörige sym bolische
Ausdruck la u te t:
F ig . 4.® = R $ — j c o L $ = (R — j
ojL j $ . . D ie z w e ite Darstelluugsart entspricht der inter
nationalen Festsetzung des positiven V ektordreh
sinnes. Sie beginnt gegenwärtig, sich allgem ein
'4) E. A rn o ld , D ie W ec h se ls tro m tec h n ik , B a n d I, 2. A u flage, S. 37, V e rlag J u l. S p rin g e r, 1910.
3) G. R o e ssle r, D ie F e rn le itu n g v o n W ec h se lströ m e n , V er-
| lag J u l. S p rin g e r, 1905.
') H u g o R in g , D ie sy m b o lisch e M e th o d e z u r L ö su n g von W echsel s tro m a u f gaben, 2. A u flag e, S. 2. V e rlag J u l. S p rin ger, 1928.
5) D ie B e rü c k s ic h tig u n g d e r B ezu g ssin n e ist fü r d ie R e ch n u n g eb en so w ic h tig w ie fü r das V e k to rd ia g ra m m , w o rü b e r n ä h e re s zu fin d en ist h ei A. v. B ru n n , D ie B e d eu tu n g des B ezu g ssin n es im V e k to rd ia g ram m , B u ll. SEV 1922, S. 386.
:W
X X IP A n n ee 1931 BULLETIN N o. 4 87
durchzusetzen, A ls B en u tzer dieser D arstellungsart seien beisp ielsw eise folgen d e A utoren genannt:
C a s p a r 0), I J a u f j e 7), N o e t h e r 8), R i c h t e r 0), Tlio- m ä l e n 10). Für das vorher b eh a n d elte B e isp ie l er
gib t sich das V ektordiagram m (Fig. 6 ) :
■I
I /
yoreJunf
m m
] pcilhyf flW/ri
uLl yytJvng ttiilbxtue
F i ff. 5. F ig . G.
D er zugehörige sym bolische A usdruck bekom m t d ie Form :
© = R-Qf + j > l | = (R + j c o L) $
D ie d r itte D arstellungsart w ird von einigen A utoren angew endet, die ursprünglich den U hr
zeigersinn als V ektordrehsinn betrachteten und sich nachher der internationalen Festsetzung an
schlossen. Sie konnten ih re früheren G leichungen b eib eh a lten , w enn sie m it der Veränderung des
• D rehsinnes gleich zeitig d ie Lage der positiven im a
ginären H albachse um k lap p ten , also so legten , dass sie gegenüber der p ositiven reellen H albachse um 90° im U hrzeigersinne verdreht war. A ls B eisp iel sei O s s a n n a 11) genannt. Das V ektordiagram m des b eh an d elten B eisp ieles entspricht dann Fig. 7.
D er zugehörige sym bolische A usdruck lau tet:
@ = R $ - j co L | = (R - j co L) $
W ie bisher dargelegt w orden ist, zerlegt die sym b olisch e R echnung die von ih r b eh an d elten W echselstrom grössen in zw ei K om ponenten ver-
F ig . 7. F ig . 8.
schiedener Art, n äm lich in ein e reelle (w irk lich e) u n d in ein e im aginäre (u n vorstellb are). D am it
X - Isch afft sie gegenüber den V ektordiagram m en etwas
°) L u d w ig C asp er, E in fü h ru n g in d ie k o m p le x e B e h a n d lu n g v o n W ec lisc lstro in a u f g ab en , S. 20, V e rla g J u l. S p rin g er, 1929.
T) G e rh a rd H a u ffe, D ie sy m b o lisch e B e h a n d lu n g d er W ec h se lströ m e , S. 20, N r. 991 d e r S a m m lu n g G öschen, V e r
lag W a lte r de G ru y te r & Co., 1928.
