Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy zastępczej do obliczania prowadnic

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POIŁ TECHNIKI ŚLĄSKIEJ Serias MECHANIKA z. 44

______ 1971 Nr kol. 304

WŁADYSŁAW BRZOZOWSKI

Katedra Konstrukcji Maszyn Roboczych

ANALIZA CELOWOŚCI WPROWADZANIA POJĘCIA PROWAIUICY ZASTĘPCZEJ DO OBLICZANIA PROWAUilC

Streszczenie; Przeprowadzono analizę wykazującą, te istnieje szereg przypadków obciążenia prowad

nicy trójkątnej, dla których pojęcie płaskiej pro

wadnicy zastępczej traci sens fizyczny. Podane metodę określania przedziałów zmienności obcią

żenia, w których jest słuszne to stwierdzenie oraz przedstawiono szczegółowy przykład liczbo

wy. Wskazano wnioski wynikające z przeprowadzo

nej analizy.

Pojęcie prowadnicy zastępczej wprowadzono w literaturze pl, 2, 3]

dotyczącej obliczania prowadnic w celu sprowadzenia obliczeń układu prowadnic, w którym przynajmniej jedna jest trójkątna do obliczeń ukła

du prowadnic płaskich. Po wyznaczeniu obciążenia działającego na każdą z prowadnic przeprowadza się obliczenia nacisków ekstremalnych wystę

pujących na powierzchniach każdej prowadnicy, przy czym powraca się do rzeczywistych wymiarów prowadnicy trójkątnej.

Prowadnica zastępcza to taka prowadnice, płaska, która ma tę samą sztywność co zastępowana prowadnica trójkątna. Inaczej mówiąc* takie samo obciążenie powoduje takie samo przemieszczenie sań w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku długości zarówno na prowadnicy trójkątnej jak i na prowadnicy zastępczej. Reszotow fi)] i Aczerkan [2] podają wzory na szerokość prowadnicy zastępczej, natomiast Wrotny [3] analizując przypadek, gdy na prowadnicę nie działa moment otrzymał inną zależ

ność, nie będącą szczególnym przypadkiem wzorów Reszotowa i Aczerkana.

(2)

Przy obliczaniu prowadnic zakłada się, że:

1 ) sanie zachowują się jak ciało doskonale sztywne,

2) wielkość odkształcenia łoża 6 , będącego przemieśzczeniem punktu powierzchni styku prowadnic w kierunku normalnym do tej powierzchni, jest wprost proporcjonalna do wielkości nacisku p w tym punkcie:

■5 ■> kp, (1)

przy czym współczynnik proporcjonalności k zależy od rodzaju mąte- riału, sposobu obróbki prowadnicy i chropowatości powierzchni,

3) wzdłuż powierzchni styku prowadnic naciski rozkładają się linio

wo, natomiast w kierunku poprzecznym do prowadnicy - równomiernie (tym samym ograniczamy się do przypadków, gdy szerokość prowadnicy jest ma

ła w stosunku do rozstawienia prowadnic).

W oparciu o te założenia wyprowadza się wzory na wartości nacisków p , ps2 w punktach skrajnych powierzchni styku o współrzędnych xe1, x , a także wzory na przemieszczenie sań f w kierunku normalnym do

3 Ć S

powierzchni. W tablicy 1 zebrano te wzory dla różnych przypadków ob

ciążenia powierzchni o wymiarach s x 1 siłą ?s przyłożoną w środku prowadnicy i momentem U , zaś rysunek 1 jest ilustracją dla przypadku.

1 Ms 1

gdy -r<.-.=-=• < r . Zależności z tablicy 1 odnoszą się do każdej prosto-

b g 2

kątnej powierzchni płaskiej dowolnej prowadnicy i pozwalają wyznaczyć wartości nacisków i przemieszczeń, jeżeli tylko znane jest obciążenie tej powierzchni.

Niech dana będzie prowadnica trójkątna o przekroju normalnym poka

zanym na rys. 2a. Długość sań (prowadnika) wynosi L. Przemieszczenie sań f w dowolnym przekroju normalnym rozpatrywane w stanie równowagi jest efektem przemieszczeń w kierunkach normalnych do obu powierzchni prowadnicy oraz przemieszczeń stycznych. Wyrażając to przemieszczenie poprzez dwie jego składowe: f i f otrzymuje się na podstawie ry-

y z

sunku 2a

(3)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy... 29

Tablica I Zależności obowiązujące dla powierzchni płaskiej o wymiarach sxl

LP- P.L . J_ <

J h . < r ±

Z

S P,L ' ć _ JL ¿ Jük /

1

6 ^ **PjL * 6 ± < i k . < ± 6 P, L ' 2**

1. Wykres rozkładu

rwiikrf* M U

ta- 0 x

^fFfTfrp i L -

iJtTTTil1^,« fti“°

k V

0 'Ms

-'i Si r r° ^{^Vo} _Si ^AM,

Sl’T,

L l . -<

2. P. 1 = A . J L _

sL

* ( > - $ ) 0

3.

