3. METODY STATYSTYCZNE W DIAGNOSTYCE MASZYN

…w każdej nauce jest tyle prawdy, ile w niej statystyki i matematyki…

3. METODY STATYSTYCZNE W DIAGNOSTYCE MASZYN

3.1. WPROWADZENIE

Obecny rozwój nauki wymaga od inżynierów stosowania nowoczesnych aplikacji komputerowych z dziedziny statystyki matematycznej, dzięki którym możliwe staje się dokonanie złożonych obliczeń oraz przeprowadzenie analizy otrzymanych wyników w bardzo krótkim czasie. Oprogramowania do badań statystycznych są dostępne w pakietach:

STATISTICA, STATGRAF, EXCEL, MATLAB, PRO-INŻYNIER i wielu innych.

Do podstawowych aplikacji inżynierskich stosowanych w analizie wyników jest program MATLAB opracowany przez firmę MathWorks, Inc. MATLAB, jest programem do obliczeń komputerowych, łącząc w sobie obliczenia, wizualizację oraz łatwe do zastosowania środowisko programowania, w którym problemy i ich rozwiązania przedstawione są w przyjaznym dla inżyniera środowisku matematycznym. Program zawiera w sobie następujące aplikacje [9,20,21,27]:

 algorytmy matematyczne i ich obliczanie,

 aplikację kreowania własnych algorytmów obliczeniowych,

 algorytmy modelowania i symulacji,

 analiza danych oraz aplikację do ich wizualizacji,

 aplikacje grafiki inżynierskiej,

 aplikację kreowania własnych programów, tworzenie interfejsu i analizy danych.

W zależności od zastosowania do programu dołączane są specjalistyczne pakiety procedur obliczeniowych z dowolnych dziedzin wiedzy zwane toolboxami, np: Simulink, Signal Processing Toolbox i inne. Pakiety takie umożliwiają uzyskanie podstawowej wiedzy z danego zakresu oraz zastosowanie tej wiedzy w celu rozwiązania problemów [9,20,21,27].

Wszelkie badane zjawiska masowe charakteryzują się pewnymi prawidłowościami, których badanie jest trudne i nie wszystkie zostały wykryte i zbadane. Oceny statystyczne do tego wykorzystywane charakteryzują ilościową stronę badanych zjawisk w nierozerwalnym związku z ich stroną jakościową. Należy pamiętać, że w naturze nie ma liczb, którymi posługuje się statystyka, a są tylko rzeczy i procesy.

Metody statystyczne wykorzystujące opis liczbowy umożliwiają dokonywanie niezbędnych uogólnień dużej ilości szczegółowych informacji. Dokonując za pomocą metod statystycznych niezbędnych uogólnień w opisie statystycznym, wprowadza się porządek w pozornym chaosie przypadkowych zdarzeń. To umożliwia wykrywanie prawidłowości w postaci relacji przyczynowo – skutkowych występujących w badanych zjawiskach [122].

Masowość danych wymaga stosowania komputerowego wspomagania prac badawczych w zakresie metod i środków modelowania, pozyskiwania, przetwarzania, wnioskowania, wizualizacji, rozpowszechniania i przechowywania informacji [121].

Dla potrzeb opracowania wyników badań tej pracy poniżej przedstawiono zaadoptowane programy opracowania statystycznego, funkcjonujące w środowiskach:

MATLAB, EXCEL, STATISTICA.

W oparciu o środowisko MATLAB opracowano dla potrzeb badań diagnostycznych specjalizowane programy do przetwarzania i analizy danych doświadczalnych, pozwalające na dokonanie estymacji wyników oraz przeprowadzenie szczegółowej analizy danych, których algorytmy oraz zasada działania przedstawione zostaną w tym rozdziale.

3.2. METODA OPTIMUM

Metoda OPTIMUM została zrealizowana w środowisku MATLAB i jest stosowana w celu selekcji zawartości informacji w badanych oddzielnie symptomach, które otrzymano w trakcie badań diagnostycznych obiektów technicznych.

Problem metody dotyczy zatem uszeregowania mierzonych symptomów (ranking) pod względem zawartości informacji o stanie badanego obiektu, co przedstawiono na rys. 3.1.

Mierzone symptomy to wektory różnie skierowane w 3D, obrazujące różny stan elementów maszyny. Rozpoznając stan maszyny, gdzie rozwijające się uszkodzenia modelowo mogą być odwzorowane rzutowaniem mierzonych symptomów wektorów na oś układu współrzędnych:

x, y, z otrzymujemy różny udział wektorów w rozpoznaniu uszkodzenia. Różne uszkodzenia dają rzutowania wektorów o różnych wartościach na różne osie.

Zadaniem metody jest ocena indywidualna według przyjętych kryteriów pozyskanych symptomów i stworzenie listy rankingowej ich przydatności informacyjnej do rozróżniana stanu badanego obiektu.