8) F. N o e th e r, A b s c h n itt « V e k to rd ia g ra m m e u n d k o m p le x e R e ch n u n g » in E . v. R z ih a u n d J. S e id e n e r, S ta rk stro m te c h n ik , T a s c h e n b u c h fü r E le k tro te c h n ik e r, B and I, 7. A u f
lag e, S. 38, V e rlag W ilh e lm E rn s t & S ohn, 1930.
°) R u d o lf R ic h te r, E le k tris c h e M a sch in en , B an d I, S. 55, V e rla g J u l. S p rin g e r, 1924.
10) A d o lf T h o m ü le n , K u rz e s L eh rb u c h d e r E le k tro te c h n ik , 10. A u flag e, S. 137, V e rla g J u l. S p rin g e r, 1929.
11) G. O ssanna, A b s c h n itt « S y m b o lisch e B e h a n d lu n g sta
tio n ä re r W e c h se ls tro m e rsc h e in u n g e n » in E. v. R z ih a u n d J . S e id en e r, S ta rk stro m te c h n ik , T a s c h e n b u c h fü r E le k tro te c h n ik e r, B an d I, ö. A u flag e, S. 58, V e rla g W ilh e lm E rn s t
& Solm , 1922.
N eues, Unerwünschtes. D ie E bene, d ie für die gra- f X ' p hische D arstellung der Z usam m enhänge durch V ektoren in allen R ichtungen hom ogen ist, b e
kom m t b ei der m athem atischen B eh an d lu n g durch die sym bolische R echnung ein e axiale Struktur.
D ie W cchselslrom grössen sind aber ihrer Natur nach n iem als kom p lex, also n ich t aus ein er reellen und einer im aginären K om p on en te zusam m enge
setzt. Um diesen Z w iespalt zu b eh eb en , entstand in den letzten Jahren in der einschlägigen Literatur ein e Ström ung, die d ie in den V ektordiagram m en graphisch vollstän d ig reell dargestellten Zusam
m enhänge auch m a th em a tisch m it vollständig reellen M itteln zu erfassen sucht. D ie sym bolische R echnung wird dabei vektoriell interpretiert oder gar durch eine neuartige V ektorrechnung vollstän dig ersetzt. D ie n ach folgen d erw ähnten drei M e
thoden verlassen in der R eih en fo lg e der A u fzäh lung im m er m ehr die A uffassung und d ie A us
drucksw eise der bisherigen sym bolischen R echnung.
R o t h e I2) rechnet zwar m it k om p lexen Z ahlen, leg t ih n en aber ein e vollstän d ig geom etrisch-vek
to r ie lle B edeutung zu. D ie Schreibw eise b leib t da
b ei in d er H auptsache d ie bisher ü b lich e. Er führt ein en E inheitsvektor c und den dazu sen k rechten E m h eitsvek tor i ein, d ie b eid e in der Zeiclinungs- ebcnc liegen. Jeder b elie b ig e V ektor lässt sich dann als vek to rielle Sum m e von V ielfa ch en der b eid en E inheitsvektoren auffassen.
Gemäss Fig. 8 la u tet dann d ie G leichung des
V ektors 3 : -c
g = X e + Y i
fr %
N ach R oth e stellt m an Spannung, Stromstärke, Im pedanz usw. gleicherm assen als V ektoren dar.
D ie v ek to rielle D eutung der G leichung für die elektrom otorisch e K raft © ein er W echselstrom q u elle, d ie durch ein e Im pedanz 3 die Strom stärke
3 treibt, stösst dabei au f Schw ierigkeiten.
