O pewnym szeregu potęgowym lakunarnym Tematem niniejszej pracy jest rozwiązanie następującego zagadnie­ nia: Znaleźć funkcję elementarną równą asymptotycznie sumie szeregu

M. B

(Lublin)

O pew nym szeregu potęgow ym lakunarnym

Tematem niniejszej pracy jest rozwiązanie następującego zagadnie­

nia: Znaleźć funkcję elementarną równą asymptotycznie sumie szeregu f(x) =

+ xu -\- ... +жп!+ ...,

gdy x - > l (

< a ? < l).

Mówimy, że funkcje f(x) jeżeli

i <p(x) są równe asymptotycznie dla lim

X - > 1

_/(®)

<p{x) = 1.

§ 1. W dowodzie będziemy korzystali z twierdzeń znajdujących się w każdym podręczniku analizy oraz z dwu następujących:

O O O O

1. T

C

A

. Dane są szeregi JC anxn г %Ъпхп, z których П =0 n =0

OO

pierwszy ma współczynniki rzeczywiste , а йпад dodatnie. Szereg У bnxn O O

/esi zbieżny dla [ж|<1, ale szereg £ b n jest rozbieżny. Jeśli istnieje skończona

n = 0

granica lim — , to szereg 2

an%n j est zbieżny dla \x \< l i

b„ n =o

n — >oo un

Z anxr' lim

cc— у X

n=0 = lim • Z W

2. N

C

. Jeśli a1^ a 2^ . . . ^ a n> 0 i bx~^b2^ . . . ,..^ b n>

, to

[аг -j- a2 -j-... -j- an) (bx + b2 -j-... -f- bn) aY bx-\-a2b2Ą-... -f- anb n^ n

Twierdzenie Cesaro można udowodnić w następujący sposób:

Z założeń i ze wzoru Cauchy’ego-Hadamarda na promień zbieżności O O

szeregu potęgowego wynika bezpośrednio, że szereg Z anxn jest zbieżny n=0

dla |ж|<1. Niech lim an/bn—g. Przypuśćmy najpierw, że g=Q.

n—>oo

Jeśli e jest dowolnie małą liczbą dodatnią, to istnieje taka liczba na­

turalna &, że dla n>lc jest |л«/Ь»|<е/2. Wynika stąd, że dla 0<ж <1

(*)

E an®r‘

n = k+ 1

oo E K x n

<

Ale szereg У bn jest rozbieżny, a więc dla x dostatecznie bliskiego 1 jest także spełniona nierówność

П = O 00 E K ^

<

Stąd i z (*) wynika bezpośrednio twierdzenie. Jeśli д Ф O, to wystarczy

OO

rozważać szereg Е ( ап ~ Ф п)хп, gdyż lim(a№— дЪп)1Ъп= 0.

n = O w—>oo

Nierówność Czebyszewa można udowodnić indukcyjnie. Jest ona oczywista dla n = 1. Przyjmując

En = n(al bl + a2b2-\-... + anbn) — (a1 + a2 + ... + an)(b1+ b2 + ... + &»), otrzymujemy

П

-^n +1 E (^i ^łi+l) bn+l)> 0 . i =1

§ 2. Eozwiązanie naszego zagadnienia nastąpi w dwu etapach:

Znajdziemy najpierw pozbawiony luk szereg potęgowy g{x ), którego suma jest równa asymptotycznie sumie f{x), a później funkcję elementarną asymptotycznie równą sumie g(x). Ogólnie, jeśli f(x) — щ-\-ахх -\-...

... Qin ХП -f-... , to / (я?)

— --- = a0-f- (щ ф ах) х ф . .. + (<я0 + . • • • • 1 —х

Jeżeli więc

00

fix's

f { x ) = ± + E x nl oraz --- = E bnxn,

n= 1 X n—о

to bn jest zwiększoną о 1 ilością liczb naturalnych, których silnia nie przekracza n: jeśli q \^ n < (q -{- 1)!, to bn= q -\- 1.