Rys.3.1.Wkład różnych miar (wektory różnie skierowane) w ocenę rozwoju uszkodzenia Taka interpretacja daje możliwość otrzymania rankingu przydatności diagnostycznej symptomów opisujących dany obiekt pod względem wrażliwości informacji, otrzymany dla badanych symptomów indywidualnie.

W metodzie OPTIMUM dokonujemy zatem indywidualnej statystycznej oceny poszczególnych symptomów według przyjętych kryteriów, wyznaczamy ich odległość od punktu kryterialnego (punktu idealnego - 1,1) i spośród nich wybieramy najlepsze do opisu badanego stanu. Korzystając z tej metody można zatem, scharakteryzować w oparciu o odległość od punktu idealnego, wrażliwość poszczególnych miar (symptomów) na zmiany stanu technicznego.

Załóżmy, że jest dany zbiór „n” danych S = { S1, S2, …, Sj, …, Sn-1, Sn}, dla którego Sj  Rⁿ przestrzeni wielowymiarowej i posiada „m” stanów w danej chwili „t,Θ”, życia systemu.

Dla tak przyjętych założeń w metodzie OPTIMUM, pozyskane wyniki badań podlegają ocenie statystycznej za pomocą różnych kryteriów, do których można zaliczyć:

- zmienność symptomów;

- współczynnika korelacji między symptomem a stanem obiektu (km przebiegu, cechy stanu obiektu);

- współczynnika wrażliwości mierzonych symptomów;

- współczynnika korelacji wektorów MAC (Modal Assurance Criterion).

Zmienność symptomów oceniana jest statystycznie współczynnikiem zmienności f1j

przedstawiony w postaci:

^j

j j

1 S

f 

 (3.1)

gdzie: σj – odchylenie standardowe, S_j – wartość średnia.

y x

z

Wartości współczynnika korelacji (skorelowanie ze stanem, przebiegiem) ocenia zależność :

n x x y y

x y

i i

i

 n

  



1 1

1 ₁

  ^{( )( )}

Wrażliwość symptomów W_xy definiowana jest jako:

j min j max j

xy S

S

W S 

 (3.3)

Współczynnik MAC w badaniach diagnostycznych stosuje się do porównywania zbiorów postaci drgań, jak też do badania występujących zależności pomiędzy nimi oraz do badania zgodności i podobieństwa modeli analitycznych i doświadczalnych. Wartość współczynnika MAC zawiera się w przedziale od wartości 0 – wskazującej na brak korelacji, do wartości 1 – wskazującej na korelację pomiędzy wektorami, a jego wartość zdefiniowana została jako:

   

 



T

* s r T

* r

2 s T

* r s

r/

MAC    



 



 (3.4)

gdzie: warianty Ψ stanowią odpowiednio macierze diagnostyczne.

Dla czytelności postępowania i prostoty prezentacji graficznej w dalszych założeniach metody wykorzystuje się dwa dowolnie przyjęte kryteria, bo to można prosto zinterpretować i przedstawić graficznie.

Dokonując maksymalizacji przyjętych kryteriów i dalej normalizacji do wartości maksymalnej otrzymuje się charakterystyki statystyczne ich wrażliwości (f , ₁^ f ) wykonane ₂^ według zależności 3.5, co dalej pozwala wyznaczyć współrzędne punktu idealnego.

) fi max(

fi fi

j

* j

j (3.5)

Wyznaczanie odległości poszczególnych miar od punktu idealnego jest możliwe przy założeniu (x = f , y = ₁^ f ) a wartość punktu idealnego uzyskamy dla współrzędnych (x = 1, y ₂^

= 1), to odległość danej miary od punktu idealnego określimy zależnością Euklidesa:

L_j  (1f₁^_j)² (1f₂^_j)² (3.6)

Wyznaczenie współczynnika wrażliwości (wagi) wj dla poszczególnych symptomów określamy zależnością:

  



 _n

1

j j

j j

L / 1

L / w 1

gdzie:



Na rysunku 3.2. przedstawiono algorytm postępowania w metodzie OPTIMUM w trakcie analizy danych. Przedstawiony algorytm można zrealizować w programie EXCEL, a także w programie MATLAB. Dla tak przedstawionego toku postępowania uzyskuje się diagramy, na których można wyznaczyć (odczytać) położenie poszczególnych symptomów względem punktu idealnego.

,

Wybór L L1 < L2<…< Ln

Koniec

Rys. 3.2. Algorytm postępowania w metodzie OPTIMUM

Na rysunku 3.3 przedstawiono przykładowy graficzny wynik zastosowania metody OPTIMUM, w której wykorzystano optymalizację dwukryterialną, gdzie jako f₁ występuje współczynnik zmienności, a jako f2 zastosowano współczynnik korelacji. Analogicznie na rysunkach 3.4 oraz 3.5 przedstawione zostały diagramy optymalizacji dwukryterialnej, w których stałe jest f1, a jako f₂ zastosowano odpowiednio wrażliwość symptomów W_xy oraz współczynnik MAC.