D ie elektrom otorisch e © erscheint als Produkt zw eier V ektoren 3 und 3>. R echnet m ap dieses P rodukt nach den R egeln der V ektoranalysis aus, so ergibt sich die elektrom otorisch e K raft entw eder als Skalar oder als Vektor, der auf der durch die V ektoren der Strom stärke u n d der Im pedanz fest
gelegten Z eichnungsebene senkrecht steht, je n ach -, dem man das Produkt als ^skalares (in neres) oder v ek toriel les ( äusseres) auffasst. Da nun aber der V ektor der elektrom otorisch en K raft w eder ein Skalar ist, noch auf der Z eichnungsebene senkrecht steht, w ird eine E rw eiterung der V ektoranalysis nötig, w enn m an d ie A uffassung und Schreibw eise der sym bolischen R echnung auch b ei vek torieller A uslegung unverändert b eib eh a lten w ill; wenn m an also elektrom otorisch e K raft, Strom stärke, Im pedanz usw. gleicherm assen durch V erw endung
1-) R u d o lf R o th e , A ltsc h n itt « K o m p lex e Z ah len u n d V e k to re n e in e r E b en e » , in H ü tte , D es In g e n ie u rs T as ch e n b u c h , B an d I, 25. A u fla g e, S. 140, V e rla g W ilh e lm E rn st &S ohn, 1925.
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88 BULLETIN N o. 4
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X X II. Jahrgang 1931
deutscher (Fraktur-) B uchstaben ,3) als Vektoren schreibt und auffasst.
Um diese Schw ierigkeiten zu um gehen, definiert R othe ein neues (drittes) Produkt zwischen zwei V ektoren. D ieses erb ah" indessen k ein en charakte
ristischen N am en, durch den cs leich t von den b eid en bisher bekannten P rodukten unterschieden w erden könnte.
Es seien die beiden V ek toren g und 3 ' gegeben.
3
—3
| (c o sr /j C - ¡ - s i n cp i) o' = o 'l ( e o s r / c - t - s i n e / / t).Fig. 0.
Für das neue Produkt, dessen E rgebnis ein in der E bene der b eid en V ektoren 3 und 3 ’ gelegener V ektor ist, gilt die D cfinitionsgleichung:
! 3' I lcos (fP •
• cp‘) C + s in {cp -F- cp‘) ij.D ie durch diese G leichungen beschriebenen V erhältnisse sind in Fig. 9 dargestellt. D ieses neue
t im . /vvw P3-' ^ y.
' jp ip 'V ektorprodukt könnte — m indestens für die Be-
A•7 f t
' i ' i i
7 dürfnisse der W echselstrom tcclinik — verm ieden w e rden, wenn m an darauf verzichtet, die Im p e
danz, A dniittanz usw. gleich erw eise w ie d ie elek tro
m otorische K raft, die Strom stärke usw. als V ek toren aufzufassen und zu schreiben. D ieser
V e r zicht liegt sogar recht nahe, denn d ie JLm.peda. 11 z,
~d!e ÄclmitläTiz usw. sind keine sinusförm ig ver
änderlichen W echselstrom grössen und sie w eisen gegenüber diesen keine P hasenverschiebungen auf.
K a f k a 14) unterscheidet zw ei A rten von V ek
toren: Z eitvektoren (Strom stärke, Spannung) und K oordinatenvektoren (Im pedanz, A dniittanz).
D em entsprechend hat sein Sym bol j zw ei verschie
dene B edeutungen: Es ist einerseits~ein «Ureher», der einen~m iT ilhn verbundenen V ektor im posi
tiven Sinne (entgegengesetzt dem Uhrzeiger) um 90" verdreht, und anderseits ein E inheitsvektor in R ichtung der positiven B lin d ach se, die der im agi
nären A chse der bisherigen sym bolischen R ech
nung entspricht. E benso erhalten die K oordinaten
vektoren zw ei B edeutungen: E inerseits sind sie, w ie ihr N am e sagt, e ig en tlich e V ektoren, anderseits w irken sie bei «m u ltip lik ativer V erknüpfung» mit Z eitvektoren als «D rehstrecker», indem sie den daneben geschriebenen Zeitvektor zugleich drehen un d strecken (oder verkürzen). B ei der « m u ltip li
kativen V erknüpfung» zw eier K oordinatenvektoren erscheint dann w ie b ei R o t h e ia) das früher er
w ähnte dritte Produkt zw eier V ektoren. Statt der in der sym bolischen R echnung vielfach angew and
ten Schreibw eise m it P otenzen von e verw endet K afka «R u n d p feilsym b ole», m it denen genau g leich gerechnet w ird w ie m it den im aginären e-Potenzen.