**P.*“** 0

* [ « ♦ £ )

^ 2

sL

^{J \}

. M, V p,L/

4.

Xi1r L

" 2

L

“ 2

L

5 x« “

4 ¡ H

T L

^L2

6, f»* * tg ^ 4

^*■

f»o

l

* $ ■ 2

* &

2 9 / i _ ü

U PSL• r

S. **f*0‘ . .** « ) h P* M )

SL !

r

\

l

i2 > 1

(4)

Rys. 1. Rozkład nacisków wzdłuż powierzchni płaskiej, odkształcenia ło

ża 6, przemieszczenia sań f w przypadku, gdy 1/6<M /P I < 1/2

s s s

Ry3. 2. Wymiary obciążenia i przemieśzczenia w przekroju normalnym pro

wadnicy«

a - trójkątnej* b - zastępczej płaskiej

(5)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy... 31

f cos & - f, cosoC

a ^d

sin(cC + (J>)

(

²

)

f sin£> + f.sinoC

a d

sin(o! + [b ) * (3)

gdzie?

f , - przemieszczenie normalne do powierzchni o szerokości a*b*

a,b

(X9 (b - kąty nachylenia powierzchni roboczych prowadnicy do osi y.

Zmienność przemieszczeń f& i wzdłuż prowadnicy podana jest wzo

rami z tablicy 1, przy czym w miejsce s należy wstawić odpowiednio a lub b. A zatem

f = xtg<d< + f n a ° a aO

fb = x t g ^ + fb0.

Podstawiając te zależności do równań (2) i (3) otrzymuje się wzory na składowe przemieszczenia prcwadniKa trójkątnego w funkcji współrzędnej xt

tgi5>acoe(J> - tg^cosoC fa0ŁOS(Ł- fb0cosoc sin(oC + (h) sin(cJC + )

tg^sinjJ» i- tg^sinc* f&0sin (b + f^sinci sin(c< + ¡b / x + sin(oC + ¡b )

Widać, że wyrażenia

tgA

tg^cosfi - tgij^coacS sir.(o8 + (i )

fagcosíb- focóse*

fy0 J a jx[ci + (ł)

(4)

(6)

określają kąt obrotu sań A mierzony w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny x-y oraz* przemieszczenie w kierunku osi y punktów o współrzędnej x - 0, natomiast wyrażenia

tg$asinfi>+ tg^bslnct

tgl®z * s in ( d + (Ł)

faoSinft+ f ^ i n c C zO " sin(oC + fb )

(5)

określają kąt obrotu sań A mierzony w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny x-z oraz przemieszczenie w kierunku oei z punktów sań o współrzędnej x ■ 0.

Aby można było skorzystać z równań (4) i (5) trzeba znać obciążenie każdej powierzchni prowadnicy. Ha podstawie rys. 2a można napisać na

stępujące równania równoważności:

P sinoC- P.sin^» P

P ooscC + P. coeft ■ P

a b * z

M oos<*+ ILcoefb- M

a d y

Kasincfi - MjSinJi) - -

z których wynika, że

cin(i> + coefi) z

a z sin(o( + f?» j ( e)

(7)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy,. » ₃₃

P

sinoC- ^ coeoC

" ?z sin(dC + (i )

M a H a 7

M

sini> - cos (2>

sin(oC + [b ) ( 6 )

U sinoC + ccscC

“b " My sln(c< + g> )

oraz

jj M sin[3> - ■g- coe(b

P L P L P

sin£>+ =31 ooei»

_ M slncC + — oœoC p _£ ^y____ , P . l ' P I P

z s in c C - g ï oœcÉ

Z

(7)

Tak więc znajomość oboiążenia prowadnicy siłami Py , ? z i momentami My, pozwala wyznaczyć według wzorów (6) obciążeni® każdej powierz

chni prowadnicy,, a także - za pomocą wzorów (7) - współczynniki W i deteiminujące, który z przedstawionych w tablicy 1 przypadków rozkładu nacisków ma miejsce na danej powierzchni. Można za

tem według wzorów tablicy 1 i równać (4 ) i (5) wyznaczyć kąty obrotu sad &y i oraz przemieszczenia i fzQ.