S(Θ



Współczynnik zmienności

Współczynnik korelacji nie tak r_xy

Wrażliwość symptomów nie W_xy tak

MAC

Jak można zauważyć na przedstawionych rysunkach na podstawie przykładowych badań doświadczalnych, system automatycznie uszeregował symptomy od najbliżej do najdalej oddalonego od punktu idealnego. Analizując otrzymane diagramy do dalszej analizy wyników wybieramy te symptomy, które dzięki metodzie OPTIMUM uznane zostały za najbardziej wrażliwe i niosące najwięcej informacji o danym stanie obiektu, a położone są najbliżej punktu idealnego.

Rys.3.3. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej

f₁^* - wrażliwość symptomu, f₂^* - współczynnik korelacji

Rys.3.4. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej

f₁^* - wrażliwość symptomu,f₂^* - wrażliwość symptomu W_xy

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

3 2 4

5

6 7

8

9

10 1112

13

f1* : Variation coefficient (/Average)

f2* : Correlation coeficient

Optimum diagram

1 - H(f)L 2 - c 1 3 - c 2 4 - w 2 5 - w 1 6 - H(f) 7 - ARM S(t) 8 - rząd 2 9 - g2xy 10 - rząd 1 11 - C 12 - I 13 - Kurtoza

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1

2

3

4

5 76 98 1110 12 13

f1* : Variation coefficient (/Average)

f2* : Sensibility of simthom

Optimum diagram

1 - H(f)L 2 - c 1 3 - c 2 4 - H(f) 5 - rząd 1 6 - rząd 2 7 - ARM S(t) 8 - I 9 - g2xy 10 - C 11 - Kurtoza 12 - w 2 13 - w 1

Rys.3.5. Metoda OPTIMUM z zastosowaniem optymalizacji dwukryterialnej

f₁^* - wrażliwość symptomu,f₂^* współczynnik MAC

W metodzie OPTIMUM nie uzyskano informacji o udziale poszczególnych symptomów w uszkodzeniu głównym. Niezbędnym zatem do dalszej analizy wyników jest zastosowanie wielowymiarowej metody SVD uzupełniającej metodę OPTIMUM.

3.3. METODA SVD

Wielowymiarowy opis i możliwości pomiarowe bardzo dużej liczby symptomów stanu obiektu są podstawą metody SVD (Singular Value Decomposition), w której do końcowej oceny stanu wykorzystujemy wszystkie dostępne i pomierzone w czasie Θ parametry.

Dla opisu życia systemu mamy więc bezwymiarową macierz obserwacji Opr o r - kolumnach wynikających z liczby obserwowanych symptomów i p wierszach wynikających z łącznej liczby kolejnych obserwacji. Do wyznaczenia bezwymiarowej macierzy obserwacji stosuje się procedurę rozkładu względem wartości szczególnych SVD według zależności 3.8, przedstawionej poniżej [3]:

^{Opr Upp}



gdzie: U_pp – to p wymiarowa ortogonalna macierz lewostronnych wektorów szczególnych, V_rr – r wymiarowa ortogonalna macierz prawostronnych wektorów szczególnych oraz Σpr diagonalna macierz wartości szczególnych - o następujących własnościach:

Σpr = diag ( σ1, …, σl ), przy: σ1 > σ2 >…> σu >0

oraz: u+1 =… σl =0, l = max (p, r), u = min (p, r). (3.9)

Oznacza to, że z pośród r mierzonych symptomów możemy uzyskać tylko u  r niezależnych informacji o rozwijających się zmianach, które jak zakładamy, można utożsamiać z narastającymi uszkodzeniami w systemie Ft. Taki rozkład SVD macierzy obserwacji można prowadzić po wykonaniu każdej obserwacji i w ten sposób śledzić ewolucję uszkodzeń F_t (_n) w obiekcie.

Z dotychczasowych badań tej metody wynika, że jedno uszkodzenie Ft może opisywać para nowych wielkości; SDt oraz t. SDt to uogólniony symptom uszkodzenia „t”, który można nazwać dyskryminantą tego uszkodzenia i otrzymany jako iloczyn prawostronny macierzy obserwacji i wektora v_t :

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

2 3

4 5

6

87 910 1211 13

f1* : Variation coefficient (/Average)

f2* : MAC

Optimum diagram

1 - H(f)L 2 - c 1 3 - H(f) 4 - c 2 5 - rząd 1 6 - ARMS(t) 7 - rząd 2 8 - I 9 - C 10 - g2xy 11 - Kurtoza 12 - w 2 13 - w 1

SDt = Opr * vt = σt ut (3.10)

Ponieważ wektory vt i u_t unormowane są do jedności, to długość wektora SD_t równa jest jego normie energetycznej i wyrażona jest zależnością:

Norm(SD_t) SD_t _t (3.11)

Oznacza to, iż dla zadanego czasu życia  zaawansowanie zużyciowe uszkodzenia F_t może być odzwierciedlone przez wartość szczególną t(), natomiast chwilowa jego ewolucja przez dyskryminantę SDt (). Postuluje się zatem równoważność nowych miar uzyskanych z SVD do charakterystyk przestrzeni uszkodzeń, w całym czasie życia  obiektu:

) ( ) ( SD

~ ) ( F

; ną energetycz normą

z ), ( F

~ ) ( SD

t t

t

t t













 (3.12)

Można uznać, że SDt() jest profilem uszkodzenia, natomiast t() jego zaawansowaniem. Na rys.3.6 przedstawiono graficzną interpretację wielkości uzyskanych z rozkładu SVD symptomowej macierzy obserwacji dla i – tego uogólnionego uszkodzenia.