l s ) D iese S ch reib w eise fin d e t m an se h r h äu fig , m an v e r
g leich e zum B eisp iel E. A rn o ld , D ie W e c h se ls tro m tec h n ik , B and I, 2. A u flag e, S. 64, V erlag J u l. S p rin g e r, 1910.
“ ) H e in ric h K afk a, D ie e b en e V e k to rre c h n u n g u n d ih re A n w en d u n g e n in d e r W ec h se ls tro m tec h n ik , T e il 1: G ru n d lag e n , N r. 22 d e r S a m m lu n g m ath e m a tisc h -p h y sik a lisc h e r L e h r b ü c h e r , V e rla g B . G. T c u b n e r, 1926.
A ^
-5< -S,
— •w w * —*vwvv*—
SS? um
F ig. 10. F ig.
1 1
.N atalissche D arstellung (Fig. 1 1 ):
f fl i fz _ fl +
?2 M
2 .
Z u sa m m e n fa ssu n g b e ste h e n d e r E le m e n te zu e in e r e b e n e n V e k to r r e c h n u n g u n te r V er w e n d u n g
ü b lic h e r S ch r e ib w e ise n .
D ie nachfolgenden D arlegungen beschränken sich auf ebene Vektoren, obw ohl sie sinngem äss auch au f räum liche V ektoren ausgedehnt w erden
lo ) F rie d ric h N a talis, D ie B e rec h n u n g von G leich- u n d W echsel S t r o m s y s t e m e n , 2. A u flag e, S. 17, V erlag J u l. S p rin ger, 1924.
L Es gilt also die A nalogie:
<—N e lP = cp.
D iese n eu e Schreibart gibt in anschaulicher W eise die V erdrehung w ieder und soll drucktecli- n isclie V orteile bieten. Sie bat indessen den u n b e
streitbaren N ach teil, neu zu sein, also die V ie lh e it der sym bolischen Schreibw eisen und D arstellungs
arten um eine weitere, bisher unbekann te, zu ver
m ehren.
Natalis 15) hat n ich t nur eine neue Schreibw eise, sondern eine ganz neue M ethode entw ickelt. Er fasst die Im pedanzen usw. m athem atisch als Vek- toryerhältnisse auf, die graphisch durch zw ei Vek- ■ 1 toren (Spannung und Stromstärke) gegeben sind.
Er bringt dam it eine D arstellung in V orschlag, d ie ■ ’ dem W esen der Im pedanz, A dniittanz usw. sehr gut entspricht. D ie R echnungen w erden giyiz im R ahm en der üb lich en V ektorrechnung durchge
führt. Es treten dabei w eder b eg rifflich e Schw ie
rigkeiten noch U nstim m igkeiten auf. D ie G lei
chungen, in denen die Im pedanzen usw. als V ek torquotienten erscheinen, nehm en ganz neuartige und ungew ohnte Form en an. Ohne ein geh en d es Studium der neuen M ethode kann m an ein e in N atalisscher Ausdrucksw eise geschriebene A rbeit n ich t lesen, auch wenn m an d ie bisherige Form der sym bolischen R echnung beherrscht. Das ist ein grösser N achteil, der eine w eitgeh en d e V erbreitung dieser neuen M ethode w ohl sehr erschweren wird.
Der U nterschied der bisherigen sym bolischen und der N atalisschen Schreibw eise sei an einem B e i
spiel gezeigt. G esucht sei die resultierende Im p e
danz, die durch zw ei in R eih e geschaltete bekannte Im pedanzen g eb ild et wird.