Według wzoru Stirlinga, gdy n->oo (a więc i ą->oo), to

266 M. B i e r n a c k i

(znak ^ oznacza, że obie strony są asymptotycznie równe); zatem loga- rytmując i korzystając z tego, że gdy #->0, to log(l-|-a?)<~a?, otrzymujemy

log n = q log q - q + -i- log q + 0 log (q + 1 ) + ~ log 2 л -f e n, gdzie U < 0 < 1 oraz en->0, gdy n -> oo. Wobec tego

(1) \ogn ~ qlogq-,

logarytmując otrzymujemy

(2) log2(w |~ lo g ą

(log2{w} oznacza dla skrócenia log(logw)). Z (1) i (2) wynika . bn^ q + l ~ q

skąd, w myśl twierdzenia Cesaro,

log w log2 M ’

Нос) ^ у logn

Lecz jeśli <p(x)~e0-\-c1x Jr . .., to

(1 - x ) ( P(x) = e0+ ( c 1- c 0) x + . . . + {en- c n_1)xn + wobec tego

f(x) l o g ( w - l ) -]

log3( n - l ) J a w myśl twierdzenia o wartości średniej

f(x)>

oo ,

, V ( _ ___

... ____

_______ j,

@ n )

log2{n -@ n| ( n - e n){log2{ n - 0 n\ f \ ' gdzie 0<<9W < 1.

Z twierdzenia Cesaro wynika, że stosunek sumy szeregu, którego współczynniki są utworzone z drugich składników nawiasów figurowych, do sumy szeregu, którego współczynniki są utworzone z pierwszych składników tych nawiasów, dąży do 0, a więc

Wobec tego, że

/(® )~ £

n = 4

1

( n - 0 n) log21 n

П

( n - 1 )log2{w—1

hm--- --- f-, --- = 1, n log2 \n\

n->oo

stosując raz jeszcze twierdzenie Cesaro uzyskujemy ostatecznie

00

aT

(3) ^{f ( x ) ~} JT

^ n l o g 2\n]

Niech g(x) = Pn(x) + Rn(x), gdzie

g(x).

P n (*)= У x

b log2{fc) ’ Rn^X) k^ +l Tc log2jfc) ’

Wybierzmy liczbę w = [1/(1—a?)] ([ x ] oznacza część całkowitą a?). Oczy­

wiście

^ \»+i n -f - 2 /

„«ti

(⁴)

Rn(x)< <

(w + l)lo g 2(w +1)(1 —®) log2{^ + lj

Ponieważ licznik ostatniego wyrażenia dąży do 1/e, gdy n->oo, więc Rn(x)~>0, gdy tj. gdy a?->l. Co się tyczy P n{x), to mamy

(**)

_< Z _^

^{log w}

4

h log

Щ log2{^|

Istotnie, na zasadzie twierdzenia o wartości średniej otrzymujemy logrt _ y 1 / log(fc-fl) __ logic \ log4 _

iog2{wj ^ \ log2jfe-f 1) l

g2{fcj/ log2{4j

_ i w y 1 _

~ log2{4) fei (ft+0fc)log2{fe+efcj

Wiadomo z analizy, że jeśli

ft — 1

2

(fc+0fc)[log2{fc-f6>fc}r ¹ (0<6>fc< l ) .

vn> 0 {n = 1 ,2 ,...) , - - > 0 i (

i

+ ---+«»)->°o,

^ n to

% + Щ~\~-. --- . + Un .... _>

. vi + ,y2 + • • • + vn

Wynika stąd, że stosunek drugiej z napisanych sum do pierwszej dąży do zera, gdy n-+oo. Korzystając z oczywistych nierówności

у -i у J- ^ __ у -1

*4 i ^log2( Ц < £ i (& + 6 y io g 2(fc + 0 fc) < j^5fclog2{fc) ’

otrzymujemy zależność asymptotyczną (**).

268 M. B i e r n a c k i

Biorąc pod uwagę wartość n otrzymujemy (1+e) log

(5) -P*(®)< ^{l —x}

log

1 — X

tog2 _{l —x} 10&1 г У

(e jest dowolnie małe, jeśli x jest dość bliskie 1). Z (3), (4) oraz (5) wynika

lim f(x)

x~ +l (

6

Zakładając wciąż, że

przypuśćmy teraz, że n =

log:r^— / log2 j—!—}

1 — X 11 —X )

< 1

Pn(x) = £

4 ^Jc log2|fc}

\—

gdzie X jest dowolną, ale ustaloną liczbą dodatnią. Stosując nierówność Czebyszewa otrzymujemy wzór następujący

stąd

1 w 1 n n 1 /г4П

P Ы > — у 1 V ^ =

^ n ^ h \ o g 2{k} ^ i ■ fc^ 4 /Hog2|&} M l - x )

X 'n- 3 1 — 1 --- , log n \ n -\-l P n(x)>( 1 - e ) - Ą

---:---— --- ,

log2 \n\ X .

gdzie e— >0, gdy n->oo (tj. ж->1). Biorąc pod uwagę wartość n otrzymu­

jemy

P n( x ) > { l — e)

log (—--- 1) 1 — ( l ---

* \ l - x

I \ n + 1

n— %

log, ^{* l}

1 — X )