Rys.3.6. Postulowana interpretacja nowych wielkości uzyskanych z rozkładu SVD symptomowej macierzy obserwacji dla i – tego uogólnionego uszkodzenia [3]

Podobne rozumowanie można zastosować do ewolucji wielkości sumarycznych; a więc do sumy wszystkich dyskryminant SDt i sumy wszystkich wartości szczególnych t, co może obrazować całościowe zaawansowanie zużycia w obiekcie i jego przebieg, a opisany według zależności jak niżej:

     u P( ) SD

) ( SD

z

1 i

i i z

1 i

i        





 





      







 

 

F F

~ )

( DS

z

1 i

z

1 i

i i

(3.13)

Czas życia jest tu wartościowany dyskretnie, z odczytami monitorowania dla kolejnych (możliwie) równoodległych n.

Rozkład wektora obserwacji wg wartości szczególnych na wektor prawostronny, lewostronny i diagonalię – daje możliwość badania dynamiki zmian składowych wektora obserwacji.

 SVD dla uporządkowanych danych – szereg czasowy obserwacji,

 SVD dla danych nieuporządkowanych – dane partii badanych obiektów w różnych stanach technicznych, w określonym czasie badania (dla populacji),

 SVD w selekcji sygnałów i wrażliwości symptomów.

Koniec SD_t = O_pr * v_t = σ_t u_t

W metodzie SVD maksimum informacji diagnostycznej z symptomowej macierzy obserwacji Opr można uzyskać, jeśli wszystkie odczyty wstępnie wycentrujemy (należy odjąć) i znormalizujemy (należy podzielić) względem wartości początkowej Sm (0) = S0m danego symptomu. Otrzymuje się w ten sposób bezwymiarową symptomową macierz obserwacji [1,3]:

Opr = [Snm],

1

0





m nm

S

S S

, (3.14)

gdzie: pogrubienie oznaczenia symbolizuje pierwotne wymiarowe wartości symptomów.

Algorytm postępowania w metodzie SVD przedstawiono na rysunku 3.7. poniżej.

Rys.3.7. Algorytm postępowania w metodzie SVD [3]

W wyniku zastosowania tej metody jako wynik końcowy uzyskano na rysunku 3.8 macierz rozkładu symptomów, a na rysunku 3.9 - udział poszczególnych symptomów w opisie badanego stanu. Na rysunku 3.8a przedstawiono graficzną interpretację macierzy wartości symptomów. Poszczególne wartości symptomów nie są ze sobą skorelowane ze względu na wartości i miana danych symptomów, co utrudnia dalszą ich interpretację. Na rysunku 3.8b przedstawiono macierz wartości symptomów po normalizacji i centrowaniu. Po

S()

Centrowanie i normalizacja

do wartości początkowych wektora Norm(SDt) symptomów

Rozkład na wartości szczególne U_pp – macierz lewostronnych wektorów szczególnych V_rr – macierz prawostronnych wektorów szczególnych

Σpr diagonalna macierz wartości szczególnych Symptom uszkodzenia

Rozwój uszkodzenia

tak Szeregowanie O_pr O_pr = [S_nm]

względem wartości wektora symptomów

nie

dokonaniu tych przekształceń uzyskano uszeregowanie poszczególnych symptomów względem wartości początkowej, co pozwala na analizę korelacji sygnałów bez względu na miano danego symptomu.

Rys.3.8. Przykładowa macierz symptomów uzyskanych metodą SVD

a) - graficzna interpretacja macierzy wartości symptomów, b) - macierz wartości symptomów po normalizacji i centrowaniu [3]

Na rysunku 3.9a przedstawiono graficzną interpretację procentowego udziału symptomów w tworzeniu SD1. Dzięki metodzie SVD na kolejnym rysunku 3.9b uzyskano analizę korelacji poszczególnych symptomów względem uszkodzenia głównego, a nadzorowanie zmiany stanu wyznaczone z SD1 i udział poszczególnych symptomów w uszkodzeniu głównym przedstawia rysunek 3.9c.