B isherige sym bolische D arstellung (Fig. 1 0 ):
3 1 = R i + / ö j L i
8 2 — IG —|— jf co Tj2
■3 — 8 i 4 - 82 — E 1 -+- j co L, -f- R 2 - \ - j co L2
3 ~ ( e 1 -f- Rfj -|- j (co Lj -f- co L2).
U'UL.
X X IP A nnée 1931 B U L L E T IN N o. 4 89
könnten. D iese V ereinfachung ist dadurch gerecht
fertigt, dass d ie gew onnenen R esu ltate später (im dritten T eil der vorliegenden A rbeit) auf P rob lem e der W echselstrom tech nik angew endet w erden sol
len und dort nur ebene V ektoren Vorkommen. Im übrigen kom m t die beabsichtigte spätere A nw en
dung auf die W echsclstrom tcclm ik nur insofern zum Ausdruck, als Q uotienten von V ektoren b e
sonders ein geh en d b eh an d elt werden.
A ls V oreilung gilt gemäss der internationalen f,
| F e stse tz u n g 1) ein e D rehung im G egenuhrzeiger-1
| sinn. D ie B ezeich n u n gen h alten sicTT an die Zei- ' eiicii des A E F 10) , sow eit d ie CEI k ein e solchen feslgelegt hat.
V on der Sum m e, der D ifferen z, dem skalaren (innern) P rodukt und dem vek toriellen (äussern) i Produkt von V ektoren braucht hier nichts gesagt zu werden. D iese E lem en te der V ektorrechnung sind in a llen H andbüchern und T aschenbüchern zu fin d en , so dass sie als bekannt vorausgesetzt wer
den dürfen. U eberdies herrscht dabei gemäss Satz 10 des A E F J0) bereits E in h eitlich k eit.
D ie B eh an d lu n g der Q uotienten von V ektoren ist dagegen selten, es s o lld ä h e r hieravif näher cin- gegangen werden. H iezu erw eist sich eine_ D efin i
tion als notw endig, die indessen kaum in der Form n eu ist und in h a ltlich längst im G ebrauche steht.
21.
Der Q u o tient von zw e i zu ein an der sen krech t s teh enden, gleicKlangen V e k to re n.
Es seien zw ei V ektoren 93 und 9B gegeben.
Gemäss Satz 10 des A E F 10) gilt dann für die B e
träge (Längen) dieser V ektoren folgen d e Schreib
w eise :
|93j = B |9B] == IV.
Mit Z uliülfenahm e der E inheitsvektoren 93° (sprich B hoch N ull) und 9B° kann dann geschrieben w e rd en :
¿ 4 ^ - 93 = ß93° 9B = W m
■**^ F ,s soll nun folgen d e Definition getroffen werd e n : Unter der V oraussetzung, dass erstens die B eträge B und IV der beiden V ektoren 93 und 9B einander gleich sind,
B = W (1)
und dass zw eitens der V ektor 93 gegenüber dem V ektor 9B um 90 Grad positiv verdreht ist (also um 90 Grad entgegengesetzt dem U hrenzeigersinn)
• 93
(Fig. 12), wird der Q uotient : identisch gleich / gesetzt: J , .
SB ~
A bkürzung
(2)
Gl. (2) ist die D efm itionsgleichung für den von nun an fortwährend gebrauchten Vektorquotienten j . W as für ein R esultat kom m t heraus, w enn man einen V ektor m it j m ultipliziert oder d ividiert?
1H) A E F . V e rh a n d lu n g e n des A usschusses fü r E in h e ite n u n d F o rm e lg rö s se n in den J a h r e i 1907 b is 1927, h e ra u sg e geben im A u fträg e des A E F von J. W a llo t, V e rla g Ju l.
S p rin g e r, 1928.
F ig . 12. F ig . 13.