X \n~z ,

Ale l i m j l ---- —— j —e , z ostatniej więc nierówności wynika, że

lim ^f(x)

1 1 — xi

^ log — ;„/1о& 1 ^ 3 ( 1

1 — e — A

(7)

X jest dowolną, liczbą dodatnią. Gdy A->0, prawa strona nierówności (7) dąży, w myśl twierdzenia de l’Hospitala, do 1; przyjmując więc, że A— >0, otrzymujemy

(

8

lim

X —>1

1 ?

co, wobec (6), daje poszukiwany wynik:

Wartością asymptotyczną sumy szeregu / (ж)=1+а?-|-ж2! + -.-+а?п|+■•••>

gdy jest wyrażenie

(9)

§ 3. U w agi. W (9) występują zasadniczo logarytmy naturalne, ale można je oczywiście zastąpić przez logarytmy dziesiętne. Jest oczy­

wiste, że asymptotycznie równa sumie szeregu f(x) jest też funkcja 1

11 1

l0gU l0!?r-^

Otóż w przeciwieństwie do (9) (w którym x byłoby zespolone), wyrażenie

(

10

log 1 1 — z

1 - z

>

w którym z jest zmienną zespoloną, a zamiast logarytmu bierzemy ga­

łęzie ciągłe logarytmu równć 0 dla zmiennej z = 1, jest funkcją holomor­

ficzną w kole \z \< l (jest więc w tym kole rozwijalne na szereg potę­

gowy zbieżny). Wynika to stąd, że wyrażenie (10) dla z ->0 ma określoną granicę (dąży do 2), a dla zф 0 jego mianownik jest różny od zera, co zaraz udowodnimy.

Gdyby bowiem mianownik (10) był równy zeru, musiałoby być

= 1» tj. ez( l — z) —1 = 0.

270 M. B i e r n a c k i

Przyjmując z=x-Ą-iy i korzystając ze związku ez =: ex cos у + iex sin у otrzymujemy stąd układ równań

(1 — ж) cos y + у siny = e~x, s — У cosy-j- (1 — x) siny = 0.

Zakładając В — (1— xf-\- у2 ( В Ф 0 wewnątrz koła |з|<1), rozwiązując ten układ równań względem siny, cosy i podstawiając uzyskane war­

tości do wzoru sin2y + co s2y = l , otrzymujemy B —e~2x, a stąd cosy = (1 — x)ex, si ny=='uex.

Jeśli y — 0, to (1— x)ex= l . Bównanie to jest spełnione dla ж =0.

Ponieważ pochodna —- d ( l —x)ex——xex jest stale ujemna dla ж>0 i stale dx

dodatnia dla ж<0, więc równanie { l ~ x ) e x—l nie ma różnych od zera pierwiastków rzeczywistych.

Jeśli у Ф 0, to z podanych poprzednio wartości na siny i cosy wynika­

ją następujące wzory:

sin У _ ^ tg у _ 1

у ’ у 1 — x ‘

Ale siny/у < 1 , a t g y /y > l; z pierwszego więc równania otrzymujemy ж<0, a z drugiego ж>0, skąd sprzeczność.

Pomimo że funkcja (1.0) jest asymptotycznie równa sumie szeregu /(* ) = 1 + г 1! + ...+ г № ! + ...,

gdy z-> 1 wzdłuż promienia 0<ж <1, у — 0 (z—x + i y ) , to obie te funkcje zachowują się zupełnie rozmaicie na obwodzie koła |«j<l. Funkcja (10) jest oczywiście przedłużalna analitycznie poza to koło. Funkcja f(z) nie jest przedłużalna w żadnym punkcie obwodu tego koła; wynika to z ogólnej własności szeregów potęgowych lakunarnych.

M.

(Люблин)

О НЕКОТОРОМ ЛАКУНАРНОМ СТЕПЕННОМ РЯДЕ РЕЗЮМЕ

Пользуясь теоремой Чезаро о степенных рядах и неравенством Чебышева для монотонных последовательностей, автор доказывает, что если

/(ж) = 1 + ж11 + жа! 4- ... + ж”1 + ...

u O < x < 1,

Hm log

/ («)________

] / / 1

— / log lo g - ----

— X > \ 1 — X

M. B

(Lublin)

ON A PERTAIN LAOUNARY POWER SERIES SUMMARY

Making use of Cesaro’s theorem on power series and of Tehebycheffs inequality holding for monotonie sequences, the author proves that if

f (x) = 1 + X1'- -j-x2' + ... +Xnl + . . .

and 0< x < 1, then