Rozpatrzmy teraz prowadnicą płaską, której przekrój normalny przed

stawia rys. 2b. Długość prowadnika wynosi L*. Prowadnica ta jest ob

ciążona tak srmo, jak prowadnica trójkątna z rys. 2a. Działanie tego

(8)

obciążenia powoduje, że w dowolnym przekroju normalnym przemieszczenie sań wynosi f*. Można je wyznaczyć określając dwie jego składowe. Skła~

dowa f jest wywołana działaniem siły P i momentu M , natomiast

y # y z

składowa f - siły P i momentu M (rys. 2b). Tę drugą składową

z z y

można obliczyć wprost z równań tablicy 1, jeżeli dokonać w nich odpo

wiednich podstawień. Tak więc należy w miejsce P wstawić P

s z

" M " M

s y

" L " L*

n s 1t g *

" k " k*.

s s

Wtedy według wzorów tablicy 1 podanych w wierszu 7 obliczamy tg<5;*, a Z według wzorów z wiersza 8 - Ostatecznie

f* - artg^ + f*Q. (8)

Drugą składową f można obliczyć opierając się o wzory tablicy 1,ale dopiero po rozłożeniu obciążenia Py , na powierzchnie h^ i h^ pro

wadnicy (obie te powierzchnie tworzą prowadnicę płaską zamkniętą).

W dalszym ciągu jednak ograniczymy się tylko do rozważań w*płaszczyź

nie równoległej do x-z, ponieważ już na ich podstawie można wyciągnąć dostatecznie ważkie wnioski.

Aby prowadnica płaska przedstawiona na rys. 2b była równoważna - w wyjaśnionym na początku sensie - prowadnicy trójkątnej .z rys. 2a musi być f = f*, a zatem również f = f*. Stąd wynika, że

Z z tg-& = tg^*

z z

f = ±*

zO 2 0 »

(9)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy... 35

czyli kąty obrotu sań i przemieszczenia tych punktów sań których wspó?'- rzędna x wynosi 0 muszą być dla obu prowadnic jednakowe.

Wielkości tg1®' i f _ są funkcjami sił P , P , momentów M »

z zO y z y r z

i wymiarów a, b,oę,(Ł, L prowadnicy trójkątnej, natomiast wielkości tg'©»* i f*_ są funkcjami siły P , momentu li i wymiarów s* i*pro-

z zO z y

wadnicy płaskiej. Wobec tego z równań (9 ) można wyznaczyó wartości s*:

I*, jeżeli wstawić do nich odpowiednie zależności. Na podstawie tabli

cy 1 łatwo stwierdzić, że istnieje dziewięć możliwych skojarzeń roz

kładów nacisków na powierzchniach prowadnicy trójkątnej oraz, że moż

liwe są trzy przypadki obciążenia prowadnicy płaskiej. Należałoby więc według równań (9 ) utworzyć 27 układów równań i po rozwiązaniu każdego z nich ze względu na s* i L* przeprowadzić analizę wyników. Jest to jednak metoda pracochłonni, a interesujące wnioski można wyciągnąć już pa podstawie analizy pewnych (patrz niżej) przypadków szczególnych. Za

sadniczym celem pracy jest bowiem wykazanie, że istnieją przypadki^gdy żadna prowadnica płaska nie jest w stanie zastąpić prowadnicy trójkąt

nej (w przyjętym sensie).

Zbadajmy zatem przebieg zmienności wymiarów s* i L*prowadnicy za

stępczej w funkcji stosunku M /M dla następujących założeń szczegó-

" «y łowychs

P M

» 0,333» =0,1» a = b» cC = (2> = 45°» kQ » k^ «= k* = k.

z z

Podstawiając te dane do wzorów (7 ) otrzymujemy:

(10)

Równania szczegółowe otrzymane dla przykładu rozważanego w tekście (m = ~ ) y

Przedział r

^l

iii E

Ma

PaL 6 ' Pa U S

^l

_ L < J ^ <

6 Fa L 2 _ 1 < <

^—

**6 v PaL * 6 _ ! < ■**

^{! S}

< ± 6 PaL S 6 Mb

FŁL-

1

^,

Mb < 1 ' 2 ' PbL 6

1 Mb ^ 1

**~ 6 * PbL S 6**

1 . Mb , 1

**~ 6 < ^ L * T**

1 . Mb >. 1

6 PbL 2

26,5kP2 26,5 k £ 6,0h.M y(l-m ) 6,0fcMs ( l - m )

m)2 3,29 kP,

ali(5,6g + m)2 6,0 kMs (l +m)

aL3 f

6,OKM3( l t m)

' aL3 3,29kPx

' aL 3 * aL1 a L ^ i - m ) 1

t o -

5,9SkPz(5,44 ♦ m) 5,98kP2fo44+m) 0666 k

1

+■ 0,666 kPŁ

4- a L f t t ó + m ) 1

1,4« W> (3,22 + m)

a.L(5,68 + m)ł q333kP2

aL 0,333

^{k P x}

aL

aL(4,33+m )2 * aL aL aL(2(J 5 - m ) *

II•i •

**0,3*3**

' (m + i,65)