/ '
•ü,
Es soll zuerst die Multiplikation, also der Aus- druck j untersucht w erden. Ersetzt man gemäss der D efinitionsgleichung ( 2 ) j durch den Q uotienten
93 . . so wird:
JKS 9B
A nnahm e ergeben. D er Q uotient -W
JxS =
W 1 93°.
793°
j 3 3 '
$ '•
/{ M
V
1%
(3) U eber die absolute Lage der beiden V ektoren 93 und 9B wurde anlässlich der D efinition von j keine V oraussetzung gemacht. D ie Lage ein es der beiden Vektoren darf also frei gew ählt werden.
So kann angenom m en werden, dass der V ektor 9B m it dem V ektor ^ 111 P hase liege. Fig. 13 ver
anschaulicht die V erhältnisse, <1 io sich durch diese 3 kann leicht geb ild et werden, da es sich dabei um den Q uo
tienten von zw ei in Phase liegenden V ektoren handelt. Er bedeutet ein M essen des V ektors Q m it dem V ektor 9B, was dasselbe gibt, wie wenn der Betrag 7 des V ektors durch den Betrag TV dos V ektors SB dividiert wird. Es gilt also die G leichung:
■V 7 > •'
0 = . ^ l ) : . ( , n
Wt 117 1 >
(3a)
1X5
W
Setzt man d iese B ezieh u n g in Gl. (3) ein , so erhält d iese veränderte G estalt:
793 TV *
Stellt man den V ektor 93 als P rodukt aus dem Betrag B und dem E inheitsvektor 93° dar und berücksichtigt man, dass nach der für die D efini
tion von j gem achten V oraussetzung [gemäss Gl. (1)]
der B etrag B gleich dem Betrag IV ist, so wird schliesslich:
I B 93°
(3b) D ie rechte Seite dieser Gl. (3b), das P rodukt aus dem Betrage 7 und dem E inheitsvektor 93°, stellt einen neuen Vektor dar, der genannt sei.
(4) Seine Länge ist gleich der Länge 7 des Vektors ^ und seine Richtung ist die R ichtung des E in h eits
vektors 930j die m it der R ichtung des V ektors 93 übereinstim m t. Zufolge der gemachten V oraus
setzung ist sie um 9 0 ° im Gegen Uhrzeigersinn gegenüber der R ichtung des Vektors 93 und da
m it auch gegenüber der R ichtung des Vektors ^ verdreht. Das P rodukt j?Q, gebildet aus dem Vektor
quotienten j und einem b elieb igen Vektor jq, stellt
som it ein en neuen Vektor dar, der gleieh lang ist
w ie der V ektor Q1, gegen ihn jedoch um einen
90 B U L L E T IN N o. 4 X N II. Jahrgang 1931 rechten W in k el im p ositiven D reh sin n e verdreht
ist. D er V ektorquotient j ist som it ein rechtwink
liger Dreher oder ein rechtwinkliger Versorg}).
Es ist ohne w eiteres verständlich, dass der Ausdruck
( - } ) % = ~ i %
auch ein en zum V ektor senkrecht stehenden V ektor darstellt. Er sei genannt.
Fasst man den Ausdruck j ^ zu einem V ektor
zusam m en, j ^
so wird — j !$ = — und som it — — QA (5) D er neue V ektor ist gleich lang wie der V ektor also ebenso lang w ie der V ektor Q. Er ist jedoch dem V ektor entgegengesetzt gerichtet, was durch das negative V orzeichen ausgedrückt ist.
Fig. 14 veranschaulicht diese B eziehungen.
Das P rodukt (— j) gebildet aus dem negativ genom m enen V ektorquotienten j und einem b elie
bigen V ektor ££, stellt som it einen neuen V ektor dar, der gleich lang ist w ie der V ektor £y, gegen ihn jedoch um ein en rechten W inkel im negativen D reh sin n e verdreht ist. D er negative V ek torq u o
tient — j ist som it ein negativer rechtwinkliger Dreher oder Versor.