Rys. 3.9. Udział poszczególnych symptomów w opisie stanu obiektu [3]

W metodzie SVD dokonując analizy wszystkich dostępnych danych jako wynik uzyskano uszeregowanie symptomów wraz z procentowym opisem udziału poszczególnego symptomu w opisie stanu danego obiektu. Metoda SVD jest zatem uzupełnieniem metody OPTIMUM, w której to uzyskano uszeregowanie symptomów pod względem ich wrażliwości i istotności, a dzięki SVD stwierdzono procentowy udział wybranych symptomów w tworzeniu SD1, co następnie pozwoliło w nadzorowaniu zmiany stanów wyznaczonych na podstawie SD1 i na precyzyjną analizę stanu badanego obiektu [3].

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 50 100

Matrix of symptoms

Amplitude

State

Simptoms

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4 -2 0 2 4

Matrix of transformate symthoms relative to the inicial value

Realtive amplitude

State

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

20 40 60

Contribution of generalize faults

%(Singular values)

State

2 4 6 8 10

-0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

First fault generalized

%

State 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213

-1 -0.5 0 0.5 1

Corelation (SG

1,Symptoms)

Realtive corelation

Symthoms

a)

b)

c) a)

b)

3.4. MODELOWANIE PRZYCZYNOWO – SKUTKOWE

W badaniach empirycznych do analizy otrzymanych wyników i ustalenia relacji „co - od czego - jak zależy” stosuje się metody statystyczne. Podstawową metodą stosowaną w statystyce jest metoda regresji, pozwalająca na badanie powiązań między różnymi badanymi zjawiskami. Rozważania teoretyczne dotyczące metody regresji w tej pracy sprowadzono do analizy regresji liniowej z jedną zmienną niezależną jako wprowadzenie do przedstawienia modelu regresji z wieloma zmiennymi niezależnymi [7].

Funkcja regresji Y względem zmiennej X przybiera postać : Yi = 0 + 1xi + i i=1,...n (3.15)

Funkcja regresji X względem zmiennej Y przybiera postać : X_i = ₀ + ₁y_{i +} _i i=1,...n (3.16)

gdzie: n – liczba obserwacji (liczebność próby), _0, _1, _0, ₁ – parametry równań regresji, _i, _i – składniki losowe równań.

W celu oszacowania wartości parametrów: _0, _1, _0, ₁ korzysta się z metody najmniejszych kwadratów. Metoda najmniejszych kwadratów umożliwia uzyskanie na podstawie n - elementowej próby takiej wartości estymatorów: a₀, a₁, b₀, b_1, dla których

wyrażenia 3.18 oraz 3.19 osiągają wartości minimalne:

  ⁿ  ²

1 i

i 1 0 i n 2

1 i

i

i y y a ax

y











 (3.17)

  ⁿ  ²

1 i

i 1 0 i n 2

1 i

i

i x x b by

x











 (3.18)

Oszacowane równania regresji zapisuje się w postaci:

i 1 0 i

i 1 0 i

x a a y

y b b x







 



(3.19)

We wzorze 3.19 estymatory a1 oraz b1 nazywane współczynnikami regresji, zaś estymatory a₀ i b₀ to stałe regresji, które opisano zależnościami 3.20 oraz 3.21.

   

 



































 















x a y a

x n x

1

y x y n x 1

x x

y y x x a

1 o

n

1 i

2 2 i n

1 i

i i n

1 i

2 i n

1 i

i i

1 (3.20)

   

 



































 















y b x b

y n y

1

y x y n x 1

y y

y y x x b

1 o

n

1 i

2 2 i n

1 i

i i n

1 i

2 i n

1 i

i i

1 (3.21)

Po wyznaczeniu wartości a₁ i b₁ można obliczyć współczynnik korelacji liniowej r_xy według zależności:

r_xy a₁b₁ (3.22)

Rezultat funkcji regresji opisanej na podstawie danych empirycznych zawsze należy porównać z rzeczywistą wartością zmiennej zależnej (opisywanej). Podstawą tych porównań jest tzw. składnik resztowy – reszta . Dla regresji Y względem X resztę zdefiniowano zgodnie z zależnością [7]:

u_i y_iy_i i1,....,n

(3.23) W sposób analogiczny wyznaczono resztę dla regresji X względem Y:

_i x_ix_i i1,...,n

(3.24)

Funkcja regresji jest poprawnie oszacowana, jeżeli wartości reszt są niewielkie i mają charakter losowy. Wariancje resztkowe wyznaczono z zależności:

^{   }

  ⁿ  ²

1 i

i i 2

n 2

1 i

i i 2

y 2 y

n u 1 S

x 2 x

n S 1









 



 









(3.25)

Wartość błędu wyznaczono jako odchylenie standardowe:

   

    



2 2

S S

u S u

S (3.26)

Odchylenie standardowe reszt zwane jest również średnim błędem szacunku. Wraz ze wzrostem odchylenia standardowego reszt maleje „dobroć” oszacowania funkcji regresji. W analizie regresji do oceny dopasowania funkcji regresji miarą najczęściej stosowaną jest współczynnik zbieżności ², opisany zależnością 3.27, który przyjmuje wartości (0,1), przy czym im mniejszą wartość przyjmuje współczynnik zbieżności, tym lepsze jest dopasowanie funkcji regresji do punktów empirycznych [7].