0666 t25|7J x

' (m + €,35) 1

' (»1-1,56)

jtffł 9,25 m +21,5) im + i , 65) (m - 5 ,5 4 )

(m + 4,65) (mł +4,05m +9,5) * (mŁ - 2,1 m + 5)

WładysławBrzozowski

(11)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy.» 37

Wykresy zmienności współczynników M^/P^L i M^/P^L w funkcji stosun-

nicy trójkątnej (-0,5 < M&/P&L < 0,5 oraz -0,5 < < 0,5) ist

nieją cztery przedziały, w których zachodzą różne przypadki skojarzeń rozkładów nacisków. Wobec tego każda z zależności (5 ) określona będzie czterema wzorami. W tablicy 2 podano gotowe wzory na tg& i f . dla

Z z u

wymienionych wyżej założeń, uzyskane przez podstawienie wzorów z ta

blicy 1 do równań (5 ), następnie podstawienie zależności

wynikających z równań (6) i przekształcenia.

Dla prowadnicy zastępczej obowiązują wzory (patrz tablica 1):

ku M / I przedstawia rys. 3. Widać z tego wykresu, że w obszarze war- z y

tości których występuje obciążenie obu powierzchni prowad-

tg&* = 1 2

Z

Zgodnie z warunkiem (9 ) musi być tg^* = tg<&, oraz = fzQ, skąd otrzymujemy

(12)

Rys. 3. Wykres zmienności współczynników i 1 1 ^ 1 w funkcji stosunku M /M dla przykładu omawianego w tekście

z y

Rys. 4. Wykres zmienności (L /L) w funkcji stosunku M /M dla przykła- z y

du omawianego w tekście

(13)

Analiza celowości wprowadzania pojęcia prowadnicy,». 39

/L*

W tablicy 2 podano również wzory opisujące zależność ( » uzyskane z równania (10) przez podstawienie do niego równań na tg& i f . uję-

Z z u

tych w tablicy 2, zaś rysunek 4 pokazuje wykres tej zależności w funk

cji stosunku Widać, że istnieją takie wartości M z/M^, dla któ

rych < 0. Zatem dla tych wartości nie ma rozwiązań układu rów

nań (9) w sferze liczb rzeczywistych.

Wykazano więc, że istnieją przypadki, w których pojęcie prowadnicy zastępczej traci sens fizyczny. Rozdział obciążenia sań na poszczegól

ne prowadnice metodą zakładającą równoważność prowadnic trójkątnej i płaskiej prowadzić musi zatem w tych przypadkach do błędnych wyników i wymaga zastosowania innej metody. Należy wobec tego opracować jednoli

tą metodę obliczania prowadido, nie wymagającą używania pojęcia prowad

nicy zastępczej, a równocze lnie pozwalającą na rozwiązywanie wszyst

kich przypadków obciążenia.

Metoda taka została opracowana przez autora i jest przygotowywana do druku.

UTERATORA

Ql] KAMIŃSKA JA W.W., LEWINA Z.M., ReSeTOW DJJ.j Staniny i korpus ny je detali metałłoreżuSóich stankow. Moskwa 1960,

[2] AiERKAN N.S.t Ras Set i konstruirowanie metałłoreżuśćich stankow, Moskwa 1949,

[33 WROTNY L.T.: Podstawy budowy obrabiarek. Warszawa 1964»

(14)

AEAJttS UEJM llOHflTMH SAME1HATEJIBHOfi HAIIFAaSHXfflift K BiAKCJIEHHflI£; H^jUIVABJIⁱⁱU W M

C o s e p x a H H S

B 3ej;eH K e noH H TM saiiemeTejiBHOH H anpaB .iH Biseii o C a e rv H a o B b m a c a e a iia x a s - J ie a a ii kb n o B e p x H cc tk x r p e y r o .ib H c ii H an p aE aaio tae Ji. Oh heko cymecTBywT c jiy v a fla K o r a a noHH Tiie sto x e p a e T cbok '¿m3K'iecKHii c u b ic a . B OTaTe H a x o * a T tc a MeToa;

S 0 K a 3 a H « a 3 T o r o a. n p a M e p .

AN AH SI 3 OP EXPEDIENCY USED THE IDEA OP SUBSTITUTIONAL SHLEWAY IN CALCULATIONS SETKOTAY

S u m m a r y

Used the idea of substitutional slideway was simplified calcula

tions pressures on areas of triangular slidaway. However, series oases are existing, where this idea hasn’t physical meaning. In this article method demonstrative of this fafct and example are presenting*