Es so ll nun noch die Division, also der Ausdruck - untersucht werden. B enützt man zum Ersatz von J
j 'wieder die D efinitionsgleichung (2), so erhält m an 3 _ 2B3?
f 23 ' ( 6 )
L »
m
17 ) F asst m an in rä u m lic h e r V e k to rre c h n u n g d ie V e k to re n 2B u n d 2) als in d e r X Z -E h en e lie g e n d a u f, so lassen sic sich d u rc h d ie in d e r X- u n d d e r Z-A chse lie g e n d e n E in h e its v e k to re n i u n d £ a u sd riie k e n . D a b e i sei an g en o m m en , dass d er E in h e its v e k to r £ d em E in h e its v e k to r i v o re ilt.
as = IFx i + Wi £ 23 = —
IFzi + IFx £
M u ltip liz ie rt m an d en V e k to r 2B m it dem in d e r R ic h tu n g d e r y-A chse lie g e n d e n E in h e its v e k to r j v e k to rie ll, so e rh ä lt m an n a ch den R eg eln d e r V e k to rre c h n u n g :[28 j] = Wx [i il + Wz [£ jl = Wx f + 2Bz ( - i ) = 23.
E n ts p re c h e n d g ilt d a n n :
2 B
D ab ei ist a b e r zu b e d e n k e n , dass d ie V e k to rre c h n u n g im ' a llg e m e in e n re z ip ro k e V e k to re n n ich t k e n n t. D ie le tz te G le i
c h u n g e n ts p ric h t d e r Id e n titä ts-G le ic h u n g (2) :
23
1 28 '
D er B u c h stab e
j
des la te in is c h e n A lp h a b e te s b e d e u te t ein en re c h tw in k lig e n V e rso r, d e r o h n e rä u m lic h e A u sleg u n g b estellt. D agegen s te llt d e r B u ch stab e j des d e u ts ch e n ( F r a k tur-) A lp h a b e te s ein e n im R a u m e als re c h tw in k lig e n V e rso r w irk e n d e n E in h e its v e k to r d ar.
A llg em e in e rsc h e in t d e r Q u o tie n t d e r re c h tw in k lig e n V e k to ren SB u n d 23, sei e r n u n in d e r e b en e n V e k to rre c h n u n g als O p e ra to r
j
o d e r als rä u m lic h e r V e k to r j e in g e fü h rt, als S p c z ia lfa ll e in e r Q u a te rn ion. S ieh e h ie r ü b e r :J . K opeliow itchu T h é o rie des O u a te rn io n s. T h è s e -N o. 707 U n iv e rsité d e G enève, 1922.
A . B yk, K o m p le x e u n d e b e n e V e k to rre c h n u n g in d e r W e c h se ls tro m tec h n ik , in W . P e te rs e n , F o rs c h u n g u n d T e c h n ik , V e rla g v o n J u l. S p rin g e r, B e rlin , 1930.
In diesem Falle nim m t man zweckm ässig an, dass die R ichtung des V ektors 93 m it der R ichtung des V ektors ^ Zusammenfalle. Indem man w ieder b e
rücksichtigt, dass die beiden V ektoren 93 und 253 gleich lang sind, dass also die Beträge B und W gleich gross sind, erhält man ähnlich wie vorher hei der M ultiplikation:
3 - I f ®.
j B
3 I W 953°
j ~ B
D ie rechte Seite dieser Gl. ( 6 h), das P rodukt aus dem Betrage I und dem E inheitsvektor SB 0 stellt
ein en neuen Vektor dar, der genannt sei.
1 .
j ’
F :,-r. 15 veranschaulicht diese V erhältnisse.
I 9B°.
( 6 a) (6h)
/ 933 ° = a r (
7)
F ig . 15. F ig . 15.