 _n

1 i

2 i n

1 i

2 i i 2

yx

) y y (

) y y

( 

oraz















 _n

1 i

2 i n

1 i

2 i i 2

xy

) x x (

) x x

( 

(3.27)

Współczynnikiem determinacji R² nazywa się wyrażenie:

R² = 1 - ² (3.28)

W przypadku zależności liniowej współczynnik determinacji równy jest współczynnikowi korelacji liniowej, a zatem:

2 2

xy 2 yx

2 r r 1

R     (3.29)

Tak więc im wartość R² jest bliższa jedności, tym mniejszy jest średni błąd szacunku, co powoduje lepsze dopasowanie funkcji regresji do danych empirycznych.

Przedstawione powyżej rozważania dotyczące regresji liniowej z jedną zmienną niezależną mają charakter uniwersalny w tym sensie, że odpowiednie wzory zapisane za pomocą symboli oznaczających macierze i wektory są słuszne dla większej liczby zmiennych niezależnych występujących w modelu, a więc mówimy w takim przypadku o regresji

wielokrotnej. W miarę wzrostu liczby zmiennych niezależnych wzrastają odpowiednie wymiary macierzy i wektorów, a wiec zwiększa się pracochłonność obliczeń kryjących się za tym zapisem jako problem numeryczny rozwiązywany w praktyce przy pomocy programów komputerowych.

Model regresji liniowej z wieloma zmiennymi niezależnymi można zapisać poprzez analogię do równania 3.15 w następujący sposób [7]:

n ...

1 i x

...

x x

Y_i ₀_{1 i1}_{2 i2} _{k ik}_i  (3.30)

gdzie: n – liczba obserwacji, _0, _1, … _k – parametry równań regresji, _i, – składnik losowe równań.

Procedura estymacji parametrów modelu regresji wielokrotnej metodą najmniejszych kwadratów przyjmuje taką samą postać jak dla rozważań modelu o jednej zmiennej niezależnej.

Budowa modelu regresyjnego na podstawie danych pomiarowych, określenie dobroci tego modelu do wyników eksperymentu (współczynnik determinacji) dają ilościowy pogląd na zależności badanych zjawisk. W każdym badaniu model (różnego typu) wnioskowania jest konieczny i potrzebny, pozwala ustalić końcowy algorytm postępowania dla opracowywanej procedury badawczej, wymaga jednak wsparcia technikami informatycznymi.

3.5. SYSTEM INFORMATYCZNY BADAŃ IDENTYFIKACYJNYCH

Prowadzone coraz częściej badania identyfikacyjne stanu dynamicznego maszyn, wykorzystywane są do oceny zmian tego stanu, rozwoju uszkodzenia oraz lokalizacji przyczyn zaistniałego stanu stanowią podstawę do budowy specjalizowanego systemu oprogramowania. Umożliwia on akwizycję i przetwarzanie wstępne danych pomiarowych, tworzenie wielu różnych miar rejestrowanych sygnałów, badania ich wrażliwości diagnostycznej, opracowanie statystyczne oraz wnioskowanie diagnostyczne. Program taki dalej nazwany jako: System Informatyczny Badań Identyfikacyjnych – SIBI, powstał w wyniku realizacji szeregu badań wibroakustycznych systemów przemysłowych.

Struktura programu jest konstrukcją modułową, co stanowi o uniwersalności jego zastosowania i możliwościach ciągłej modernizacji jego struktury. Moduły programu odpowiadają kolejnym etapom realizacji procedury badawczej (diagnostycznej) obiektów technicznych. W programie wyróżniono następujące moduły:

Moduł A – odpowiada za akwizycję i eksport danych pomiarowych.

Moduł B – odpowiada za przetwarzanie danych co umożliwia zdefiniowanie i wyznaczenie miar oraz utworzenie macierzy obserwacji z miar procesów drganiowych.

Moduł C – umożliwia badanie współzależności sygnałów.

Moduł D – realizuje procedurę badania wrażliwości symptomów wykorzystując metodę OPTIMUM do indywidualnej oceny wrażliwości symptomów procesów drganiowych.

Moduł E – wykorzystuje metodę SVD (Singular Value Decomposition) do wielowymiarowego opisu stanu badanego obiektu, rozpoznając uszkodzenie i udział w jego identyfikacji poszczególnych symptomów.

Moduł F - odpowiada za modelowanie przyczynowo - skutkowe metodą regresji.

Modułu A i B stanowią część programu odpowiedzialną za przetwarzanie sygnałów drganiowych w celu pozyskania macierzy obserwacji estymatorów drganiowych.

Moduły C, D, E, F, są modułami stanowiącymi drugą część oprogramowania, która umożliwia przeprowadzenie analizy sygnałów drganiowych, identyfikacje stanów

technicznych obiektów oraz ocenę ilościową i jakościową wielkości opisujących dany stan, a także umożliwia wizualizację otrzymanych wyników. Na rysunku 3.10 przedstawiono główne okno dialogowe programu SIBI.

Rys. 3.10. Główne okno dialogowe programu SIBI

Wyniki pomiarów uzyskane przy użyciu specjalistycznej aparatury często zapisywane są w formacie plików z rozszerzeniem UNV, które w celu dalszej analizy należy przetransformować, gdyż zarówno format jak i sposób zapisywania wyników nie pozwala na uzyskanie wiarygodnych danych wejściowych do systemu analizy danych.

Do transformacji wyników pomiarowych posłuży pierwszy moduł programu -

„Akwizycja i eksport danych pomiarowych”. W module tym istnieje możliwość transformacji formatu zapisu danych pomiarowych znajdujących się w plikach z rozszerzeniem .UNV do dowolnego innego formatu, w tym do plików zgodnych z rozszerzeniem „.xls” programu Microsoft Excel. Transformacja ta ma na celu zunifikowanie formatu danych obsługiwanych przez program SIBI.

Na rysunku 3.11 przedstawiono okno dialogowe modułu „Akwizycji i eksportu danych pomiarowych”. Na rysunku 3.12 przedstawiono przykładowy zapisu danych pomiarowych w formacie UNV. W module tym dodatkowo istnieje możliwość prezentacji graficznej transformacji danych pomiarowych, co pokazano na rysunku 3.13.

A B

C

D

E

F

Rys. 3.11. Okno dialogowe modułu

Rys. 3.12. Przykładowy zapis danych pomiarowych w formacie UNV

Rys. 3.13. Wizualizacja danych pomiarowych w module

Kolejnym etapem działań związanym z przetwarzaniem danych pomiarowych w programie SIBI jest uzyskanie miar sygnału drganiowego. W tym celu musimy przejść do następnego modułu programu – „Przetwarzanie danych – Symptomy”. Moduł ten odpowiada za przetwarzanie sygnałów drganiowych w celu uzyskania wartości miar i estymatorów sygnału drganiowego. Główne okno dialogowe modułu Symptomy przedstawiono na rysunku 3.14.

Rys. 3.14. Okno dialogowe modułu – „Symptomy”

W module tym istnieje możliwość wyboru danych pomiarowych poddawanych dalszej analizie, formatu plików pomiarowych oraz istnieje możliwość wyboru wygenerowania miar własnych i wzajemnych sygnału drganiowego, które wykorzystywane będą w odpowiedniej procedurze diagnostycznej. Na rysunkach 3.15 oraz 3.16 przedstawiono okna dialogowe modułu „Symptomy” służące do generowania miar własnych i wzajemnych sygnału drganiowego.

Rys. 3.15. Okno wyboru miar własnych sygnałów

Rys. 3.16. Okno wyboru miar wzajemnych sygnałów

Rezultatem końcowym przetwarzania danych pomiarowych w module „Symptomy” jest wygenerowanie macierzy wartości wybranych miar własnych zgodnie z rysunkiem 3.17, oraz wybranych miar wzajemnych na rysunku 3.18.

Rys.3.17. Macierz miar własnych sygnałów wygenerowana w module „Symptomy”

Rys. 3.18. Macierzy miar wzajemnych sygnałów wygenerowana w module „Symptomy”

W celu uzyskania powyższych rezultatów w pliku o formacie „.xls” należy dokonać opcji wyeksportowania danych poprzez funkcję „Export do” poprzez podanie w nazwy i miejsca zapisu danych.

Następnym etapem działań w programie SIBI jest badanie współzależności badanych wielkości poprzez wykorzystanie do tego celu analizy jakościowej i ilościowej podobieństw badanych miar sygnałów drganiowych. Są to zadania skomplikowane, zabierające wiele czasu, zatem implementacja tych procedur w systemie informatycznym znacznie ułatwia postępowanie. Do tego celu zaimplementowano w programie SIBI osobny moduł – „Badania współzależności sygnałów – Miary złożone”. Główne okno dialogowe modułu przedstawiono na rysunku 3.19.

Rys. 3.19. Okno dialogowe modułu – „Miary złożone”

Moduł „Miary złożone” składa się z dwóch części. Pierwsza część dotyczy zdefiniowania danych wejściowych do analizy. Druga część modułu dotyczy procedury wyznaczania współzależności sygnałów drganiowych. Współzależność ta jest określana przez funkcję FRF, transmitancję, korelację wzajemną oraz funkcję koherencji. Moduł ten ma również funkcję wizualizacji rezultatów badania współzależności sygnałów.

W oknie „Wizualizacja” dokonujemy transformacji przebiegów czasowych wybranych procesów drganiowych na przebiegi w funkcji częstotliwości, z wykorzystaniem funkcji FFT.

Wywołanie pola FFT dla procesu wejściowego i wyjściowego umożliwia uzyskanie spektrum tych procesów z opcją wprowadzenia zakresu analizowanych częstotliwości, jak na rys.3.20.

Rys. 3.20. Wprowadzanie zakresu FFT dla wejściowego i wyjściowego sygnału

W tym module istnieje także możliwość graficznego przedstawienia funkcji koherencji oraz funkcji korelacji procesów drganiowych, których przykładowe przebiegi przedstawiono na rysunku 3.21. Umożliwia to dalej wprowadzenie oznaczeń zakresu istotnych częstotliwości analizowanych danych, co pozwala na obliczenie wartości pól pod krzywymi dając liczbowe wartości tych miar funkcyjnych. Jest to bardzo istotne dla dalszego przetwarzania numerycznego.

Rys. 3.21. Wprowadzanie zakresu analizy dla funkcji koherencji oraz korelacji sygnałów Dalszym etapem postępowania w programie SIBI jest zastosowanie metody OPTIMUM do analizy danych pomiarowych, co jest możliwe w kolejnym module – „Badania wrażliwości symptomów – OPTIMUM”. Dzięki zastosowaniu tej metody możliwe jest uszeregowanie symptomów opisujących dany obiekt pod względem wrażliwości informacji poszczególnych symptomów. Szczegóły algorytmu metody OPTIMUM omówione wcześniej, a główne okno modułu przedstawiono na rysunku 3.22.

Rys. 3.22. Okno dialogowe modułu – „Optimum”

W celu przeprowadzenia analizy stanu w ujęciu wielowymiarowym w programie SIBI zaimplementowano metodę SVD, której algorytm postępowania szczegółowo przedstawiono w module – „Analiza wielowymiarowa – SVD”. Analiza wielowymiarowa w tym module pozwala na rozpoznanie ilości rozwijających się uszkodzeń oraz na wyróżnienie najlepszych miar opisujących stan obiektu. Metoda ta nie wskazuje na rodzaj uszkodzenia informując jedynie o stopniu zaawansowania uszkodzenia i umożliwia ocenę udziału jakościowego i ilościowego każdej miary w zmianie badanego stanu obiektu. Zasadniczym celem zastosowania SVD jest wykorzystanie wszystkich mierzonych symptomów do oceny stanu obiektu. Główne okno dialogowe modułu przedstawiono na rysunku 3.23.

Rys. 3.23. Okno dialogowe modułu – „Analiza wielowymiarowa SVD”

Metoda SVD jest zatem uzupełnieniem metody OPTIMUM, w której to uzyskano uszeregowanie symptomów pod względem ich wrażliwości i istotności, a dzięki SVD stwierdzono procentowy udział wybranych symptomów w tworzeniu SD1. Pozwala to na nadzorowanie zmiany stanów wyznaczonych na podstawie SD1 i precyzyjną analizę stanu badanego obiektu.

Moduł ten ma również funkcję wizualizacji rezultatów badania metodą SVD, które przedstawiono w rozdziale 3.3 na rysunkach 3.8 oraz 3.9. Istnieje również możliwość wizualizacji trójwymiarowej trzech najistotniejszych wielkości i ich udziału procentowego w opisie stanu technicznego danego obiektu po użyciu funkcji Principal Components, co przedstawiono na rysunku 3.24.

Rys. 3.24. Wizualizacja trójwymiarowa wyników modułu SVD

Program SIBI potwierdza możliwość szybkiej identyfikacji uszkodzeń, szczególnie do celów analizy procesów drganiowych. Wykorzystanie właściwości oprogramowania znacząco wpływa na jakość informacji możliwej do pozyskania i przetwarzania podczas badania obiektów w aspekcie ich funkcjonowania.

Zastosowanie nowoczesnych metod badania stanu dynamicznego maszyny, potwierdzają konieczność stosowania dynamicznie rozwijających się technik informatycznych, wspartych algorytmami do badań stanu, zagrożeń bezpieczeństwa i środowiska eksploatowanych maszyn.

PODSUMOWANIE

W rozdziale trzecim przedstawiono i omówiono komputerowe narzędzia pozyskiwania, przetwarzania i opracowania wyników, jakie zostały stworzone w Zakładzie Pojazdów i Diagnostyki UTP, a następnie zastosowane do analizy danych doświadczalnych.

Omówiono i przedstawiono tu podstawy teoretyczne metod z obszaru przetwarzania danych pomiarowych w ujęciu jednowymiarowym (metoda OPTIMUM), w ujęciu wielowymiarowym (metoda SVD), a także wskazano na konieczne w badaniach poszukiwania relacji przyczynowo – skutkowych (modelowanie regresyjne).

Na uwagę zasługuje fakt, iż wszystkie te narzędzia zostały połączone w jedną całość i stanowią kompleksowy zestaw programów do analizy danych pomiarowych, to stanowią oczekiwane przez praktyków w przemyśle skuteczne narzędzia badawcze. System ten pracując w środowisku MATLAB, jest przyjaźnie skonfigurowany, prosty i zrozumiały, dostępny i niezawodny, przez co jego stosowanie znacznie wpływa na poprawność wnioskowania, szybkość przetwarzania i trafność otrzymanych wyników.